求阴影面积的常用方法

1、精选文本求阴影面积的常用方法计算平面图形的面积问题是常见题型，求平面阴影部分的面积是这类问题的难点。不规则阴影面积常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分解和组合图形。现介绍几种常用的方法。一、转化法此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。C例1.如图1,点C、D是以AB为直径的半圆。上的三等分点，AB=12,则图中由弦AC、AD不小旧围成的阴影部分图形的面积为。图1分析：连结CD、OC、OD,如图2。易证AB/CD,则乙45和A

2、CCD的面积相等,60兄62二V三*二二行所以图中阴影部分的面积就等于扇形OCD的面积。易得“"二60。，故困杀国s兆0图2二、和差法且口左为4圆，求阴影部分面积有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。例2.如图3是一个商标的设计图案，AB=2BC=8,O所以,分析：经观察图3可以分解出以下规则图形：矩形ABCD、扇形ADE、氏纳型C90宽一型1图3，飓'画跖叱-77l-4xS-x4x12=4jt+8三、重叠法就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方

3、法。这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。要准确认清其结构，理顺图形间的大小关系。例3.如图4,正方形的边长为a,以各边为直径在正方形内作半圆，求所围成阴影部分图形的面积。国4解：因为4个半圆覆盖了正方形，而且阴影部分重叠了两次，所以阴影部分的面积等于s用宠=2k（*尸_/=（*1谭4个半圆的面积和与正方形面积的差。故22。四、补形法将不规则图形补成特殊图形，利用特殊图形的面积求出原不规则图形出面”。例4.如图5,在四边形ABCD中，AB=2,CD=1,2=60，Z5=ZD=求四边形abcd所在阴影部分的面积。Z国5解：延长BC、AD,交于点E,因为4460°,=/即八9。所以C

4、63;=2CD.口目=*,易求得BE=2#，所以*熙=耳3一况但理=以也月一;co。£二挛乙占乙五、拼接法例5.如图6,在一块长为a、宽为b的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽都是c个单位），求阴影部分草地的面积。图T图5解：（1）将“小路”沿着左右两个边界“剪去”；（2）将左侧的草地向右平移c个单位；（3）得到一个新的矩形（如图77o由于新矩形的纵向宽仍然为b,水平方向的长变成了d）,所以草地的面积为"l0=s8一比。六、特殊位置法例6.如图8,已知两个半圆中长为4的弦AB与直径CD平行，且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于图g分析：在大半圆中，

5、任意移动小半圆的位置，阴影部分面积都保持不变，所以可将小半圆移动至两个半圆同圆心位置(如图9)。C0(01)口图9解：移动小半圆至两半圆同圆心位置，如图9。设切点为H,连结OH、OB,由垂=2径定理，知。又AB切小半圆于点H,故0HBs,故。"-OH2=-yrOB2=-2229炉-OH2) = 2 比七、代数法将图形按形状、大小分类，并设其面积为未知数，通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法。例7.如图10正方形的边长为a分别以两个对角顶点为圆心、以a为半径画弧，求图中阴影部分的面积图1口解：设阴影部分的面积为x,剩下的两块形状、大小相同的每块面积为y,则图中正方形的面积是算+

6、rj_ax=a1k=(£_1),而x+V是以半径为a的圆面积的4o故有工十分二已，4。解得20即阴影部分的面积是20需要说明的是，在求阴影部分图形的面积问题时，要具体问题具体分析，从而选取一种合理、简捷的方法。BD,则图中阴影部分的面积为o1例6:如图，已知ABC内接于。O,且AB=BAB。J/,。/，1/A，/rCD-例7:如图，A、B、C、D是圆周上的四点，且为4,那么图中两个弓形(阴影部分)的面积和是5、划、形例8:如图，在两个同心圆中，P是大圆上一是。6、扇形例9:如图，在矩形ABCD中，AB=1,AD=中阴影部分的面积为()(A)23(B);(C)4(D)3AM<c图

7、11BC=CA=4cm,则图中阴影部分的面积是cm2。B(C)caOdAOAB+CD=AD+BC,如果弦AB的长为8,弦CD的长。(取3)点，PA切小圆于点A,设PA=4,则图中阴影部分面积、3/Ak0,Bvy,以BC的中点E为圆心的MPN与AD相切于P,则图PDN思考吧如图11,正方形的边长为1,以CD为直径在正方形内画半圆，再以点C为圆心、1为半径画弧、组合图形BCE1、四边形与圆组合例10:如图，四个正方形的边长都相等,其中阴影部分面积相等的图形个数是（）（A）0;(B)2;(C)3;(D)4。2、圆与圆组合例11:如图，AB、则图中阴影AE分别为两个半圆的直径，弦CD/AB,D且与小圆

8、相切，若CD=12,!c部分的面积为oAEOB4、扇形与圆组合例12:如图，设计一个商标图案（如图阴影部分）,心，AD长为半径作半圆，则商标图案面积为在矩形ABCD中，AB=2BC,且AB=8cm,以点为圆C例13k如悔。半径为2cm,直径AB垂直于直径CD,以B为圆心，BC的长为半径作CED,则CED与CAD所围成的阴影部分的面积是;三、动态图形1、翻折例14:矩形ABCD的长、宽分别为5和3,将顶点C折过来，使它落在AB上的C/点（DE为折痕），那么阴影部分的面积是;2、旋转例15:如图，将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转60°,得正方形A/B/C/D/,则旋转前后两个正方形重叠部分的面积是。组合图形1、求下列组合图形阴影部分的面积。2、求它的周长和面积。（单位：厘米）长方形的面积和圆的面积相等，已知圆的半径是3cm,求阴影部分的周长和面积。求直角三角形中阴影部分的面积。（单位：分米）下图中长方形长6cm,宽4cm,已知阴影比阴影面积少3cm2,求EC的长。图中阴影比阴影面积小48平方厘米,AB=40cm,求BC的长。一个圆的半径是 4cm,求阴影部分面积。平行四边形的面积是30cm2,求阴影部分的面积。阴影部分比空