大学实变解析

1、.第二章 测度理论.iniiTbaxfdxxfR10|)(lim)()(其中iiiiiixxxxx11积分与分割、介点集的取法无关几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。xi-1 xiRiemann积分回顾（分割定义域）.(a,b),a,b),(a,b,a,b等区间的测度都是b-a1. 区间上的测度=“长度” (mE表示区间E的测度)1212120,()0,11mEE Em EEmEmEm 则2. 测度公理 (以0,1为基本集).用黎曼积分： 对区间0,1进行分割： 0=x0 x1x20时, 与E有公共点的区间的长度和即为E的长度,则显然有mE=1. 同理，对0,1中的无理数点集，也可求

2、得其测度为1.注: 这显然和m0,1=1相矛盾了.用测度公理： 注意到有理数集E是可列的，因此有 E=x1,x2,xn,依常识单点集xk的“长度”为0，因此按照测度公理有 mE=mx1+mx2+=0.证明：由于E为可列集，2111|iiiiiiEII 则且再由的任意性知mE=0123 , ,Er r r故不妨令, 3 , 2 , 1),(, 01122irrIiiiii作开区间mE从而( )1122iiiiirrr.定义： 设G为非空有界开集，则G有结构表示：我们定义开集G的测度为它的一切构成区间长度的和，即(,)kkkGG(,)()kkkkkkmm注: 由于G有界，故mG与级数项的顺序无关.

3、定义： 设F为非空有界闭集，任取一个包含F的开区间(a,b), 令G=(a,b)-F, 则G为开集.我们定义闭集F的测度为m Gm Fba注: F的测度与任取的区间(a,b)无关.对0,1区间三等分，去掉中间一个开区间，然后对留下的两个闭区间三等分，各自去掉中间一个开区间，此过程一直进行下去，最后留下的点即为.第n次去掉的开区间留下的闭区间12n1)1(iIi2 , 1)1(iIi2)2(2, 2 , 1iIi2 , 1)2(iIi1( )1,2,2innIinniiI2, 2 , 1)(ininIG)(,定义：令称P0=0,1- G=0,1Gc 为Cantor集.注：第n次共去掉2n-1个长

4、为1/3n的开区间11231323111nnnb. P0的“长度”为0，去掉的区间长度和.定理:(1) 设G1,G2 是两个有界开集，且G1包含于G2，则有mG1mG2 (单调性)(2) 设有界开集G是有限个或可列个开集G1,G2， 的并，则有mGmGk (半可加性)如果Gk之间互不相交，则mG=mGk (完全可加).引理2.111m()mnnkkkkFF12,.(,),(,)nkkkkkFFFF设均 为 闭 集 ，且之 间 互 不 相 交 ， 则 有.仅证n=2时. 根据对闭集的测度的定义mFk=k-k-m(Fk的补集)而且m(F1F2)=2-1-m(F1F2的补集)接下去如何找关系？.定理

5、2.2,F设为 闭 集 ， G为 有 界 开 集 则 m(G-F)=mG-mF.111111111(,)(,)(,)(,)m ()(,)()()()nkkkkkknnkkkkkkknnkkkkkkknnnkkkkkkkknGFabFababFabGFmabFbabamFba要利用前面的引理. 设G的构造区间为(ak,bk),k=1,2,.根据有限覆盖定理，令Fk=F(ak,bk),则Fk为含在互不相交的开集中的闭集1(,)nkkkFab.推论1211,. m ()mnnnkkkkFFFFF设是 互 不 相 交 的 闭 集 ， 则 有.为E的Lebesgue外测度。定义：设E为有界集，一切包含E的开集的测度的下确界，即11inf| :infGEiiiiim Em GIEII 且为 开 区 间.为E的Lebesgue内测度。定义：设E为有界集，所有含于E中的闭集的测度的上确界，即FFsupEm Em.BmAmBA，则若（b）单调性：: |inf11为开区间且iiiiiIIEIEm0Em0Em（a）非负性： ， 当E为空集时，.注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集0)(|)()(32213121)()(21