数学建模论文 数码相机

1、A题 数码相机定位摘 要本文研究的是数码相机定位问题。对问题一，当不考虑畸变时，通过坐标转换建立靶坐标与像坐标之间的线性方程组模型解得比例系数，根据靶标上的特征点靶坐标以及对应的像坐标，计算模型中的未知参数。 对问题二，由线性方程组模型计算靶标上圆心坐标在像平面上的像坐标；当考虑畸变时通过坐标转换建立把坐标与像坐标之间的非线性模型，根据靶标上的特征点靶坐标以及对应的像坐标，利用1stO软件计算非线性方程解得相机的内外参数，再由非线性方程组模型计算靶标上圆心坐标在像平面上的像坐标: ，对问题三，引入标定距离差对靶平面与成像平面所确定的函数关系进行方差检验、中误差检验、平均误差检验。检验结果为 误

2、差大小（m）0.0000840.0002160.0001960.0000180.0001430.0001430.0002270.0129840.0207750.197970.0059610.169300.169300.0213050.0064920.0103880.0098980.0029810.0084650.0084650.010652检验结果表示误差比较小说明用考虑畸变的非线性方程组模型进行相机标定精确度较高，稳定性好。对问题四，首先考虑利用双目定位的非线性方程组来解决两部摄像机相对位置的问题，进一步通过实验建立世界坐标模型并对两部相机位置进行初步计算。 论文解决了所有提出的问题，所建立

3、的模型求解结果精度较高，稳定性好。关键字：靶坐标平面 成像坐标平面 误差检验 世界坐标模型 MATLAB6.5 AutoCAD 1stOpt一 背景早期数码相机的功能只是用于拍照。随着信息技术的发展,数字技术的发展实现广播与通信奇迹般的结合,于是数码相机功能逐渐发展起来。与早期数码相机不同，现在的数码相机不在是单纯应用于家庭生活拍照，在航天研究方面和城市建设方面等诸多应用领域中应用到了数码相机。近几年来尤其在交通监管（电子警察）方面，数码相机定位有广泛的应用。数码相机定位是用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。针对物体的某一特点，

4、用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。运用数码相机定位此种功能是科技发展的产物，在交通管监管中使人们生活的更加有秩序、安全。二 问题的提出有人设计靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，如图2所示。图 1 靶标示意图用一位置固定的数码相机摄得

5、其像，如图3所示。图2 靶标的像问题一：对相机定位进行合理分析，在坐标系原点取在该相机的焦点，x-y平面平行于像平面的前提下，建立合理的数学模型以及给出算法确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标。问题二：对由图1图2分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距（即焦点到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024×786。问题三：对相机定位已经建立好的数学模型设计出一种方法检验，并且对此种方法的精度和稳定性进行合理讨论讨论。问题四：相机的位置在拍摄过程种起着重要的作用，建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数

6、学模型和方法。三 问题的假设及符号说明3.1 问题的假设（1）不考虑相机透镜的所产生非畸变外的它类光学效应。（2）假设问题一在坐标系原点取在该相机的焦点，x-y平面平行于像平面的前提下（3）假设相机本身质量良好，所拍摄的图片在相机功能良好的情况下拍摄。（4）假设题目中所给定的图片合乎要求，尺寸精度十分准确。（5）假设靶平面的坐标原点与像平面的坐标原点均建立在给定图片的几何中心上进行分析计算。（6）假设所给的图形是标准的。3.2 符号说明符号含义相机行列两方向的比例因子像主点参数图像平面坐标、畸变误差径向畸变相机焦距轴畸变参数轴畸变参数径向分量切向分量四 问题的分析问题一:确定靶标上圆的圆心在该

7、相机像平面的像坐标时，在坐标系原点取为该相机的焦点，x-y平面平行于像平面的前提条件下采用两种分析方法：第一种不考虑畸变参数,第二种考虑畸变参数。第一种分析方法不考虑畸变参数时，像平面坐标可以建立为靶平面上点坐标和相机行列方向的比例因子的函数关系，建立起旋转和平移的关系使靶平面坐标、相机坐标、形成图像坐标相互转化。由于在成像中很容易产生畸变，畸变是像差的一种，物体上的直线经过透镜成像后变成弯曲的现象。为更精确的得出靶平面与像平面坐标的关系采用第二种分析方法考虑畸变参数时，通过考虑径向畸变，离散畸变，薄透镜畸变得到总畸变函数。进而来确定靶平面与像平面的函数关系。问题二：在对靶标上圆的圆心在像平面

8、上的像坐标进行标定时，利用上一模型解得的二维靶平面与像平面的坐标关系，确定给定圆圆心的横纵坐标，带入问题一解得的模型进行对靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标的确定。可以得出靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标。问题三：:经过分析后采方差，中误差，平均误差后，对发生畸变后的模型进行精度检验。在检验过程中引入了桥梁，是点与点之间标定出的距离，从而可以建立方差，中误差，平均误差的关系式。问题四：要得到两个相机的相对位置可以采用靶上圆位置的确定采用双目立体视觉技术。双目立体视觉技术是用两个相机模拟人的双眼，同时从两个不同位置对同一目标拍摄图像，然后通过目标匹配根据三角关系计算目标的空间位置。数码相机定位解题

9、思路流程图五 模型的建立与求解畸变是像差的一种。物体上的直线经过透镜成像后变成弯曲的现象。畸变是由于透镜的放大率随光束和主轴间所成角度改变而引起。光线离主轴越远，畸变越大，但是若与主轴正交并通过主轴，则不发生畸变。放大率随入射角度增加而增大时称正畸变。放大率随入射角度增加而减小时负畸变。换句话说，若物点离开光轴越远，放大率越大，就产生畸变，如果物点离开光轴越远，放大率越小则产生负畸变。特别是镜片屈光度大时，像的畸变现象严重。由于畸变，看物体，像失去了原来的正确形状。减小畸变的方法是，对单一透镜改变镜片的外形，采用最佳的外形可以使畸变减小到最小程度。与此同时畸变又分为径向畸变、离散畸变等，通过这

10、些畸变使物体在不同程度上失去原来的正确外形。5.1 问题一模型建立建立靶坐标为，相机的坐标为，形成图像坐标为可列矩阵：假定为旋转矩阵，N为平移向量。其中：包括：由题意可知靶标上的点坐标由autoCAD 绘制图形得到: (-62,62), 照相机上所成的像形成四边形外的交点坐标为(-57.3,58.5), (42.3,50.2), (24.0,-39.5), (-68.6,-40.1)在解决问题一时可以采用不同的两种方法进行分析。不考虑光线发生畸变时当不考虑畸变时标靶与像可以简单的认为是凸透镜成像建立如下线性方程组模型：其中为焦距在此基础之上可简化为相机的行列方向的比例因子来建立靶平面坐标与像的

11、关系。 设像主点参数为，此问题中令靶的坐标主点建立在靶平面的中心即为（0，0）由于相机行列两方向的比例因子为不同，所以靶平面坐标与像平面坐标有以下关系存在：取靶上坐标A（-62，62），把主参数即中心坐标点定为坐标（0，0），当不考虑畸变时解得关系得到：所以可以得到在不考虑畸变时得到的靶坐标平面与形成的像平面坐标关系为：由于在理想状况下不发生畸变时可能性是很小，几乎不存在，可以采用另一种方法进行分析即考虑发生畸变的情况。5.1.2.当考虑畸变参数时所形成的像与原来未形成的像比较时要考虑一个畸变矩阵和一个平移矩阵，建立如下非线性模型： 几何畸变关系到像平面坐标系中像点的位置。观测的像元位置与理想

12、状态下的位置不相等。所以需要采用考虑位置误差表达式可以转化为：其中、是不可知的，最理想状态下的图像坐标。、是畸变误差，其中主要考虑畸变中三种畸变。1） 径向畸变：由应用光学知识可知，径向畸变和视场的三次方成正比。忽略高次项，有：其中为畸变参数，表示视场，设分别代表为轴和轴的畸变参数那么在,两个方向的分量为: 2)离散畸变：透镜的光学中心不能严格在同一直线上造成的畸变，包括径向分量和切向分量，其中 为离散畸变的行列即便参数忽略高次项，用表达式可以表达为： 3） 薄透镜畸变：薄透镜是由透镜的设计，生产以及相机组装的不完善引起的，忽略高次项可以表达为： 4）畸变总量：合并以上三种畸变得到：设像主点参

13、数为，由于相机在行、列两方向的比例因子不同，所以图像平面坐标与像平面坐标有关系建立数学模型为：运用1stOpt15PRO.exe中遗传算法计算非线性方程5.2问题二在考虑畸变情况下进行求解用autoCAD画图得到靶标上圆的坐标（即原像的坐标）得到四边形外交点为 (-62,62), 照相机上所成的像形成四边形外的交点坐标为(-57.3,58.5), (42.3,50.2), (24.0,-39.5), (-68.6,-40.1)图3图4运用原像及像点带入模型： 运用1stOpt15PRO.exe计算非线性方程解得：由此得到形成图像上（像）点的坐标与靶标（原像）点的坐标的关系为： （1） 通过以上

14、分析可得靶平面与像平面的关系得以确定，靶平面与像平面上的靶圆与图像点的关系能够对应起来。由于已知靶平面中五个圆的圆心坐标为： 把五个圆心坐标带（1）计算出靶标上各圆心坐标在像平面内对应椭圆偏移后中心坐标为：； ；5.3问题三模型建立由以上靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标建立数学关系列写的数学模型得到的模型中计算出点的坐标，由于没有进行绝对标定，所以得到的结果精度评定只能根据点之间的距离来进行。用来衡量精度的指标有方差、中误差、平均误差，建立关系如下：其中是点与点之间标定出的距离，为距离的个数。把带入：得到：；点与点的距离分别为,与的距离为。得到距离（单位/毫米）如下表所示：38.40127

15、8.771869.300669.5518102.9674;83.0533;32.2479;51.3849;100.076589.097375.5130123.7427;99.9718;15.3183其中并且: 由方差、中误差、平均误差，建立总数学模型为：通过分析计算得到下表结果：误差大小（m）0.0000840.0002160.0001960.0000180.0001430.0001430.0002270.0129840.0207750.197970.0059610.169300.169300.0213050.0064920.0103880.0098980.0029810.0084650.00

16、84650.010652问题三的小结:通过标定点距离计算出方差，中误差，平均误差都检验显著，由上表误差分析可知方差，中误差，平均误差都比较小，说明所建立的关于靶平面与像平面的坐标的关系是比较精确的，比较稳定的。 5.4对问题四建立世界坐标模型：此问是比较开放的问题，要求建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。但没有让给出结果，也就是说只要有符合要求的模型即可。在双目相机系统中, 每个相机都分别符合问题一所描述的成像模型。而通过单个相机模型,可以分别知道左、右相机的图像点与3 维世界坐标的点的对应关系即： 的对应关系已分别知道。而双目标定所需要解决的问题是两个相机坐标系之间的对应关

17、系,即与 之间的转换关系。而由于它们分别属于3 维直角坐标系, 因此它们之间的转换包含有旋转以及平移的关系,建立双目定位模型为：其中,旋转矩阵 以及平移向量 就是双目标定所要求解的内容。利用双目立体视觉技术测量距离的关键是特征点(即O点)的选取和匹配。常用的方法是选择一幅图像中目标的形心为特征点，根据灰度值在另一幅图像中进行匹配，所用的匹配算法通常比较复杂，计算量大，而且对采集到的图像质量要求很高，否则造成错误匹配的概率很大。针对上述问题和本研究的具体对象，本文提出以下采用形心匹配取代常规特征点选择和匹配的方法。由型心匹配原理适宜图得，表示一个圆， 为左左边图像的中心， 为左边图像上成椭圆的形

18、心，为右边图像的中心，为右边图像上椭圆。圆心匹配原理示意图根据前面图像识别的结果，很容易求得两幅图像中圆的圆心坐标。这样利用：就可以求得圆心 到LR 连线的连线距离。但是真正需要得到的是圆上 C 点到LR连线的距离，所以测距公式应该变成，所以测距公式应该变成：其中C为圆的半径。圆的空间坐标换算两架相机之间距离的中心点为世界， 坐标系原点, 以两相机之间的连线右方向为 轴的正方向, 以过原点且垂直于水平面向上为 y 轴的正方向, 以过原点且平行于水平面指向物体的方向为 z轴正方向。建立世界坐标系与图像坐标系之间的关系, 根据体视成像的原理得出世界坐标为： 令两相机之间的距离为，相机焦距为，特征点

19、在两架相机的成像坐标系中像点横坐标、，特征点在两相机的成像坐标系中像点纵坐标为、，目标成像的视差为：。时左右两幅图像中圆心的纵坐标。通过实验得到左相机摄得的像的坐标为：；右相机摄得的像的坐标为：；如图所示实验拍摄图片如下：将以上所有坐标带入世界坐标模型当中：得到测试数据结果为：b-8.75320.235613.36717.2301f-26.768641.596848.538931.2581由表中数据可知，b,f误差比较大，产生的原因可由拍摄时光线引起得误差，或相机本身造成的，测量时引起的误差等。六 模型改进以上对问题的分析建立数学模型时建立二维坐标系进行相互转化得到靶平面与形成像平面关系进行确

20、立。但是在实际问题中若要考虑的更加精确还要考虑诸多因素，才能使把平面上的（原）像与成像平面上的像准确对应。1.建立世界坐标（World coorimate system），世界坐标系中3维空间中的一点可以表示为。2.相机坐标系为，该坐标系以镜头的光心为原点，光轴为轴。相机坐标系上的一点可以表示为。3.相机成像的平面坐标系为,这是基于成像平面建立的2维坐标系，维坐标系,成像平面与光轴垂直,与光心的距离为摄像机的焦距f。4.计算机图像坐标系，这是以像素为单位长度的一个坐标系，图像上的某一点记为找出3维世界坐标的点与2维图像坐标的点的对应关系可以分为以下步骤：1）.世界坐标到相机坐标的变换，由于两个

21、坐标系都是3 维直角坐标系，变换的形式满足：其中是一个3×3的矩阵,反映旋转关系, 是一个三元素列向量写成3×1的矩阵形式,反映平移关系。2）.摄像机坐标到成像平面坐标的变换。利用针孔模型可以将3维的摄像机坐标变换为理想的(不考虑畸变的)图像坐标其转换关系为：其中为相机的等效焦距。3）.考虑镜头的径向畸变,将非畸变的坐标变换为畸变坐标。在大多数的实际应用中,径向畸变是造成非线性函数关系的主要原因。考虑径向畸变后,得到的坐标记为,转换关系为：, ， , 4）.真实的图像坐标到计算机图像坐标的转换。其转换关系为：其中, ，是主点在计算机图像坐标系中的坐标, 反映了两个坐标系转换

22、时横、纵坐标分别满足的线性关系。以上, 都是传统的单个摄像机标定所要求解的参数。其中, 称为外部参数, 反映的是摄像机的空间位置,称为内部参数。这样建立出的四维坐标系在计算靶坐标平面上的点，与形成图像的关系标定的更加准确。七 模型评价对与数码相机定位的研究中有许多优点：（1） 建立出比较精确的数学模型确定靶平面与成像坐标平面的坐标关系（2） 对所建立的数学模型进行了方差、中误差、平均误差的检验。效果较好，精度高。（3） 在对问题四研究时能采用实验的方式对左右相机摄得的图片加以分析得到两照相机的相对位置。（4） 对于本文的数码相机标定研究后，可进一步拓展到其他领域。在拥有诸多优点的同时存在着缺点

23、;（1） 建立在假设的基础之上进行问题的求解。（2） 实验中系统误差与人为误差时存在的。 八 总结全文相机的标定视觉研究的一个重要课题。在标定方法中,将靶平面与成像平面进行参数假设，建立模型中在未考虑镜头畸变和考虑镜头畸变,得到相关方程组，在求解非线性方程时是经过多次迭代而求得,通过计算可以比较精确地得到相机的内方位参数，而且运用到方差、中误差和平均方法进行检验。在研究相对位置设定时，两台相机的之间的相对位置既适合于单个摄像机的标定,也适合于双目立体相机的标定。然而这类方法需要在控制点的配置、测量上做较多的工作,过程要求严密,通常需要在实验室内精确地进行操作。通过对本文的研究可知，可以把相机标

24、定研究可以拓展到航天，卫星定位等研究当中去具有比较广的适用性。九 参考文献【1】姜启源 谢金星 叶俊，数学模型，北京 ：高等教育出版社，2003.8；【2】韩冰，车载CCD相机对标定的研究，23-37页，2007年5月23日出版；【3】郑小东 赵文杰 刘木华，基于双目立体视觉的番茄识别与定位技术，江苏大学生物与环境工程学院，镇江，211013；【4】刘承平，数学建模方法，北京 ，高等教育出版社，2002.7；【5】苏金明，MATLAB工具箱应用，北京：高等教育出版社，2005年【6】中国图像图形网，2008，9，21附录【1】运用软件1stOpt15PRO.exe确定靶平面坐标与像平面坐标参数

25、的非线性方程代码如下：相应的代码为：Parameters t1,t2,k1,k2,p1,p2,s1,s2;Functiont1*(-62+k1*(-476656)+p1*15376+p2*(-7688)+s1*7688)=-57.3;t2*(62+k2*476656+p1*7688+p2*15376+s2*7688)=58.5;t1*(62+k1*476656+p1*15376+p2*7688+s1*7688)=42.3;t2*(62+k2*476656+p1*7688+p2*15376+s2*7688)=50.2;t1*(-62+k1*(-476656)+p1*15376+p2*7688+s

26、1*7688)=-68.6;t2*(-62+k2*(-476656)+p1*7688+p2*15376+s2*7688)=-40.1;t1*(62+k1*476656+p1*15376-p2*7688+s1*7688)=24.0;t2*(-62+k2*(-476656)+p1*7688+p2*15376+s2*7688)=-39.5;/软件的算法设置为：遗传算法，别的格式是默认的；点击运行= 结果 =迭代数: 1166计算用时(时:分:秒:毫秒): 00:00:00:157计算中止原因: 达到收敛判定标准优化算法: 遗传算法函数表达式 1: t1*(-62+k1*(-476656)+p1*15

27、376+p2*(-7688)+s1*7688)-(-57.3) 2: t2*(62+k2*476656+p1*7688+p2*15376+s2*7688)-(58.5) 3: t1*(62+k1*476656+p1*15376+p2*7688+s1*7688)-(42.3) 4: t2*(62+k2*476656+p1*7688+p2*15376+s2*7688)-(50.2) 5: t1*(-62+k1*(-476656)+p1*15376+p2*7688+s1*7688)-(-68.6) 6: t2*(-62+k2*(-476656)+p1*7688+p2*15376+s2*7688)-(

28、-40.1) 7: t1*(62+k1*476656+p1*15376-p2*7688+s1*7688)-(24.0) 8: t2*(-62+k2*(-476656)+p1*7688+p2*15376+s2*7688)-(-39.5)k1: 0.869825711436757p1: -0.309757454758087p2: -0.257721572648491s1: -18.494712609s2: 1.24281555017241= 计算结束 =取：t1=0.000121;t2=0.001675;k1=0.869826;k2=0.056321;p1=-0.309757;p2=-0.257722