DIP3频域处理

1、第第3 3章章频域处理频域处理2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University23.1 3.1 傅里叶变换基础傅里叶变换基础 法国数学家傅立叶生于1768年，他对世人的最大贡献在于他指出任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和（或余弦和）的形式，每个正弦（或余弦）乘以不同的系数。 甚至非周期的函数（曲线是有限的情况下）也可以用正弦（或余弦）乘以加权函数的积分来表示。 一个恰当的比喻是将傅立叶变换比作一个玻璃棱镜，棱镜是可以将光分成不同颜色成分的物理仪器，每个颜色由光的频率（波长）决定；而傅立叶变换可看作“数学的棱镜”，将函数基于频率分成不同的成分。2022-3-6

2、YUAN Guo-wu , YunNan University32022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University4 傅立叶于1807年在法国科学学会上发表了相关的论文。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉

3、格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。 谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University53.1 3.1 傅里叶变换基础傅里叶变换基础 分解信号的方法是无穷的，例如也还可以用方波或三角波，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。 为什么选正弦曲线？ 一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正

4、弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。 2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University63.1 3.1 傅里叶变换基础傅里叶变换基础 傅立叶变换：针对信号的的长度是无穷大的。因为正余弦波被定义成从负无穷小到正无穷大 计算机：只能处理有限数据。无法把一个长度无限的信号组合成长度有限的信号 解决方法：把长度有限的信号表示成长度无限的信号（1）可以把信号无限地从左右进行延伸，延伸的部分用零来表示；（2）可以把信号用复制的方法进行延伸，这样信号就变成了周期性离解信号。2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University7

5、3.1 3.1 傅里叶变换基础傅里叶变换基础 傅里叶变换在数学中的定义是严格的。设f(x)为x的函数，如果满足下面的狄里赫莱条件： （）具有有限个间断点； （）具有有限个极值点； （）绝对可积。 则有下列二式成立：dxexfuFuxj2)()(dueuFxfuxj2)()(2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University8 式中x是时域(空间域)变量，u为频率变量。 如令 ， 则有 2 udxexfuFxj)()(deFxfxj)(21)(通常把以上公式称为傅里叶变换对。通常把以上公式称为傅里叶变换对。2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan Un

6、iversity9函数函数f(x)的傅里叶变换一般是一个复量，它可以由下式表示：的傅里叶变换一般是一个复量，它可以由下式表示：FRjI( )( )( )或写成指数形式或写成指数形式FRI( )( )( )22FFej( )( )() ( )( )( ) arctgIR把 叫做 的傅里叶谱，而 叫相位谱。F( )f x( )(sincosjej附 欧拉公式2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University103.2 3.2 二维离散傅里叶变换（二维离散傅里叶变换（DFTDFT）3.2.1 二维连续傅里叶变换二维连续傅里叶变换l 二维连续函数 f (x, y)的傅里叶变

7、换定义如下：l设 是独立变量 的函数，且在 上绝对可积，则定义积分 为二维连续函数 的傅里叶变换，并定义 为 的反变换。 和 为傅里叶变换对。),(yxfyx, dxdyeyxfvuFvyuxj)(2),(),(),(yxf dudvevuFyxfvyuxj)(2),(),(),(vuF),(yxf),(vuF2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University113.2.2 3.2.2 二维离散傅里叶变换二维离散傅里叶变换l尺寸为MN的离散图像函数的DFT l反变换可以通过对F(u,v) 求IDFT获得 1010)/(2),(1),(MxNyNvyMuxjeyxfM

8、NvuF1010)/(2),(),(MuNvNvyMuxjevuFyxf2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University12 lDFT变换进行图像处理时有如下特点：l（1）直流成分为F(0,0)。l（2）幅度谱|F(u,v)|对称于原点。l（3）图像f (x, y)平移后，幅度谱不发生变化，仅有相位发生了变化。 ),(),(),(vujIvuRvuF),(),(arctan),(vuRvuIvu2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University13先来看一个变换实例: 一个原始信号的长度是16，于是可以把这个信号分解9个余弦波和9个正弦

9、波（一个长度为N的信号可以分解成N/2+1个正余弦信号，这是为什么呢？结合下面的18个正余弦图,我想从计算机处理精度上就不难理解，一个长度为N的信号，最多只能有N/2+1个不同频率，再多的频率就超过了计算机所能所处理的精度范围），如下图：2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University149个正弦信号：2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University159个余弦信号：2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University16把以上所有信号相加即可得到原始信号。对于以上的变换结果，在程序中又是该怎么表示的，可以看

10、看下面这个示例图：上图中左边表示时域中的信号，右边是频域信号表示方法，从左向右表示正向转换(Forward DFT)，从右向左表示逆向转换(Inverse DFT)，用小写x表示信号在每个时间点上的幅度值数组, 用大写X表示每种频率的幅度值数组, 因为有N/2+1种频率，所以该数组长度为N/2+1，X数组又分两种，一种是表示余弦波的不同频率幅度值：Re X，另一种是表示正弦波的不同频率幅度值：Im X。Re是实数(Real)的意思，Im是虚数(Imagine)的意思，采用复数的表示方法把正余弦波组合起来进行表示，目的是为了便于表达（在后面我们会知道，复数形式的傅立叶变换长度是N，而不是N/2+

11、1）。2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University173.2.3 3.2.3 二维离散傅里叶变换的性质二维离散傅里叶变换的性质1周期性和共轭对称性l 周期性和共轭对称性来了许多方便。l 我们首先来看一维的情况。l设有一矩形函数为,求出它的傅里叶变换： 其他00)(XxAxfuXjXuxjuxjeuXuXAXdxeAdxexfuF022sin)()(2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University18幅度谱： uXuXAXuFsin)( （a）幅度谱 （b）原点平移后的幅度谱频谱图 2022-3-6YUAN Guo-wu , Yun

12、Nan University19n DFT取的区间是0,N-1，在这个区间内频谱是由两个背靠背的半周期组成的 ，要显示一个完整的周期，必须将变换的原点移至u=N/2点。n 根据定义，有 n 在进行DFT之前用(-1)x 乘以输入的信号 f (x) ，可以在一个周期的变换中（u0，1，2，N1），求得一个完整的频谱。10102)2/(2)() 1(1)(1)2/(NxNxxuNjxNuxNjexfNexfNNuF2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University20l 推广到二维情况。在进行傅里叶变换之前用(-1)x+y 乘以输入的图像函数，则有： l DFT的原点，

13、即F(0,0)被设置在u=M/2和v=N/2上。l (0,0)点的变换值为： 即 f (x,y) 的平均值。l 如果是一幅图像，在原点的傅里叶变换F(0,0)等于图像的平均灰度级，也称作频率谱的直流成分。 )2/, 2/() 1)(,(NvMuFyxfDFTyx1010),(1)0 , 0(MxNyyxfMNF2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University21（a）原始图像 (b) 中心化前的频谱图 (c) 中心化后的频谱图图4.5 图像频谱的中心化 2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University222可分性可分性l 离散傅里叶变

14、换可以用可分离的形式表示 这里l 对于每个x值，当v0，1，2，N1时，该等式是完整的一维傅里叶变换。 1010/2/2),(11),(MxNyNvyjMuxjeyxfNeMvuF10/2),(1MxMuxjevxFM10/2),(1),(NyNvyjeyxfNvxF2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University23n二维变换可以通过两次一维变换来实现。n同样可以通过先求列变换再求行变换得到2D DFT。 图 二维DFT变换方法2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University243离散卷积定理离散卷积定理l 设f(x,y)和g(x,

15、y) 是大小分别为AB和CD的两个数组，则它们的离散卷积定义为l 卷积定理卷积定理 1010),(),(),(*),(MmNnnymxgnmfyxgyxf),(),(),(*),(vuGvuFyxgyxfDFT2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University25【例】【例】用MATLAB实现图像的傅里叶变换。 解：解：MATLAB程序如下： A=imread(pout.tif); %读入图像 imshow(A); %显示图像 A2=fft2(A); %计算二维傅里叶变换 A2=fftshift(A2); %将直流分量移到频谱图的中心figure, imshow(l

16、og(abs(A2)+1),0 10); %显示变换后的频谱图2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University26 （a）原始图像 （b）图像频谱傅里叶变换2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University273.3 3.3 频域滤波频域滤波 频域处理法的基础是卷积定理。它采用修改图像傅里叶变换的方法实现对图像的增强处理。由卷积定理可知，如果原始图像是 ，处理后的图像是 ，而 是处理系统的冲激响应，那么，处理过程可由下式表示 其中代表卷积。 f x y( , )g x y( , )h x y(,)g x yh x yf x y( , )

17、( , )( , )2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University28 如果 ， ， 分别是 的傅立叶变换,那么,上面的卷积关系可表示为变换域的乘积关系，即 式中， 为传递函数。 ),(vuG),(vuH),(vuFg x y h x yf x y( , ), ( , ),( , ) ,() ,() ,(vuFvuHvuG),(vuH2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University29 在增强问题中， 是给定的原始数据，经傅立叶变换可得到 。选择合适的 ，使得由式 得到的 比 在某些特性方面更加鲜明、突出，因而更加易于识别、解译。

18、例如，可以强调图像中的低频分量使图像得到平滑，也可以强调图像中的高频分量使图像的边缘得到增强等等。以上就是频域处理法的基本原理。f x y( , ),(vuF),(vuH) ,() ,(F ) ,(1vuFvuHyxgg x y( , )f x y( , )2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University302022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University313.3.1 低通滤波法 这种方法是一种频域处理法。在分析图像信号的频率特性时，一幅图像的边缘、跳跃部分以及颗粒噪声代表图像信号的高频分量，而大面积的背景区则代表图像信号的低频分量

19、。用滤波的方法滤除其高频部分就能去掉噪声，使图像得到平滑。 滤除高频成分，保留低频成分2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University322022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University33 常用的几种低通滤波器 （1）理想低通滤波器 一个理想的二维低通滤波器的传递函数由下式表示：001 ( , )( , )0 ( , )D u vDH u vD u vD式中 是一个规定的非负的量，叫做理想低通滤波器的截止频率。 是从频率颊的原点到(u,v)点的距离，即 2122u=) ,(vvuD D0) ,(vuD2022-3-6YUAN Guo

20、-wu , YunNan University34理想低通滤波器传递函数径向剖面图2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University35 所谓理想低通滤波器是指以截频 为半径的圆内的所有频率都能无损地通过，而在截频之外的频率分量完全被衰减。理想低通滤波器可以用计算机模拟实现，但是却不能用电子元器件来实现。 理想低通滤波器在处理过程中会产生较严重的模糊和振铃现象。这种现象正是由于傅立叶变换的性质决定的。原因：略D02022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University362022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan Universi

21、ty37 （2）巴特沃思（Butterworth）低通滤波器 一个n阶布特沃斯低通滤波器的传递函数由下式表示 式中 为截止频率， 的值由下式决定nDvuDvuH20),(+11=) ,(2122=),(vuvuD0D),(vuD2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University38 布特沃斯低通滤波器又称最大平坦滤波器。它与理想低通滤波器不同，它的通带与阻带之间没有明显的不连续性。也就是说，在通带和阻带之间有一个平滑的过渡带。通常把 下降到某一值的 那一点定为截止频率 。上式中是把 下降到原来值的 时的 定为截频点 。) ,(vuHD0) ,(vuH12v),(uD

22、D02022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University39布特沃斯低通滤波器剖面图2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University40 布特沃斯低通滤波器的特点： 1）、由于有平缓的过渡带，图像将不会有振铃现象。 2）、模糊程度大大减小。2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University41(3)指数低通滤波器(4)梯形低通滤波器 用低通滤波器进行平滑处理可以使噪声减低到不显眼的程度，但是由于低通滤波器对噪声等成分滤除的同时，对有用高频成分也滤除，因此，这种去噪的美化处理是以牺牲清晰度为代价而换取的。2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University423.3.2 高通滤波法 常用的几种高通滤波器： （1）理想高通滤波器 一个理想的二维高通滤波器的传递函数由下式表示