B样条曲线和曲面

1、B样条曲线和曲面样条曲线和曲面 B样条曲线样条曲线 给定给定n+1个控制点个控制点P0，P1，Pn，它们，它们所确定的所确定的k阶阶B样条曲线是：样条曲线是： n n0 0i ii iP P(u)(u)k ki,i,N NP(u)P(u)其中其中N Ni i，k k( (u u) )递归定义如下：递归定义如下： 这里这里u u0 0，u u1 1，u un n+ +k k，是一个，是一个非递减非递减的的序列，称为节点，序列，称为节点，( (u u0 0，u u1 1，u un n+ +k k) )称为称为节点向量。定义中可能出现节点向量。定义中可能出现 ，这时约定，这时约定为为0 0。 n n

2、i i1 1, ,0 0k k( (u u) ), ,1 1k k1 1, ,i iN N1 1i iu uk ki iu uu uk ki iu u( (u u) )1 1k ki i, ,N Ni iu u1 1k ki iu ui iu uu u( (u u) )k ki i, ,N N其其它它0 0, ,1 1k kn ni i, ,0 01 1i iu uu ui iu u1 1，( (u u) )i i, ,1 1N N0 00 0 选取，选取，n n=2=2，k k=1=1，控制顶点是，控制顶点是P P0 0，P P1 1，P P2 2，这样应选择参数节点，这样应选择参数节点n

3、n+ +k k+1=4+1=4个，设节个，设节点向量是点向量是( (u u0 0，u u1 1，u u2 2，u u3 3) )，按式定义，可，按式定义，可写出三个基函数：写出三个基函数： 3 3u uu u2 2u u1 1, ,2 2u uu u1 1u u0 0, ,1 1u uu u0 0u u0 0, ,( (u u) )2 2, ,1 1N N3 3u uu u2 2u u0 0, ,2 2u uu u1 1u u1 1, ,1 1u uu u0 0u u0 0, ,( (u u) )1 1, ,1 1N N3 3u uu u2 2u u0 0, ,2 2u uu u1 1u u0

4、 0, ,1 1u uu u0 0u u1 1, ,( (u u) )0 0, ,1 1N N由公式可知所定义的由公式可知所定义的B B样条曲线是样条曲线是 3 3u uu u2 2u u, ,2 2P P2 2u uu u1 1u u, ,1 1P P1 1u uu u0 0u u, ,0 0P P2 2(u)P(u)P2,12,1N N1 1(u)P(u)P1,11,1N N0 0(u)P(u)P0,10,1N NP(u)P(u) 选取选取n n=3=3，k k=2=2，于是有四个控制顶点，于是有四个控制顶点P P0 0，P P1 1，P P2 2，P P3 3，应有参数节点，应有参数节点

5、n n+ +k k+1=6+1=6个，设节点向量个，设节点向量是是(0(0，0 0，1 1，2 2，3 3，3)3)，试画出所确定的，试画出所确定的2 2阶阶B B样条曲线。样条曲线。 取取u u=0.5=0.5，由于，由于0.50.50,1=u1,u2，因此因此N N1,11,1(0.5)=1(0.5)=1，而其它的，而其它的N Ni i,1,1(0.5)=0(0.5)=0，i i11。往下。往下公式做递归计算。公式做递归计算。0 0. .5 50 01 12 20 0. .5 52 21 10 01 10 00 0. .5 5( (0 0. .5 5) )1 1, ,2 2N N0 0.

6、.5 51 10 01 10 0. .5 51 10 00 00 00 00 0. .5 5( (0 0. .5 5) )0 0, ,2 2N N N N2,22,2(0.5)(0.5)和和N N3,23,2(0.5)(0.5)，不必计算，不必计算，因为计算它们需要的因为计算它们需要的i i2 2时的时的N Ni i,1,1(0.5)=0(0.5)=0，所以知，所以知N N2,22,2(0.5)=(0.5)=N N3,23,2(0.5)=0(0.5)=0。这样代入公式。这样代入公式计算计算P(0.5)P(0.5)，有：，有：) )1 1P P0 0( (P P0 0. .5 53 3P P(

7、(0 0. .5 5) )3 3, ,2 2N N2 2P P( (0 0. .5 5) )2 2, ,2 2N N1 1P P( (0 0. .5 5) )1 1, ,2 2N N0 0P P( (0 0. .5 5) )0 0, ,2 2N NP P( (0 0. .5 5) ) 再取再取u u其它一些值进行计算，结果如表所示。其它一些值进行计算，结果如表所示。 u00.511.522.53N0,2(u)10.500000N1,2(u)00.510.5000N2,2(u)0000.510.50N3,2(u)000000.51P(u)P00.5(P0+ P1)P10.5(P1+ P2)P20

8、.5(P2+ P3)P3 选取选取n n=3=3，k k=4=4，平面上四个控制顶点，平面上四个控制顶点P P0 0，P P1 1，P P2 2，P P3 3的坐标依次是的坐标依次是(1(1，1)1)，(2(2，3),(43),(4，3)3)，(3(3，1)1)，这时应取参数节点，这时应取参数节点n n+ +k k+1=8+1=8个，设选取节点个，设选取节点向量为向量为(0(0，0 0，0 0，0 0，1 1，1 1，1 1，1)1)，画出所确定，画出所确定的的4 4阶阶B B样条曲线。样条曲线。 计算计算N N1,41,4(0.5) (0.5) ，其中，其中0.50.500，1=1=u u3

9、 3，u u4 4 N N3,13,1(0.5)=1(0.5)=1，而对，而对i i33，N Ni i,1,1(0.5)=0(0.5)=0。 0.3750.3750.50.50 01 10.50.51 10.250.250 01 10 00.50.5(0.5)(0.5)1,41,4N N0.50.50.50.50 01 10.50.51 10.50.50 01 10 00.50.5(0.5)(0.5)2,32,3N N0.250.250.50.50 01 10.50.51 10 00 01 10 00.50.5(0.5)(0.5)1,31,3N N0.50.50 00 01 10.50.51

10、11 10 01 10 00.50.5(0.5)(0.5)3,23,2N N0.50.51 10 01 10.50.51 10 00 00 00 00.50.5(0.5)(0.5)2,22,2N N用类似的过程可计算求出：用类似的过程可计算求出： 0.1250.125(0.5)(0.5)3,43,4N N0.3750.375(0.5)(0.5)2,42,4N N0.1250.125(0.5)(0.5)0,40,4N N曲线上对应参数曲线上对应参数u u=0.5=0.5的点是：的点是： ( (2 2. .7 75 5, ,2 2. .5 5) )3 3P P( (0 0. .5 5) )3 3,

11、 ,4 4N N2 2P P( (0 0. .5 5) )2 2, ,4 4N N1 1P P( (0 0. .5 5) )1 1, ,4 4N N0 0P P( (0 0. .5 5) )0 0, ,4 4N NP P( (0 0. .5 5) ) 可以证明更一般的结论，即，可以证明更一般的结论，即，n n+1+1个控制点个控制点P P0 0，P P1 1，P Pn n所确定的最高阶的所确定的最高阶的B B样条曲线是样条曲线是k k= =n n+1+1阶的，这时由阶的，这时由节点向量节点向量(0(0，0 0，0 0，1 1，1 1，1)1)所确定的所确定的B B样条曲线，与该样条曲线，与该n

12、 n+1+1个控个控制点所确定的制点所确定的BezierBezier曲线相同。曲线相同。 在参数节点的众多选取方法中，最多使用在参数节点的众多选取方法中，最多使用的是选择参数的是选择参数u u的每一的每一区间为等长区间为等长的情况，这的情况，这时所得到的时所得到的B B样条函数称为是等距的，或样条函数称为是等距的，或均匀均匀的。以下我们转入讨论等距的的。以下我们转入讨论等距的B B样条曲线。考样条曲线。考虑使用较多的情况，可假定虑使用较多的情况，可假定u ui i= =i i, ,i i=0=0，1 1，n n+ +k k，再引入再引入t tj j= =u u- -u ui i+ +j j，因

13、为这可以使得，因为这可以使得 u ui i+ +j ju uu ui i+ +j j+1+1与与00t tj j11是一致的。是一致的。 递归式，经过计算，可以写出：递归式，经过计算，可以写出： 其它其它0，0，i iu uu u0 0t t1,1,0 0t t0 01,1,其它其它0，0，1 1i iu uu ui iu u1,1,(u)(u)i,1i,1N N其其它它0 0，1 1i iu uu u1 1t t1 1, ,1 1t t0 0, ,1 1t t1 1i iu uu u0 0t t1 1, ,0 0t t0 0, ,0 0t t其其它它0 0，2 2i iu uu u1 1i

14、iu uu u, ,2 2i iu u1 1i iu uu ui iu u, ,i iu uu u( (u u) )1 1, ,1 1i iN N1 1i iu u2 2i iu uu u2 2i iu u( (u u) )i i, ,1 1N Ni iu u1 1i iu ui iu uu u( (u u) )i i, ,2 2N N其其它它0 0，3 3i iu uu u2 2i iu u, ,2 2u u) )3 3i i( (u u2 21 12 2i iu uu u1 1i iu u) ), ,1 1i iu uu u) )( (u u3 3i i( (u u2 21 1u u) )

15、2 2i i) )( (u ui iu u( (u u2 21 11 1i iu uu ui iu u, ,2 2) )i iu u( (u u2 21 1( (u u) )1 1, ,2 2i iN N1 1i iu u3 3i iu uu u3 3i iu u( (u u) )i i, ,2 2N Ni iu u2 2i iu ui iu uu u( (u u) )i i, ,3 3N N其其它它0 0, ,2 2i iu uu u2 2t t1 1, ,2 2t t0 0，2 2) )2 2t t( (1 12 21 11 1i iu uu u1 1t t1 1, ,1 1t t0 01

16、 1) ), ,1 12 2t t2 21 12 2t t( (2 21 1i iu uu u0 0t t1 1, ,0 0t t0 0, ,2 20 0t t2 21 1其其它它0 0，4 4i iu uu u3 3i iu u3 3u u) )4 4i i( (u u6 61 13 3i iu uu u2 2i iu u) ) , ,2 2i iu u( (u u2 2u u) )4 4i i( (u uu u) )3 3i iu u) )( (u u4 4i i) )( (u u1 1i iu u( (u u2 2u u) )3 3i i) )( (u ui iu u ( (u u6 6

17、1 12 2i iu uu u1 1i iu u , ,2 2) )1 1i iu uu u) )( (u u4 4i i( (u u) )1 1i iu uu u) )( (u u3 3i i) )( (u ui iu u( (u uu u) )2 2i i( (u u2 2) )i iu u ( (u u6 61 11 1i iu uu ui iu u, ,3 3) )i iu u( (u u6 61 1( (u u) )1 1, ,3 3i iN N1 1i iu u4 4i iu uu u4 4i iu u( (u u) )i i, ,3 3N Ni iu u3 3i iu ui iu

18、 uu u( (u u) )i i, ,4 4N N其其它它0 0, ,3 3i iu uu u3 3t t1 1, ,3 3t t0 0，3 3) )3 3t t( (1 16 61 12 2i iu uu u2 2t t1 1, ,2 2t t0 04 4) )2 22 26 6t t3 32 2( (3 3t t6 61 11 1i iu uu u1 1t t1 1, ,1 1t t0 01 1) ), ,1 13 3t t2 21 13 3t t3 31 13 3t t( (6 61 1i iu uu u0 0t t1 1, ,0 0t t0 0, ,3 30 0t t6 61 1如果

19、固定在如果固定在u ui i+3+3u uu ui i+4+4区间，可以写出：区间，可以写出： 3 33 3t t6 61 1(u)(u)3,43,4i iN N1)1)3 33t3t2 23 33t3t3 33 33t3t( (6 61 1(u)(u)2,42,4i iN N4)4)2 23 36t6t3 33 3(3t(3t6 61 1(u)(u)1,41,4i iN N3 31)1)3 3t t( (6 61 1(u)(u)i,4i,4N N 上述结果对任意的上述结果对任意的0 0i in-3成立，令成立，令i i=0=0，可写出四个，可写出四个B B样条函数：样条函数：3 3u u6

20、61 1(u)(u)3,43,4N N1)1)3u3u2 23u3u3 33u3u( (6 61 1(u)(u)2,42,4N N4)4)2 26u6u3 3(3u(3u6 61 1(u)(u)1,41,4N N3 3u)u)(1(16 61 1(u)(u)0,40,4N N 由节点向量由节点向量(0,1,2,3,4)(0,1,2,3,4)所确所确定的均匀定的均匀B B样条基函数样条基函数N Ni i,4,4( (u u) )曲线曲线（i i=0,1,2,3=0,1,2,3）。图所示的）。图所示的B B样条样条基函数基函数N Ni i,4,4( (u u) )由四条三次多项式由四条三次多项式曲

21、线片拼接而成。当节点在区间曲线片拼接而成。当节点在区间 u ui i, ,u ui i+ +k k 上上B B样条曲线基函数样条曲线基函数N Ni i, ,k k( (u u) )大于大于0 0，而在其它区间上则为，而在其它区间上则为0 0，并且并且N Ni i, ,k k( (u u) )在节点（在节点（u ui i, , u ui i+1+1, u ui i+ +k k）处是连续的）处是连续的 设给出设给出n n+1+1个控制点个控制点 P0,P1，Pn,则所确定的则所确定的4 4阶阶3 3次等距次等距B B样条曲线是：样条曲线是：3 3n n, ,0,1,0,1,i i1,1,u u0

22、0 3 30 0j j(u)(u)i iQ QP(u)P(u)j ji ij,4j,4P P(u)(u)N N1 1u u0 0, ,3 3i iP P2 2i iP P1 1i iP Pi iP P0 01 14 41 10 03 30 03 30 03 36 63 31 13 33 31 111u u2 2u u3 3uu6 61 13 3i iP P2 2i iP P1 1i iP Pi iP P(u)(u)3,43,4N N(u)(u)2,42,4N N(u)(u)1,41,4N N(u)(u)0,40,4NN(u)(u)i iQ Q曲线的性质曲线的性质 1 1u u0 0, ,P P

23、P PP PP P0 00 01 11 12 23 30 04 43 31 12 21 111u uuu2 21 1(u)(u)Q Q3 3i i2 2i i1 1i ii i2 2i i1 1u u0 0, ,P PP PP PP P0 01 11 13 32 23 31 11 11 1 u u( (u u) )Q Q3 3i i2 2i i1 1i ii ii i 3 3i i2 2i i1 1i ii i2 2i i1 1i ii ii i1 1i i3 3i ii ii i2 2i ii i3 3i i2 2i i1 1i ii i2 2i i1 1i ii ii iP P2P2PP

24、P(1)(1)Q QP P2P2PP P(0)(0)Q Q) )P P(P(P2 21 1(1)(1)Q Q) )P P(P(P2 21 1(0)(0)Q Q) )P P4P4P(P(P6 61 1(1)(1)Q Q) )P P4P4P(P(P6 61 1(0)(0)Q Q 1 1i iP P) )2 2i iP Pi i( (P P2 21 13 31 11 1i iP P( (0 0) )i iQ Q 1 1i i2 2i ii ii iP P) )P P( (P P2 21 12 2( (0 0) )Q Q) )i iP P2 2i i( (P P2 21 1( (0 0) )i iQ

25、Q P Pi i，P Pi i+1+1，P Pi i+2+2，P Pi i+3+3确定的一段曲线的确定的一段曲线的起点的位置向量、切线向量及二阶导向量，起点的位置向量、切线向量及二阶导向量，事实上都事实上都只与只与PPi iP Pi i+1+1P Pi i+2+2有关有关，而终点处各，而终点处各量只与量只与PPi i+1+1P Pi i+2+2P Pi i+3+3，有关。如果考虑接下，有关。如果考虑接下去的一段曲线，即去的一段曲线，即P Pi i+1+1，P Pi i+2+2，P Pi i+3+3，P Pi i+4+4确定确定的一段，在其起点，上述各量就只与的一段，在其起点，上述各量就只与P

26、Pi i+1+1P Pi i+2+2P Pi i+3+3有关，并恰好是前一段曲线终点有关，并恰好是前一段曲线终点处的上述各量，自然是对应相等的。这就证处的上述各量，自然是对应相等的。这就证明了明了曲线在拚接处是连续的，一阶和二阶导曲线在拚接处是连续的，一阶和二阶导数也是连续的数也是连续的。因此知道。因此知道4 4阶阶3 3次等距次等距B B样条样条曲线：虽然曲线：虽然分段确定，但各段拚接处有直到分段确定，但各段拚接处有直到二阶导数的连续性，整条曲线是光滑的。二阶导数的连续性，整条曲线是光滑的。 4 4阶阶3 3次等距次等距B B样条曲线具有凸包性，这通过样条曲线具有凸包性，这通过验证验证00N

27、 Nj j,4,4( (u u)1)1，00j j33及及 3 30 0j jj j, ,4 41 1( (u u) )N N 用用B B样条曲线可构造样条曲线可构造直线段直线段、尖尖点、切线点、切线等特殊情况。对于等特殊情况。对于4 4阶阶3 3次次B B样条曲线样条曲线P(P(u u) )若要在其中得到一条若要在其中得到一条直线段，只要直线段，只要控制点控制点P Pi i，P Pi i+1+1，P Pi i+2+2，P Pi i+3+3四点位于一条直线上四点位于一条直线上，此时，此时P(P(u u) )对应的对应的u ui i+3+3u uu ui i+4+4的曲线即为一段的曲线即为一段直

28、线，且和直线，且和P Pi i，P Pi i+1+1，P Pi i+2+2，P Pi i+3+3所在所在的直线重合。为了使的直线重合。为了使P(P(u u) )能过能过P Pi i点，点，只要只要P Pi i，P Pi i+1+1，P Pi i+2+2三点重合三点重合，此时，此时P(P(u u) )过过P Pi i点（尖点）。点（尖点）。 B B样条曲面样条曲面 3 30 0i i3 30 0j jj jl li i, ,k kP P( (w w) )j j, ,4 4N N( (u u) )i i, ,4 4N Nw w) )( (u u, ,k kl lQ Q 0 0u u11，00w w11，00k kKK，00l lLL每一个曲面片每一