开锁问题之规律探讨

1、開鎖問題之規律探討研究者：陳縕儂 陳怡樺指導者：李政貴 老師壹、緒論一、研究動機我們在找題目的時候，找到了這個題目，覺得它還蠻有趣，而且可以衍伸出很多問題，深入研究。說不定以後能應用在其他地方，比如說商業機密或科技、工程上，有實用價值。 二、研究目的英國詹姆士一世時代，某一村莊將所有值錢的東西，都鎖在教堂的一個箱子裡。箱子用一些鎖鎖著。每個鎖都有個別而不同的鑰匙。為了確保村中任三人都有足夠鑰匙以打開箱子，但兩個人卻不能打開。到底需要幾個鎖？又需要多少把鑰匙？（每把鎖的鑰匙數相同）三、研究問題（一）如果你數一個特定的箱子的鎖的數目，你能推衍出在這種制度下，持有鑰匙的人有多少？（二）在附近的另一個

2、村落，採用更多封建制度。每一個村民依重要性分級（1為最重要的），村長要求安排如下：如果一群人希望打開箱子，那麼現場人員中，第x等級最少要有x人存在。則此規則為何？貳、研究設計一、將之特殊化！二、先由小村莊開始。三、先試著要求任兩人可打開，但一人不能的情況下。參、研究方法Ex1：有六個鎖（偶數個），一人四個，任兩人可開（兩人會擁所有的鎖）。 A B C D E F第一個人的 A B C D （少E、F）則下一個人要有E、F第二個人的（再任選ABCD中兩個，例CD） C D E F （少A、B）則再下一個要有E、F、A、B第三個人的 A B E F 任兩人可打開，但一人不能的情況條件之下，將每把鑰

3、匙編號，計算出其中之關係。第三個人有E、F、A、B，剛好四個，代表他是最後一個人了。總共有三人。總共鑰匙為2A2B2C2D2E2F，每個鎖有兩把鑰匙。Ex2：有五個鎖（奇數個），一人三個，任兩人可開（兩人會擁所有的鎖）。A B C D E第一個人的 A B C （少D、E）則下一個人要有D、E第二個人的（再任選ABC中一個，例C） C D E （少A、B）則下一個人要有D、E、A、B（超過三個不合）總共有兩人。總共鑰匙為AB2CDE，有一個鎖有兩把鑰匙，其餘的鎖有一把鑰匙。肆、研究過程一、任兩人可打開條件：a1ba/2a總共有幾個鎖 b一人擁有幾把鑰匙 c村莊中人數為d一個鎖有幾個鑰匙（de&

4、#247;a） e總共鑰匙數（eb×c）f有特別情形之鑰匙數目（fe÷a之餘數）（）表特別情形中此鑰匙有幾把（d1）abcdef21212323264221434312532161（2）45420632164321256530742181（2）532151（3）6764284218521102（2）64324787569521101（2）63218743281（4）89872Þ由上可發現dc1先刪除特別的（即每個鎖有不同鑰匙數）來看，如下：a總共有幾個鎖 b一人擁有幾把鑰匙 c村莊中人數為d一個鎖有幾個鑰匙（de÷a） e總共鑰匙數（eb×c）

5、abcde2121232326422143431254542063216432125653076764284218643247875696321889872由dc1可推斷Þ假設村中有n個人，則每個鎖都必有(n1)把鑰匙。d、eb×cÞ（c1）（b×c）÷a Þ（1）Þ（c1） Þ a（c1）b×c Þ a（c1）e此為最大推衍限度，即為須知道a、b、c其中任兩個數才能推斷其中關係。而c必為a之因數，故c會有一種以上的可能性。 c之可能數為a所有因數（1除外）。目的一如果知道箱子上鎖的個數，能夠推

6、演出此制度下，持有鑰匙的人有多少？計算c之可能的數量：設apm×qn×ro（僅用三個質因數為例）a所有的因數之數量為（m1）×（n1）×（o1）1【扣除c1的狀況】二、任三人可打開a總共有幾個鎖 b一人擁有幾把鑰匙 c村莊中人數為d一個鎖有幾個鑰匙（de÷a） e總共鑰匙數（eb×c）f有特別情形之鑰匙數目（fe÷a之餘數） （）表特別情形中此鑰匙有幾把abcdef31313423161（3）523161（2）33192（3）6231634212431123（3）733192（2）442161（4）531154（3）8331

7、91（2）44216542202（4）631185（3）93319431123（2）542202（3）642283（4）731216（3）10431122（2）5422065330742284（4）831247（3）Þ由上可發現dc2Þ假設村中有n個人，則每個鎖都必有(n2)把鑰匙。（一）ba2a總共有幾個鎖 b一人擁有幾把鑰匙 c村莊中人數為d一個鎖有幾個鑰匙（de÷a） e總共鑰匙數（eb×c）f有特別情形之鑰匙數目（fe÷a之餘數） （）表特別情形中此鑰匙有幾把abcdef31313423161（3）533192（3）6431123（3）

8、7531154（3）8631185（3）9731216（3）10831247（3）上表中，c皆為3，d皆為1，e為等差數列（差值為3），而f也為一自然數列，（）中皆為3。ba2，c3，d1，e3×b3a6，fa3，（）3說明：當c3時，無討論意義，因為任三人能開，而總共只有三人，即無意義。將原表消去ba2此類。（二）ba3a總共有幾個鎖 b一人擁有幾把鑰匙 c村莊中人數為d一個鎖有幾個鑰匙（de÷a） e總共鑰匙數（eb×c）f有特別情形之鑰匙數目（fe÷a之餘數） （）表特別情形中此鑰匙有幾把abcdef63421207442161（4）8542202

9、（4）9642243（4）10742284（4）上表中，a6時無例外，故先不討論。而c皆為4，d皆為2，e為等差數列（差值為4），而f也為一自然數列，（）中皆為4。ba3，c4，d2，e3×b4a12，fa6，（）4說明：若（）中的數c時，即代表至少有一個鎖是每個人都能開的，代表總共只有（af）個鎖，一人有（bf）把鑰匙a（af），b（bf）。消去ba3此類。（三）ba4a總共有幾個鎖 b一人擁有幾把鑰匙 c村莊中人數為d一個鎖有幾個鑰匙（de÷a） e總共鑰匙數（eb×c）f有特別情形之鑰匙數目（fe÷a之餘數） （）表特別情形中此鑰匙有幾把abcde

10、f62316733192（2）8442169542202（3）106533011753352（4）128644813964542（5）14107570151175772（6）16128696此表格符合特定規則，如下：當a2n（偶數）【已知ba4】Þ c，eb×c（a4）（），d當a2n1（奇數）【已知ba4】Þ c，eb×c，d，f2，（）當a6，7時，c3，即為上述所說無意義的情形，刪去不討論則a8。a為奇數時，有f和（），與每把鎖有相同鑰匙條件不合。故刪去不看，即得以下結論。結論（n為偶數）：假設有n個鎖，每一把鎖都必須有把鑰匙，有個人，共把鑰匙。（

11、四）將原表粗體的分開來看（即n3也無例外者，a3不算在內）a總共有幾個鎖 b一人擁有幾把鑰匙 c村莊中人數為d一個鎖有幾個鑰匙（de÷a） e總共鑰匙數（eb×c）abcde313136342121065330由dc2可推斷Þ假設村中有n個人，則每個鎖都必有(n2)把鑰匙。又發現a（bc1）、d、eb×cÞ（c2） Þ（1）.【1】（c2） Þ a（c2）bc Þ a（c2）ea（bc1）Þ b（ac1）代入【1】Þ（1）Þ（1）1 Þ Þ 2ac2cÞ

12、a Þ e觀察上表，發現此類的a數值的差值，會呈現自然數排列：3、4，即a數值為一階差數列。故我們推測下一個此類的數為a15。代入上面推導之公式a15、b10、c6、d4、e60，列舉出來後發現結果相符，故推測正確。Þ an3，bna與b皆為階差數列，又bnan1。c與d為等差數列。下表為符合此規則的完整結果：abcde313136342121065330151064602115751052821861683628972524536108360說明：假設村中有n人，每一把鎖都必須有（n2）把鑰匙，否則會導致有某三人來仍然無法打開，又任兩人都會有一把打不開的鎖，這把鎖與其他任

13、兩人組合的鎖皆不同（否則此三或四人仍然無法開啟），故需要把鎖，共把鑰匙。結論：假設村中有n人，每一把鎖都必須有(n2)把鑰匙，有把鎖，共把鑰匙。三、任四人可打開分類（n4也無例外者，a4不算在內）abcde4141410563301487456241696144302110721044331293965240131052070561512840由dc3可推斷Þ假設村中有n個人，則每個鎖都必有（n3）把鑰匙。又發現a（bc1）、d、eb×cÞ（c3） Þ（1）.【1】（c3） Þ a（c3）bc Þ a（c3）ea（bc1）Þ

14、 b（ac1）代入【1】Þ（1）Þ（1）1 Þ Þ 3ac2cÞa Þe 觀察上表，將表格分兩部分看，如下表（一）及（二）：（一）2n1項第幾項abcde1414143148745653021107210752401310520發現此類的a數值的差值，會呈現一等差數列：10、16，即a數值為一階差數列。故我們可推測下一個此類的數為80。又發現此類的b數值的差值，會呈現一等差數列，即7、13，故我們可推測下一個此類的數為65。代入上面推導之公式a80、b65、c16、d13、e1040合，正確。Þ a2n1，b2n1a與b皆為

15、階差數列的現象。c與d為等差數列（差值為3）。（二）2n項第幾項abcde21056330424169614464433129396870561512840發現此類的a數值的差值，會呈現一等差數列：14、20，即a數值為一階差數列。故我們可推測下一個此類的數為102。又發現此類的b數值的差值，會呈現一等差數列，即11、17，故我們可推測下一個此類的數為85。代入上面推導之公式a102、b85、c18、d15、e1530合，正確。Þ a2n2，b2na與b皆為階差數列的現象。c與d為等差數列（差值為3）。下表為符合此規則的完整結果：abcde4141410563301487456241

16、696144302110721044331293965240131052070561512840806516131040說明：假設村中有n人，每一把鎖都必須有（n3）把鑰匙，否則會導致有某三人來仍然無法打開，又任兩人都會有一把打不開的鎖，這把鎖與其他任兩人組合的鎖皆不同（否則此四或五人仍然無法開啟），故需要把鎖，共把鑰匙。結論：假設村中有n人，每一把鎖都必須有(n3)把鑰匙，有把鎖，共把鑰匙。四、任x人可打開a總共有幾個鎖 b一人擁有幾把鑰匙 c村莊中人數為d一個鎖有幾個鑰匙（de÷a） e總共鑰匙數（eb×c）abcdex1x1x4x62x32x2x14x210x64x2

17、2x2x1x4x22x9x126x83x32x218x242x249x66x33x22x118x221x616x2012x154x43x348x2108x6016x1212x84x33x248x268x2425x3020x245x54x4100x2220x12025x2020x155x44x3100x2155x60說明：假設村中有n人，每一把鎖都必須有（nx1）把鑰匙，否則會導致有某x人來仍然無法打開，又任（x1）人都會有一把打不開的鎖，這把鎖與其他任（x1）人組合的鎖皆不同（否則此x或（x1）人仍然無法開啟），故需要鎖，共鑰匙。（一）2n1項Þ a2n1，b2n1a與b皆為階差數列

18、的現象。c與d為等差數列（差值為x1）。（二）2n項Þ a2n（x2），b2na與b皆為階差數列的現象。c與d為等差數列（差值為x1）。五、討論數列關係（一）回到任兩人能開討論關係abcde21212643212129433620165480302565150423676252發現此類b數值均為一完全平方數，開根出來為一自然數列。（二）回到任四人能開討論關係abcde41120414105221633014832127456241642096144302152221072104433623129396發現此類b數列的奇數項和偶數項分別有一特定規律，寫出通式如下：b2n1（2n1）2（

19、n1）2n（3n2）b2n（2n）21（n1）2n（3n2）（三）回到任五人能開討論關係abcde511205151472238456181032195903322426128264392752213935160456291612720b2n1（2n1）2（n1）n（4n3）b2n（2n）23nn（4n3）由此可推斷b數列的一般式為b2n1n（x1）n（x2）b2nn（x1）n（x2）肆、目的推論一、如果知道箱子上鎖的個數，能夠推演出此制度（任三人開）下，持有鑰匙的人有多少？Sol：此題即為由a推c，設ax。x Þ 2xc（c1）Þ c（負不合）條件：18x需為奇數的完全平方數，c方能為一整數。二、採用另一種封建規則，每個村民依重要性分級（1為最重要），村