材料力学 第十讲

1、.4-4 4-4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件纯弯曲纯弯曲横力弯曲横力弯曲常量常量MF0S)(0SxMMF0000FS xF F xMFa F alaF .a09021.swf. . 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力（一）几何方面（一）几何方面表面变形情况表面变形情况 纵线弯成弧线，纵线弯成弧线，靠近顶面的纵靠近顶面的纵线缩短，而靠线缩短，而靠近底面的纵线近底面的纵线则伸长；则伸长；(1)横线仍为直线，横线仍为直线，并与变形后的并与变形后的纵线保持正交，纵线保持正交，只是横线间相只是横线间相对转动。对转动。.平面假设平面假设 梁在

2、纯弯曲时，横截面仍保持为平面，且与梁变形后梁在纯弯曲时，横截面仍保持为平面，且与梁变形后的轴线仍保持正交，只是绕垂直于纵对称轴的某一轴的轴线仍保持正交，只是绕垂直于纵对称轴的某一轴转动。转动。中性轴中性轴. 根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层，称区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层，称为为中性层中性层 。中性层中性层中性轴中性轴中性层与横截面的交线就是中性层与横截面的交线就是中性轴中性轴。中性层中性层中性轴中性轴Me Me .ma

3、bmanbnMe Me mmnnaabb.yOOBBABBB21111dd21xOOd)(yAB 中性层的曲率半径中性层的曲率半径CAByO1O2B1ddxMe Me mmnnaabb.（二）物理方面（二）物理方面单轴应力状态下的胡克定律单轴应力状态下的胡克定律 不计挤压，即认为梁内各点均处于单轴应力状不计挤压，即认为梁内各点均处于单轴应力状态。当态。当 5 ），纯弯曲时的正应力计算），纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。zIyxM)(zWxM)(maxFl4lF.例例4-14 图示简支梁由图示简支梁由56a号工字钢制成，已知号工

4、字钢制成，已知F=150kN。试求危险截面上的最大正应力。试求危险截面上的最大正应力max 和同和同一横截面上翼缘与腹板交界处一横截面上翼缘与腹板交界处a点处的正应力点处的正应力 a 。B5 m10 mAF CFA FB 12.521166560za375 kN.m M解：解：1、作弯矩图如上，、作弯矩图如上，mkN3754maxFlM.2、查型钢表得、查型钢表得3cm2342zW4cm65586zIMPa160mm102342mmN10375336maxmaxzWMMPa148mm1065586mm212560mmN10375446maxzaaIyM56号工字钢号工字钢3、求正应力为、求正应

5、力为 12.521166560za.或根据正应力沿梁高的线性分布关系的或根据正应力沿梁高的线性分布关系的MPa160maxMPa148MPa1602560212560maxmaxyyaa 12.521166560za. 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件由于由于max处处 =0或极小，并且不计由横向力引起的或极小，并且不计由横向力引起的挤压应力，因此梁的正应力强度条件可按单向应挤压应力，因此梁的正应力强度条件可按单向应力状态来建立：力状态来建立：材料的许用弯曲正应力材料的许用弯曲正应力 max zWMmax中性轴为横截面对称轴的等直梁中性轴为横截面对称轴的等直梁.拉、压强度不相等的铸铁等脆性

6、材料制成的梁拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁tmax, tcmax, cOzyyt，maxyc，maxtmaxt,maxmaxt,zIyMcmaxc,maxmaxc,zIyMctmaxc,maxt,yy为充分发挥材料的强度，最合理的设计为为充分发挥材料的强度，最合理的设计为.例例4-15 图示外伸梁，材料的许用应力图示外伸梁，材料的许用应力=120Mpa。试校核梁正应力强度。试校核梁正应力强度。 q=5kN/m F=10kN 100 A 140 B C 8m 2m 解：（解：（1）求支反力）求支反力 FA=17.5kNFB=32.5kN （2）作弯矩图：）作弯矩图： 确定危险截面确定危

7、险截面 . 17.5 10 3.5m 22.5 20kN.m 30.8kN.m （3）强度校核）强度校核 114140108 .303236maxMPaWMEzEE1001401001 140102032436maxMPaWMBzBB.例例4-16 图示为由工字钢制成的楼板主梁的计算简图示为由工字钢制成的楼板主梁的计算简图。钢的许用弯曲正应力图。钢的许用弯曲正应力 =152 MPa 。试选择工。试选择工字钢的号码。字钢的号码。ABFFF=75kN2.5m2.5m2.5m2.5m10 mFB FA 解：解：1、支反力为、支反力为kN5 .10223FFFBA作弯矩图如上。作弯矩图如上。28137

8、5单位：单位：kNm.2、根据强度条件确定截面尺寸、根据强度条件确定截面尺寸与要求的与要求的Wz相差不到相差不到1%，可以选用。，可以选用。 zWMmax 336maxmm102460MPa152mmN10375MWz333mm102447cm2447zW查型钢表得查型钢表得56b号工字钢的号工字钢的Wz比较接近要求值比较接近要求值mkN375maxM.例例4-17 跨长跨长 l= 2m 的铸铁梁受力如图，已知铸铁的铸铁梁受力如图，已知铸铁的许用拉应力的许用拉应力 t =30 MPa，许用压应力，许用压应力 c =90 MPa。试根据截面最为合理的要求，确定。试根据截面最为合理的要求，确定T字

9、形梁字形梁横截面的尺寸横截面的尺寸d ，并校核梁的强度，并校核梁的强度 。解：解：ct21yy根据截面最为合理的要求根据截面最为合理的要求319030mm701 yy1m2mBAF=80 kNCy1y2z60220yO280d.即即mm24d得得462323mm102 .99)30210280(220601260220)110210(220241222024zI截面对中性轴的惯性矩为截面对中性轴的惯性矩为y1y2z60220yO280d7060220)60280()11060()60280(3060220ddy.mkN4042804maxFlMMPa7 .84mm102 .99mm210mmN

10、10404662maxmaxc,zIyMc梁上的最大弯矩梁上的最大弯矩于是最大压应力为于是最大压应力为即梁满足强度要求。即梁满足强度要求。y1y2z60220yO280dOc,maxt,maxz.例例4-18 图示槽形截面铸铁梁，已知：图示槽形截面铸铁梁，已知：b = 2m，截，截面对中性轴的惯性矩面对中性轴的惯性矩 Iz=5493104mm4， 铸铁的许铸铁的许用拉应力用拉应力 t =30 MPa，许用压应力，许用压应力 c =90 MPa。试求梁的许可荷载试求梁的许可荷载F 。 解：解：1、梁的支反力为、梁的支反力为zyC形心形心86134204018012020BF Cbq=F/bDbb

11、AFB FA FFB474FFA.据此作出梁的弯矩图如下据此作出梁的弯矩图如下4maxFbM2maxFbM发生在截面发生在截面C发生在截面发生在截面BzyC形心形心86134204018012020Fb/2Fb/4BF Cbq=F/bDbbA.2、计算最大拉、压正应力、计算最大拉、压正应力可见：压应力强度条件由可见：压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度截面控制，拉应力强度条件则条件则B、C截面都要考虑。截面都要考虑。zyC形心形心86134204018012020Fb/2Fb/4C截面截面B截面截面压应力压应力拉应力拉应力拉应力拉应力压应力压应力.MPa30mm105493mm86mm1022/4332maxt,FIyMzB考虑截面考虑截面B ：MPa90mm105493mm341mm1024/4431maxc,FIyMzBkN2 .19FkN8 .73FzyC形心形心86134204018012020Fb/2Fb/4.考虑截面考虑截面C：因此梁的强度由截面因此梁的强度由截面B上的最大拉应力控制上的最大拉应力控制MPa30m