本章将讨论与运动电荷有关的基本电现象和基本规律电荷

1、第五章 电路本章将讨论与运动电荷有关的基本电现象和基本规律。电荷的定向移动将形成电流，不随时间变化的电流称为稳恒电流（即直流）。本章将以金属导体为例讨论导体中稳恒电流的基本性质和规律，以及分析直流电路的基本方法。工农业生产和日常生活中使用的电，大都是交流电。各类发电站发出的几乎都是交流电。即使在某些必须使用直流电的地方，也往往是将交流电经过整流装置转变成直流电的。交流电是大小和方向都随时间作周期性变化的电流电压和电动势的总称。交流电路比直流电路复杂得多，因为变化的电流要产生变化的磁场，而变化的磁场在电路中又会引起感应电动势，交流电的类型是很多的，其中最简单又最基本的一种是随时间作正弦（简谐）变

2、化的交流电，称为正弦（简谐）交流电。本章着重介绍R、L、C三种元件在正弦交流电路中的作用，介绍分析和计算交流电路的基本方法。§5.1简单直流电路1、串联和并联电路1.1串联电路串联。根据电流的稳恒条件，串联电路的基本特点就是通过各电阻元件的电流强度I都相同。如此，电流I流过各电阻元件时，都将有电压降落。根据欧姆定律，各电阻元件上的电压降落为 ， ， ， 它们在总端头A、B所产生的总电压降落为所以，串联电路的等效电阻为 即串联电路的等效电阻等于各元件电阻的代数和，电路中电压的分配与电阻成正比。用 令，则 即串联电路的总功率为各元件功率之代数和，电路中功率的分配与电阻成正比。1.2并联电

3、路并联。并联电路的基本特点是各电阻两端有相同的电压。如此，各条支路将有不同的电流，根据欧姆定律，流经各电阻元件的支路电流为 ， ， ，它们在公共端A、B间的总电流强度为 则并联电路的等效电阻的倒数为 即并联电路的等效电阻的倒数等于各元件电阻倒数之和，电路中电流的分配与电阻成反比。用 令，则 即并联电路的总功率也等于各元件功率之和，但电路中功率的分配却与电阻成反比。1.3 应用实例在实际电路中，串联或并联在一起的几个电阻的阻值有时相差几个数量级。串联时外加电压几乎全部降落在高电阻上，等效电阻和电流也主要由高电阻决定；而并联时电流几乎全部通过低电阻，等效电阻和电流也主要由低电阻决定。这在分析实际电

4、路时很有用。在电学实验和电磁测量中常使用限流电路和分压电路，滑动变阻器可起到限流和分压作用。使用限流电路可将表头改装成伏特计，使用分压电路可将表头改装成电流计或毫安计。恕不赘言。2、惠斯通电桥桥式电路俗称电桥R1、R2、R3和R4联成四边形ABCD，每一边叫做电桥的一个臂。在四边形的一对对角A、C间接上直流电源，在另一对对角B、D间联接检流计G。所谓“桥”就是指对角线BD，其作用是将B和D两个端点联接起来而比较这两点的电势高低。当B、D电势相等时，检流计不发生偏转，此时称为电桥平衡；当B、D电势不相等时，检流计发生偏转，此时称为电桥不平衡。 下面我们来分析直流电桥的平衡条件，即R1、R2、R3

5、、R4应满足的关系。当电桥平衡时，故 ， 由于通过AB和BC两臂的电流相等，可设为；通过AD和DC两臂的电流也相等，可设为。根据欧姆定律，则应有 ， ，如此，便可联立得到，。故有 或此即为电桥平衡的充分必要条件。此式表明：当电桥达到平衡时，交叉臂的电阻乘积相等。除平衡电桥外，在实际中还常用到非平衡电桥。例如，利用电阻温度计的非平衡电桥可测定温度，利用非平衡电桥可自动控制其某些系统的机构。3、电位差计电位差计是用来准确地测量电源电动势的仪器，也可以用它准确地测量电压、电流和电阻。是待测电源，是可以调节电动势大小的电源，两个电源通过检流计G反接在一起。当检流计指针不偏转时，即电路中没有电流时，两个

6、电源的电动势大小相等，互相补偿，即。这时电路是平衡的，若知道，就知道了。这种测定电源电动势的方法称为补偿法。为了准确、稳定、方便于调节地得到、制流电阻RP（可变）和滑线电阻AB所组成的回路，称为辅助回路，其实质上是一个分压器。当适当调节RP时，电流流过滑线电阻时，电势从A到B逐点下降，在A、B间拨动触头，就可以改变A、C一段电阻两端的电压，这个电压就是代替可调电动势的。ACG就是上面所讲的补偿回路，只要使，那么在A、B间的C总可以找到一个确定位置，而使得，I0即为流过ACB的电流，通常称为辅助回路的工作电流。根据上面的分析，只要知道I0，就可根据求出。但是，如何才能知道I0和K为双掷开关，是标

7、准电池，其电动势很稳定，而且是准确已知的。校准时，将K拨到位置“1”，即把接入补偿回路，调节RP和滑动触头C，使检流计指针不发生偏转，工作电流准确地达到I0，此时可读出相应的，电位差计的校准工作完成了。之后进行测量，将K拨到位置“2”，即把接入补偿回路，这时不应再动限流电阻RP，而只需滑动触头C，找到平衡位置，就可找出相应的位置。根据 可知 而由标准电池和、即可求出待测电动势。§5.2复杂电路1、一段含源电路的欧姆定律考虑一实际电源（电动势为，内阻为r）与电阻R顺着电流方向，经C、D两点而研究B点的电势变化情况。设A点电势为UA，由A经R到C点，正电荷在静电力的作用下，由高电势向低电

8、势运动，经过R时，电势降低IR；同理，由C经r到D点，电势又有一个降低Ir；由D点经电源负极到达正极而到B点，在此过程中，正电荷在非静电力作用下反抗静电力由低电势的负极向高电势的正极运动，因而电势升高一定量，其升高量等于电源电动势，B点时的电势为UB。因此，顺着电流方向看时，从A点出发，电势从UA经过R降落IR；又经r降落Ir；而经电源电势又升高，最后电势降为UB。于是 于是A、B两点间的电压为 如果上述含源电路的电流方向相反，仍从A到B研究电势变化情况，则研究路径的取向正好与电流流向相反。对此，经电阻R和r时的电势降落为（IR）和（Ir）；而电流经电源后的电势升高为。如此，A点到B点的电势变

9、化为 于是A、B两点间的电压为 这说明：如果电流方向与路径取向相反，则所得两点间电压为与取向一致时两点间电压的负值。为此，我们特作如下规定：若通过电阻的定向与电流方向一致，则电势降低IR；反之，则电势升高IR或电势降低（IR）。若经过电源的定向由电源的负极到正极，则电势升高；反之，则电势降低或电势升高（）。因此，某段含源电路上任意两点A、B间的电势降低或电压等于从A到B的路径上，所有电阻上电势降落的代数和减去所有电源的电动势所产生的电势升高的代数和，即 这一结论称为一段含源电路的欧姆定律，亦称为一段非均匀电路的欧姆定律。式中：凡是与定向一致的电流强度取正号，反之则取负号；凡是与定向一致的电源电

10、动势取正号，反之则取负号。2、基尔霍夫定律及其应用欧姆定律只能用于解决比较简单的电路问题，对于复杂的电路，往往是不少于两个独立回路的多回路问题，此时同一回路的各段电路的电流也并不一定相同。对于此类问题，显然欧姆定律无法解决，而基尔霍夫定律可解决这类问题。对于复杂电路：没有其它分支的一段电路，称为支路；凡是三条或三条以上的支路的交汇点，称为节点；对于三个或三个以上节点所决定的若干支路所构成的闭合回路，称为回路；某一再无其它分支的单孔回路，称为网孔；由不同联结方式构成的两个或两个以上网孔的电路，称为网络。基尔霍夫根据电荷守恒定律和稳恒电流条件，总结出了关于节点的电流定律（KCL）；又根据非均匀电路

11、的欧姆定律总结出了关于回路的电压定律（KVL）。前者称为第一定律，后者称为第二定律。它们的数学表达式分别为 基尔霍夫方程组流入某节点的电流和流出节点的电流的代数和为零。习惯上规定：流入节点的电流取正号，流出节点的电流取负号对于任一闭合回路，所有在电阻上电势降落的代数和等于该回路所有电源电动势的代数和。通常先选定回路的绕行方向，则凡与绕行方一致的电流强度取正号，反之则取负号；凡与绕行方向一致的电源电动势取正号，反之则取负号。任意复杂的电路，原则上都可以用基尔霍夫定律求解。对于各节点，可用基尔霍夫第一定律列出各节点电流方程；对于各独立回路，可用基尔霍夫第二定律列出各独立回路电压方程。但在应用基尔霍

12、夫定律解题时，应注意以下几点：（1）先标定条支路的各电流方向。若求得的电流为负，则说明标向与实际电流方向相反；反之则相同。（2）对个节点可列出个独立的节点电流方程。（3）对个独立回路可列出个独立的回路电压方程。对于独立回路的选择方法应是：每一新回路必须至少含有一条新支路和一条已然用过的旧支路。为了简便明了，常用网孔法。根据拓扑学定理，对条支路、条节点、个独立回路的任意网络，（复杂电路），都有。因此，基尔霍夫方程组的数目恰与末知数目相等，所以方程组可解，且有唯一解。，内阻，；电阻。求电路中的电流分布。解：如图所示，先标定各段电路中电流I1、I2、I3，各回路I与II的绕行方向。对于节点A和B，所

13、得节点电流方程一致，为 （1）对于回路I和II，这是两个独立回路，由回路电压定律，得I回路： （2）II回路： （3）联立（1）和（2）、（3），并代入数据，即为 求解，可得I1160mA，I2=20mA，I3=140mA。I1、I30，I20，说明I1、I3的实际方向即为所标方向，I2的实际方向与所标方向相反。本题的方程数目上可以减少一个，那就是将回路电压方程（2）、（3）中的I3直接由节点电流方程（1）的（I1I2）替代，如此便成为二元一次方程组，其解法也较为简便。路，其中G为检流计，其内阻为Rg。求通过检流计的电流Ig与各臂阻值R1、R2、R3和R4的关系。电动势已知，内阻r可忽略。解：

14、如图所示，先标定各支路电流方向，并选定独立回路ACDA（I）、CBDC（II）和ADBA（III）的绕行方向。按照节点数目A、B、C、D，可列出三个节点电流方程；按照独立回路数目可列出三个独立回路电压方程。如此方程组即为六个，各支路数也正好为六个，但六元一次方程组的解法较为复杂。为此，我们可根据节点电流方程使电流未知数目减为I1、I3和Ig这样三个变量。由基尔霍夫第一定律，显然应有 ，根据基尔霍夫第二定律，可列出关于三个独立回路的电压方程为：I回路： （1） II回路： （2） III回路： （3）将上述方程（1）、（2）、（3）整理为 解之。其中显然当R1R4R2R3时，0，。它是电桥平衡的

15、充要条件。本题用基尔霍夫定律较为复杂（繁琐）地解出。倘若独立回路多于三个，则计算将更为复杂或是手工不可解出的。上述二例说明，凡独立回路有几个，我们就可列出几个方程组，其余的则与此方程组有重复的地方。3、等效电源定理3.1电压源和电流源考察一直流电源向负载R的供电。若电源电动势为，内阻为r，则负载两端的电压为 （分压公式）可以看出：当R减小时，电流强度增大，输出电压U减小。但如果电源内的内阻r0很小，以致可以忽略，则电源输出电压与负载R无关。将能输出恒定的、与负载电阻无关的电压的电源，称为恒压源。实际电源的内阻并不为零，因而都不是恒压源。但我们可将实际电源看作是由恒压源与内阻串联而成的装置，这样

16、的电源称为电压源实际电源对负载输出的电流亦与负载电阻R有关。R越大，输出电流越小。如果电源内阻r0很大，而电源的电动势也足够大，这是仍有电流输出，而且该电流与R的依赖关系就不十分明显。在极限情况下，即当时，电源输出的电就与R完全无关。凡能输出恒定的、与负载电阻无关的电流的电源称为恒流源。实际电源所输出的电流为 （分流公式）故实际电源可看作电流强度为的恒流源与一内阻r0的并联装置，这样的电源称为电流源因此，任何一个电动势为、内阻为r0的电源，既可看作电动势为的恒压源和内阻r0的串联而成的电压源，又可看作电流为的恒流源和内阻r0的并联而成的电流源。3.2戴维宁定理（等效电压源定理）某复杂电路或其某

17、一部分通常称为网络。从网络中引出两根导线与另一网络联接，这种网络称为二端网络。含有电源的二端网络称为含源二端网络，否则为无源二端网络。一个无源二端网络可等效于一个电阻R，一个有源二端网络则可等效于一个电压源。这一结论称为戴维宁定理。戴维宁定理指出：任何一个有源二端网络等于于一个电压源，电压源的电动势等效有源二端网络的开路端电压Uk，其内阻r0将所有有源二端网络中的电动势都短路（称除源二端网络）而保留其内阻的等效电阻。3.3诺顿定理（等效电流源定理）任何一个有源二端网络等效于一个电流源，电流源的电激流I0等于有源二端网络二端间的短路电流Id，其内阻r0等于除源二端网络的等效电阻。例题5.3 用戴

18、维宁定理求解例题5.2。解：所考察的是流过G的电流Ig，故将C、D两端的Rg 其内阻为 本题利用诺顿定理也可以解，但一般来说，诺顿定理是戴维宁定理的等效表述，因而可以说是等价的。至于迭加原理和等效变换原理大家自选阅读。§5.3 金属中的电子现象1、金属电子的脱出功和热发射用金属电子的经典论去讨论金属的微观电性是不准确地。也就是说，金属内电子的运动不遵从经典力学规律，而是遵从量子力学规律。按照经典电子论，电子的平均运动动能，这个能量不仅可以连续变化，而且在时，即电子都不运动。而按照量子力学的泡利（Pauli）不相容原理和能级理论：在时，电子均居留在最低的能级上，而且一个能级不可能存在两

19、个以上的电子。就是说，N个共有化的电子要占居导带（在外电场作用下，电子能量发生改变而形成电流所对应的能带）下端的N/2个能级。因此，在时，电子能量非但不为零，而且大部分电子具有很大的能量。在绝对零度（）时电子所占据的最高能级，称为费米（Fermi）能级a满足泡利原理的电子服从所谓费米狄拉克（Dirac）统计，即在热平衡时，电子处于能量为E状态的几率为 式中：Ef代表费米能级的能量，k为玻耳兹曼常数。当时，若，则；当时，若，则；若，则。适当的计算可以证明：Ef的数量级为几个eV，而且在温度不太高时，金属中电子的能量分布和绝对零度时相差不多，但在很高在温度时，才和经典电子论得出的分布接近。我们知道

20、，在无线电技术和其他一些技术领域内，将常需要发射出来的电子，这就需要将金属中的电子从金属表面激发出来。而要使电子逸出金属表面必须对金属表面层内阻碍电子逃脱出去的某种阻力做一定数量的功，这个功称为金属电子的脱出功，用A表示。由于电子的最大能量在费米能级附近，所以电子逸出时，能量的增量至少应为，这就是电子的脱出功，即 的突变电势差U，即形成量子力学中所谓的“势垒”。因此，电子逸出金属表面时为了穿越这个势垒也要消耗外界的能量而做功，所做的功即为脱出功。故将一个电子从金属内部脱出的功 式中：e为电子电量，U称为脱出电位。有时也用金属的脱出电位来表示或说明金属的脱出功。一般地讲，电子的脱出功A在34.5

21、eV之间，脱出电位在34.5V之间，个别金属如銫（Cs）、钠（Na）、银（Ag）、金（Au）、钯（Pd）、铂（Pt）不在此范围之外，它们的脱出功依次为0.712.63、2.3、4.6、4.7、5.0、5.3eV。欲使电子能够从金属表面逸出，总得供给电子不少于其脱出功的能量，而使电子得以发射。按照提供能量方式的不同，电子发射分为以下几种类型。靠光照射在金属表面而使电子发射，称为光电发射；靠外加电场而引起的电子发射，称为场致发射；靠电子流或离子流轰击金属表面而产生的电子发射，称为二次电子发射；靠充分高的温度而使金属产生的电子发射，称为热电子发射。着重讨论热电子发射。设一已知金属电子的脱出功等于eU

22、，在此情况下，只有其动能不小于脱出功的电子，或者说其速度不小于vk的电子才能被发射出来。按经典论，电子的平均动能决定于金属的绝对温度。故在临界情况下，应有 因此，若以加热金属的方法使电子逸出金属，其所必需的绝对温度Tk应满足下式 由此可得Tk应为 根据此式我们可计算出脱出电位U在15V的任何金属的绝对温度的数量级在K2、接触电现象和接触电动势远在1794伏打（Volta）发现：温度相同但材料不同的两种金属A和B紧密接触时，在它们周围的某处会产生静电场，在金属A、B外很邻近的两点c、d间存在着电势差。如图接触电动势，这种现象称为接触电现象。分析产生接触现象电动势的原因，人们认识到出现接触电动势有

23、两种原因，那就是由于金属电子脱出功不同而产生的电动势和由于金属中自由电子密度不同而产生的电动势。对于前者，设A、B金属的脱出功分别为AAeUA、AB=eUB，UA、UB分别表示的是A、B的脱出电位，并设ABAA。则当A、B紧密接触后，由于A的偶电层内电子数小于B的偶电层内电子数，故A带正电，B带负电，因而产生静电场，也就形成电动势。这电势差的作用正好维持偶电层内的两方电子能量相等。故由于脱出功不同而造成的接触电动势为 对于后者，设A、B金属的自由电子数密度分别为nA、nB，且nA>nB。则当A、B紧密接触后两方电子互相渗入，形成电子扩散。因为A到B中的电子数要比B到A中的电子数多，结果形

24、成A带正电，B带负电，因而产生静电场，也就形成电动势，该电动势正好维持电子相互渗入不再进行而达到动态平衡。按经典电子论理论计算（查阅梁百先等电磁学教程，上册，第二版，P276），可算出电子数密度不同而造成的接触电动势为 综合以上结果，可见当具有相同温度T的两种脱出功和电子数密度均不同的金属A、B（设脱出功ABAA，电子数密度nB<nA）相互紧密接触而达到动态平衡时，在其外界很邻近的两点c、d间的总接触电动势为 其中：的数量级为十分之几到几伏，的数量级为百分之几伏。可以证明：对于多种金属依次紧密接触后总接触电动势只取决于首尾两种金属，而与中间金属无关；而对于多种金属依次紧密接触形成闭合回路

25、的则不金属依次紧密接触后的总接触电势差为 3、温差电现象和温差电动势如前所述，几种金属导体构成的回路并不产生接触电动势。但当金属及其接触点处温度不均匀时，就会在回路中产生电动势和电流，并伴随有与热传导有关的效应。电流通过金属导体时释放焦耳热的过程，和金属导体的热传导过程，是两个不可逆过程。但在一定条件下，可有三种可逆过程，这三种可逆过程都是由温差造成的电效应，把它们统称为温差电现象。温差电现象中的电动势称为温差电动势。以下将着重介绍这三种效应中的电动势及其产生原因。3.1塞贝克（Seebeck）电动势1821年德国塞贝克发现：把两种不同的金属A和B连接成如图所示的闭合回路时，如果将它们的两个接

26、触点分别置于温度各为T0和T（T0<T）的热源中，则在回路中将有电流发生。这一现象称为塞贝克效应，产生电流的电动势就称为塞贝克电动势。这一现象是可逆的，这样的电路称为温差电偶。用电位差计补偿法进行实验测量和用热力学定律进行计算都可证明：塞贝克电动势与温差（）的关系一般可展成（）的幂级数。忽略4次方以上的高次项，应有 在温度变化范围不大时，可近似写为 式中a、b是与用作温差电偶的金属性质有关的常数，a的数量级为105V·K1，b的数量级为108 V·K2。因此，在通常温度300K400K时，温差电动势一般都很小，仅从几毫伏到几十毫伏，因而单个温差电偶不可能用来做电源。但

27、为了增强温差电效应，我们可将温差电偶串联起来，而做成所谓的温差电堆来用作电源。3.2珀耳帖（Peltier）电动势1834年法国科学家珀耳帖发现：当电流通过两种不同金属A和B紧密相接而成的导体时，除了产生与电流方向完全无关的焦耳热外，还在接触点发生与电流方向有关的热量的吸收或放出，而且这个随电流方向改变而吸收或放出热量的过程是一个可逆过程。这种由于电流通过不同导体的接触点而产生吸热或放热的现象，称为珀耳帖效应，它是塞贝克效应的逆效应，利用半导体的珀耳帖效应可制成制冷机。在接触点放出或吸收的热量，称为珀耳帖热。珀耳帖由实验得出下列结论：若以恒定电流通过两种不同金属的接触点，则放出或吸收的热量与电

28、流I和时间t成正比，即 式中的叫做金属A对B的珀耳帖系数。设电流是从A到B，若在接触点有热量放出，则所示；若在接触点有热量被吸收，则取负值。珀耳帖系数是一个与金属性质和接触点温度有关但与电路其它地方温度无关的量。珀耳帖效应中，当电流通过接触点时要吸热或放热，说明在该点将电能转化为热能，也就是说在该处有一种“机制”，起转化电能的作用，这种作用相当于一个“电源”的充放电。因此，珀耳帖效应说明在接触点处存在电动势，该电动势就称为珀耳帖电动势。珀耳帖电动势一般较大，数量级在103102VIt通过接触点时有吸收或放出，所以珀耳帖系数即为单位电量通过时所吸收或放出的热量，亦即为接触点处的电动势值，故珀耳帖

29、系数也称为珀耳帖电动势，其方向依的正负而定。珀耳帖电动势本质上是两种不同金属接触时所产生的内接触电动势，其值应为。对于闭合的两接触点处于不同T0 和T（T0<T 显然，两接触点处于同温的两金属的闭合回路中电动势为零。3.3汤姆逊（Thomson）电动势英国科学家汤姆逊首先从热力学定律出发，在理论上预言：在同一个均匀的导体中，若有温度差存在时，应有电动势发生。称为汤姆逊电动势。由于有上述电动势的存在，就应有类似于珀耳帖效应的现象发生，即：当恒定电流通过具有均匀温度梯度的导体时，导体中除放出焦耳热QJ外，还将吸收或放出另一热量QT。QT称为汤姆逊热，这一现象称为汤姆逊效应。实验证明：当以恒定

30、电流通过具有温度梯度的导体时，导体单位体积吸收或放出的热量qT与电流密度j、沿导体的温度梯度及通电时间t成正比，即 式中称为汤姆逊系数，其值与导体的性质及平均温度有关。汤姆逊系数的数量级为。由于表示单位体积吸收或放出的热量，故的值相当于汤姆逊电动势元的值，因此 T0和T（为导体两端的温度）。由于较小，故汤姆逊电动势也很小，一般亦在几毫伏到几十毫伏间。而温差电动势一般都可认为是珀耳帖电动势与汤姆逊电动势的和。§5.4暂态过程1、RL电路的暂态过程当一个自感和电阻组成RL电路时，为0突变到的或变突为0的阶跃电压作用下，由于自感的作用，电路中的电流不会瞬间突变。这种从开始发生变化到逐渐趋于

31、稳态的过程叫做暂态过程RL电路受作用而经历暂态过程，此为充电过程；当开关K由1拔向2时，RL电路短路而经历又一暂态过程，为放电过程。下面将分别讨论。因而RL电路的暂态过程实质为其充放电过程。1.1充电过程设电源电势为，内阻为零，接通电源后，在任意瞬时，电路中总的电动势为 这就是RL电路中瞬时电流I 对两边同时积分，可得 或可写为 式中为积分常数，需由初始条件确定。当t=0时，i=0，则可得积分常数，于是有 RL比值下电流i随时间ti是经过一指数增长过程逐渐达到稳定值的。显然，的比值不同，电路中达到稳定值的过程所持续的时间不同。比值具有时间的量纲，它是标志RL电路中暂态过程持续时间长短的特征量，

32、我们称其为RL电路的时间常数，用表示。当时，；当时，。1.2放电过程将开关K由1很快拔向1，则作用于RL上的阶跃电压是从到0，但电流的变化所引起的自感电动势会使电流从I0减小为零的过程延续一段时间，由欧姆定律可得i所满足的微分方程为 其解为 式中的积分常数K2可由初始条件确定为K2I0，于是得此式表明，RL电路在短路时，电流将按指数规律衰减，衰减的快慢亦是用同上的时间常数总之，RL电路在阶跃电压的作用下，电流不能突变，而是滞后一段时间后才趋于稳定值，滞后的时间可由时间常数标志。2、RC电路的暂态过程用RL电路的暂态过程一样，RCi为暂态过程中的瞬时电流，q为电容器极板上的瞬时带电量，则。对于充

33、电过程，当开关K拔到1后，由欧姆定律得 对于放电过程，同理可得其方程为 将充电： 放电： 可以看出，RC电路的充电和放电过程按指数规律变化，其变化的快慢程度亦是由其时间常数来表征，RC越大，变化越慢，反之则越快。由于电容器上的电压为，因此电容器上的电压uC的变化亦将经历暂态过程。鉴于此RC电路的暂态过程在电子学，特别是脉冲技术中有着广泛的应用。§5.5正弦交流电概述交流电就是大小和方向都随时间作周期性变化的电动势、电压、电流的总称。其类型很多，按其变化规律的不同可划分为：（1）正弦（简谐）波形的交流电；（2）矩形波形的交流电；（3）锯齿波形的交流电；（4）尖脉冲波形的交流电；（5）调

34、幅波形的交流电；每种波形的交流电都有其特殊的作用。例如，电子示波器用来扫描的信号是锯齿波形的交流电；广播电台发射的信号是调幅波形的交流电；工农业生产和日用电则是50Hz的简谐（正弦）交流电。正弦交流电是最简单、最基本的最重要的交流电，因为任何形式的交流电都可以分解为一系列不同频率的简谐（正弦）交流电，而且正弦交流电的计算最简单。今后，我们将正弦交流电就简称为交流电，除非是其它交流电。1、正弦交流电的三要素正弦交流电可由如上章所讲的交流发电机来产生。根据电磁感应原理，可在发电机转子线圈的两端得到按正弦规律变化的电动势，即 将其接入由一定元件构成的二端网络中，就可在各元件两端得到按正弦规律变化的电

35、压和电流，如此也就构成了正弦交流电路。然而在正弦交流电路中，其电动势、电压和电流的瞬时值可分别表示为（主要原因是将会看到：一个按变化的谐振动，可用一个旋转矢量表示，而矢量间的加减运算要比正（余）弦计算方便得多。） 其中，Em、Um和Im分别为电动势、电压和电流的最大瞬时值，称其为正弦电动势、电压和电流瞬时值的幅值或最大值；反映了交流电瞬时值的变化快慢，称为正弦交流电的圆频率或角频率，也可用频率来反映；是关于时间t的函数，它反映了交流电的变化趋势和所处状态，称为交流电的相位；是在t=0时的相位，它反映了交流电的初始状态称为交流电的初相位。我们以后将正弦交流电的瞬时值一律简称为正弦量。任何交流电的

36、瞬时值都可由其幅值、频率和初相位来唯一确定，因此最大值、频率和初相位是确定正弦交流电的三个基本参量，称其为交流电的三要素。2、正弦交流电的有效值在实际工作中，使用交流电的目的就是使用交流电所产生的效应。例如，电灯、电炉是使用交流电的热效应，这时我们的感兴趣的是交流电通过灯丝、电阻丝后被加热的程度；在使用电动机时，我们感兴趣的是电流通过电动机后产生的机械功率的大小。这就是说，在实际工作中，我们往往通过电流所产生的效应来衡量交流电的大小的。这一衡量交流电大小的量我们将用其热效应与直流电热效应相等效的量有效值来表示。我们规定：某交流电流i通过电阻R时，在一个周期T内，电阻所消耗的热能与某一直流电流通

37、过电阻R时，在同样的时间内所消耗的热能相等，则此直流电流I称为交流电流i的有效值。瞬时交流电流i通过电阻R时的功率为i2R，在dt时间内的功为i2Rdt，在周期T内的总功为 而直流电流I在相同的时间T内通过R所作的功为 则由有效值定义，得 即交流电的有效值为其瞬时值在一个周期内的均方根值。对于正弦交流电流，应有 同理可得： ，因此，交流电动势、电压和电流的有效值与最大值的关系为， ， 各种交流电的读数几乎都是有效值。我们平常所知的市电电压220伏，即是指交流电压的有效值。3、正弦交流电的振幅矢量表示法（矢量法）解析法），还可用波形图示法（简称图示法）表示。然而这两种表示的优点就在于比较直观和形

38、象。但若有两个或两个以上的正弦交流电相互迭加时，其缺点就暴露无疑了，那就是比较复杂。为此，我们改进为用振幅矢量法（简称为矢量法）表示正弦交流电，这对于交流电路中的同名正弦量的相互迭加计算，显然是很方便的。对于任一正弦量，我们可以用一旋转的矢量随时间的延续而在横轴x对于正弦交流电，用振幅旋转矢量可表示为 振幅矢量法不但能形象地把正弦量的三要素表示出来，而且在计算两个或两个以上的同频率同名称的正弦量的相互迭加时，也是既直观又简单的。例如：有两个正弦交流电流 ， 它们的代数和为 这一计算结果最后可以得出，然而其中过程比较复杂。但若用振幅矢量法将每个正弦电流表示出来，则计算变得相当方便，即、，于是，即

39、为 其中 很明显，用矢量法计算和表示两同名正弦量的迭加，既简单又形象，这也是矢量法的优越之处。然而，对于异名的正弦量之间的乘、除运算，显然这种矢量法也是无难为力的。4、正弦交流电的复数表示法（相量法）鉴于矢量法的不足之处，我们可另寻途径。虽然振幅矢量法有表示直观计算简便的优点，但它本身并没有表明方向，只是通过矢量图表示。因而，用矢量法计算交流电路时，必须先画出矢量图。然而一些复杂的交流电路，往往很难画出对应的矢量图，这就给电路的计算带来了许多的困难。正弦量的复数表示法相量法可以克服以上缺点，这种表示法可以把正弦量的最大值和相位同时表示出来，而交流电路的计算则成为同名或不同名复数间的代数运算。对

40、于一给定的正弦交流量，我们可以制造一个复数，要求这个复数的模等于正弦量的最大值，幅角等于正弦量的相位，则这正弦量的瞬时值等于这复数的实部，即 若有两个同频率同名正弦量 ，则这两正弦量之和为采用复数表示法，则为 ，于是 因为e亦是一个正弦量，故也可用复数表示，即由此可得 这就是说，要求两个同频率交流量之和，可先将这两个正弦量用复数表示，然后求出这两复数之和，则和的实部就是两正弦量之和。在讨论同频率的正弦量时，常可省去公共因子，而引入复振幅的概念。如 其中， 称为复振幅，其模等于正弦量的最大值，其幅角等于正弦量的初相位。引入复振幅后，可以用两个复振幅之和来计算两个同名正弦量的迭加，即 的模即为e的

41、最大值，的幅角即e的初相位。但在实际电路计算中，通常用正弦量的有效值去表示复振幅的模（因为，）。如此，正弦交流电动势势、电压和电流可分别表示为 通常我们将上述用复数表示的正弦量统称为相量，也可分别称为相量电动势、相量电压和相量电流。根据复数知识，我们知道，。那么对任一相量，用上述各因子去乘以某相量，在复平面内相当于将原相量按逆时针方向依次旋转。例如，设有相量电流，则，旋转因子。其意义并不在于能使某相量旋转，而是说明两个复数所表示的正弦量之间的相位差，尤其是对于同频率但不同名的正弦量。用相量法表示正弦量，在不同名正弦量之间的计算上是相当简单的，而且也是相当直观的，因为这不仅可以看出两个不同名正弦

42、量间的有效值关系，而且也可以看出两正弦量间的相位关系。§5.6单一元件的交流电路1、纯电阻电路当有一正弦电压加于某一纯电阻元件上时，将有一交变电流i通过电阻Ri与电压uR在任一时刻仍遵守欧姆定律，即 那么，电流应为 显然，电阻两端的电压与通过电阻的电流同频率、同相位，电压的最大值（或有效值）与电流的最大值（或有效值）的关系仍满足如下的欧姆关系 或若用相量表示电压和电流，则有电阻是一个耗能元件，它所消耗能量的瞬时功率为显然，电阻上的瞬时功率也随时间变化，变化的频率为电流频率的两倍，因为，故功率。这表明电阻上消耗的功率时大时小，但时时刻刻都在消耗能量。但在实际应用中，重要的是考察其一个周

43、期内的平均功率，即即电阻的平均功率等于电流强度的有效值与电阻两端电压的有效值之乘积，也等于电流强度有效值的平方与电阻的乘积2、纯电感电路时，设若通过电感的电流为。那么，该变化的电流将产生自感电动势，显然在任一时刻都与反向，故有 那么，可由电流的瞬时表达式得显然，电感两端的电压与通过电感的电流同频率但不同相位，电压相位超前电流；电压的最大值（或有效值）与电流的最大值（或有效值）的关系仍满足如下的欧姆关系 或从电压与电流的有效值或峰值关系看，电感对正弦电流的作用犹如一大小为的电阻，我们将称为电感的感抗，用表示，即为 显然：，；，。故电感元件具有“阻交流、通直流、阻高频、通低频” 若用相量表示，则有

44、 此式不仅给出了电压与电流的有效值（峰值）关系，而且也给出了电压与电流的相位关系，即电压超前电流电感的瞬时功率为可正可负，故瞬时功率也可正可负。可以看出，电感中电流增长的过程是建立磁场的过程，在这过程中，电感从电源吸收能量而转化转化为磁场能量储存起来；而电感中电流减小的过程则是磁场消失的过程，在这过程中，以消耗磁场能量为代价，电感中将放出能量。因此，电感元件在交流电路中，在一个周期内，将重复两次储存和释放磁场能量，但并不消耗能量。若，表示电源对电感作正功，电感从电源汲取能量；若，表示电源对电感作负功，电感把能量送回电源。在一个周期内电感的平均功率为即电感的平均功率为零，但瞬时功率却不一定为零。

45、这表明电感在电路上并不消耗能量，但要“吞吐”能量，时而从电源吸收能量，时而又把能量馈送给电源。这一能量转换的最大速率为 形式上完全与电阻的平均功率相似，但表示电阻所消耗能量的速率，而却表示能量转换的最大速率，所以二者本质不同。为了区分，我们把称为有功功率，以瓦（W）、千瓦（KW）等为单位；而把称为电感的无功功率，并用乏（Var）、千乏（KVar）等作单位。乏具有同瓦相同的量纲。3、纯电容电路uC。则对电容两极板而言，电压的变化，将导致其电量的变化，因而在电容器间将有变化的电流i通过，其大小为 设若加于电容器两端电压为，则电流为 显然，纯电容两端的电压与电路中的电流同频率但不同相位，电压相位落后

46、于电流；电压的最大值（或有效值）与电流的最大值（或有效值）的关系仍满足如下的欧姆关系或 从电压与电流的有效值或峰值关系看，电容对正弦电流的作用犹如一大小为的电阻，我们将称为电容的容抗，用表示，即为 显然，；，。故电容具有“隔直流、通交流、阻低频、通高频”的作用。引入电容的容抗之后，电容两端的电压和电路中的电流关系与直流电路中的欧姆定律相仿，即 或 若用相量表示，则有 此式不仅给出了电容器两端电压与电流的大小关系，而且还给出了二者之间的相位关系，即电压落后电流电容器的瞬时功率为 可正可负，故瞬时功率也可正可负。可以看出，电容器的充电过程是建立电场的过程，电容以电源吸收能量而转化为电能储存起来；而

47、电容器的放电过程则是电场消失的过程，这时电容以电能减少为代价，而把电能释放给电源。因此，电容器的充放电实质就是储存和释放电能，也就是电势与电源交换能量。若，则表示电容将电源中提供的能量转变为电能而储存；若，则表示电容释放电能而将能馈送电源。在一个周期内电容的平均功率为即电容的平均功率也为零，但瞬时功率却不一定为零。这表明电容与电感相似，在电路中只“吞吐”能量，并不消耗能量，这一能量转换的最大速率仍可表示为此即为电容的无功功率，其形式完全与电阻的平均功率相似，并仍可用乏（Var）、千乏（KVar）等作单位。§5.7RLC交流电路1、RLC串联电路R、L、C元件相串联的两端加一正弦电压u

48、，则流经各元件的电流i将是共同的。若设，对各元件用相量法表示，则有 ， ， 对于总电压，故有 其中，称为复数阻抗，其实部即为纯电阻，其虚部称为电抗。复阻抗又写为指数形式其模称为阻抗，其幅角称为阻抗角。它们分别为 其中 RLC串联电路中电压与电流的大小关系，也说明了电压与电流的相位关系为电压超前电流。而复数阻抗的模反映了RLC三元件的串联组合对电压和电流的有效值关系，而其幅角又反映了RLC三元件串联组合对电压和电流的相位关系。RLC作为参考相量，即其初相位为零，此图称为电压三角形。在此相量图中，同时除以相量，即可得到所谓阻抗三角形I2，即得所谓功率三角形RLC串联电路的功率三角形中，各边的大小显

49、然为其中，P为RLC电路的有功功率，反映了电路中电器消耗能量的速率；Q为RLC电路的无功功率，反映了电路中电器与电源能量转换的最大速率；S则为RLC电路的现在功率，反映了电源向电器提供能量的速率，其单位为伏安（VA）或千伏安（KVA）；称为功率因数，反映电路中电器对能量的使用率，称为功率因数角。2、RLC并联电路R、L、C三元件并联的两端加一正弦电压u，则流经各元件的电流是不同的。由并联电路的特点，应有。但各元件两端电压为公共量，设其为，故用相量法表示后，可得 其中，称为复数导纳，简称为复导纳，其虚部称为电纳，而称为感纳，称为容纳；其实部称为阻纳。根据复数知识，复导纳又可写为如下指数形式其中，

50、复导纳的模称为导纳，其幅角称为导纳角，它们分别为其中 或RLC并联电路中的总电流与总电压的大小关系，也说明了RLC并联电路中总电流与总电压的相位关系为电流落后电压（即超前）。因此，复导纳的引入，其模可表征电流与电压的有效值关系，其幅角则可表征电流与电压的相位关系。RLC作为参考相量，即其初相位为零，此图称为电流三角形。在此相量图中，各边同时除以相量，即可得到所谓的导纳三角形，即得所谓的功率三角形RLC并联电路的功率三角形中，显然 它具有和串联电路类似的形式。由于电流三角形中的各边与功率三角形中的各边一一对应，故将与有功功率对应且与电压同相的电流分量称为电流的有功分量，而将与无功功率对应且与电压

51、相位相差的电流分量称为电流的无功分量。3、解题示例在如上的讨论中，以相量图为准，我们介绍了两种不同连接方式的电路所对应的两种不同的三角形，即电压三角形与电流三角形。这两种对应的三角形所对应的具体物理意义是很明确的，而由此“派生”出的有相应的新三角形，即阻抗三角形与导纳三角形和功率三角形。由此看来，选择不同的参考相量，将相应采用不同的物理量来描写电路的不同特征。但无论哪一种方式，最终都能确定电路中电压与电流的具体关系（大小和相位），这是我们的目的所在。复阻抗的引入是用来处理串联一类问题的，而复导纳的引入则是用来处理并联一类问题的。下面我们通过具体实例来理解和体会。例题5.4 RC相位电路。在无线电路的设计中，往往要求某一部位有一定的直流电压，但同时必须让交流畅通，交流电压很小，而使直流电压保持稳定。通常在这种部位中安置适当搭配的RC并联电路，其中的电容起到旁路作用，即起到如上所述作用。在无线电技术中，往往还需要使电压和电流之间的相位差改变一定的数值，即使输入信号和输出信号有一定的位相差，这时的RC串联电路即起到移相作用。，。要求输出信号与输入信号间有的相位差（即移相），问电容C应取多大？解：输入电压为输出电压和R所