第12章二叉树模型入门

1、.二叉树模型入门二叉树模型入门Chapter 12Introduction to Binomial Trees2022-3-6.12.212.1 单步二叉树模型单步二叉树模型l一只股票现价一只股票现价$20l三个月内价格为三个月内价格为 $22 或或 $18股票价格= $22股票价格 = $18股票价格= $202022-3-6.12.3Stock Price = $22Option Price = $1Stock Price = $18Option Price = $0Stock price = $20Option Price=?看涨期权看涨期权(Figure 12.1)一只三月期股票的看涨

2、期权执行价格为一只三月期股票的看涨期权执行价格为212022-3-6.12.4l考虑资产组合考虑资产组合: D D 股票股票 + short 1 call optionl当当22D D 1 = 18D D时，时，资产组合是无资产组合是无风险的，风险的， 此时此时D D = 0.2522D 118D配置一个无风险资产组合配置一个无风险资产组合2022-3-6.12.5资产组合的估值资产组合的估值(无风险利率为无风险利率为 12%)l无风险资产组合为无风险资产组合为: 股票为股票为 0.25份份卖空卖空1份看涨期权份看涨期权l三个月后组产组合的价值为三个月后组产组合的价值为22 0.25 1 =

3、4.50l资产组合现值为资产组合现值为 4.5e 0.120.25 = 4.36702022-3-6.12.6期权估价期权估价l包括包括0.25份股票和一份看涨期权空头份股票和一份看涨期权空头的组合的期初价值为的组合的期初价值为 4.367l其中，股票价值为其中，股票价值为5.000 (= 0.25 20 )l期权的价值期权的价值f因此为因此为f=0.633 (由由 5.000 f = 4.367 )2022-3-6.12.7推广推广(Figure 12.2)一个关于一种股票的衍生品持有时间一个关于一种股票的衍生品持有时间TS0u uS0d dS02022-3-6.12.8推广推广 l假设资产

4、组合由假设资产组合由D D份股票和份股票和1份衍生品空头构成份衍生品空头构成l当当S0uD D u = S0d D D d，资产组合是无风险的，即资产组合是无风险的，即dSuSf fdu00DS0uD uS0dD d2022-3-6.12.9推广推广lT时刻资产组合的价值为时刻资产组合的价值为 S0u D D ul资产组合的贴现值为资产组合的贴现值为 (S0u D D u )erTl资产组合的构建成本资产组合的构建成本 S0 D D fl因此因此 = S0D D (S0u D D u )erT 2022-3-6.12.10推广推广 l替换替换D D 就得到就得到 = p u + (1 p )d

5、 erT其中：其中： pedudrT2022-3-6.12.11股票预期收益的无关性股票预期收益的无关性l当利用无套利原理对期权定价时，标的股当利用无套利原理对期权定价时，标的股票的期望收益是无关的。票的期望收益是无关的。lWhen we are valuing an option in terms of the underlying stock the expected return on the stock is irrelevantl为什么？为什么？2022-3-6.12.1212.2 风险中性定价风险中性定价l = p u + (1 p )d e-rTl变量变量p 和和 (1 p )

6、是风险中性时股票期权上涨和下跌的是风险中性时股票期权上涨和下跌的概率概率l衍生品的价格是风险中性环境中用无风险利率折现的衍生品的价格是风险中性环境中用无风险利率折现的其预期得益其预期得益Su uSd dSp(1 p )2022-3-6.12.13示例示例l p 是风险中性概率是风险中性概率20e0.12 0.25 = 22p + 18(1 p ); p = 0.6523l或者或者 使用公式使用公式6523.09 .01 .19 .00.250.12edudeprTSu = 22 u = 1Sd = 18 d = 0S p(1 p )2022-3-6.12.14期权股价期权股价期权的价格是期权的

7、价格是e0.120.25 0.65231 + 0.34770 = 0.633Su = 22 u = 1Sd = 18 d = 0S0.65230.34772022-3-6.12.1512.3 两步二叉树两步二叉树Figure 12.3l每步长3个月20221824.219.816.22022-3-6.12.16看涨期权价格看涨期权价格Figure 12.4lB 点价格点价格= e0.120.25(0.65233.2 + 0.34770) = 2.0257lA 点价格点价格 = e0.120.25(0.65232.0257 + 0.34770) = 1.2823201.2823221824.23

8、.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEF2022-3-6.12.17看涨期权定价推广看涨期权定价推广Figure 12.4S0fS0uS0dS0u2fuuS0udfudS0d2fddfufd)1 ()1 (2222dduduutrfpfppfpefD2022-3-6.12.18看跌期权估价看跌期权估价K=52Figure 12.7504.1923604072048432201.41479.4636ABCDEF2022-3-6.12.1912.5 美式期权美式期权 (Figure 12.8) 505.0894604072048432201.414712.0ABCDEF2022-3-6.12.2012.6 DeltalDelta (D D)是股票期权价格的变化与是股票期权价格的变化与标的股票价格的变化之比标的股票价格的变化之比 lDelta hedgingl 二叉树中二叉树中D D 的值在每一节点均不同的值在每一节点均不同2022-3-6.12.2112.7 u and d的确定的确定波动的确定方法波动的确定方法当当 s s 是波动率且是波动率且 D Dt 是一步的时间长是一步的时间长. 这是这是Cox, Ross, 和和 Rubinstein使用的方法使用的方法tteudeuDsDs12022-3-6.12.22上涨概率上涨概率