分治算法(金块问题)

1、问题描述：有一个老板有一袋金块。每个月将有两名雇员会因其优异的表现分别被奖励一个金块。按规矩，排名第一的雇员将得到袋中最重的金块，排名第二的雇员将得到袋中最轻的金块。根据这种方式，除非有新的金块加入袋中，否则第一名雇员所得到的金块总是比第二名雇员所得到的金块重。如果有新的金块周期性的加入袋中，则每个月都必须找出最轻和最重的金块。假设有一台比较重量的仪器，我们希望用最少的比较次数找出最轻和最重的金块算法思想：分而治之方法与软件设计的模块化方法非常相似。为了解决一个大的问题，可以： 1) 把它分成两个或多个更小的问题； 2) 分别解决每个小问题； 3) 把各小问题的解答组合起来，即可得到原问题的解

2、答。小问题通常与原问题相似，可以递归地使用分而治之策略来解决。问题分析:一般思路：假设袋中有n 个金块。可以用函数M a x（程序1 - 3 1）通过n-1次比较找到最重的金块。找到最重的金块后，可以从余下的n-1个金块中用类似的方法通过n-2次比较找出最轻的金块。这样，比较的总次数为2n-3。分治法：当n很小时，比如说， n2，识别出最重和最轻的金块，一次比较就足够了。当n 较大时（n2），第一步，把这袋金块平分成两个小袋A和B。第二步，分别找出在A和B中最重和最轻的金块。设A中最重和最轻的金块分别为HA 与LA，以此类推，B中最重和最轻的金块分别为HB 和LB。第三步，通过比较HA 和HB

3、，可以找到所有金块中最重的；通过比较LA 和LB，可以找到所有金块中最轻的。在第二步中，若n2，则递归地应用分而治之方法程序设计据上述步骤，可以得出程序1 4 - 1的非递归代码。该程序用于寻找到数组w 0 : n - 1 中的最小数和最大数，若n < 1，则程序返回f a l s e，否则返回t r u e。当n1时，程序1 4 - 1给M i n和M a x置初值以使w M i n 是最小的重量，w M a x 为最大的重量。首先处理n1的情况。若n>1且为奇数，第一个重量w 0 将成为最小值和最大值的候选值，因此将有偶数个重量值w 1 : n - 1 参与f o r循环。当n

4、 是偶数时，首先将两个重量值放在for 循环外进行比较，较小和较大的重量值分别置为Min和Max，因此也有偶数个重量值w2:n-1参与for循环。在for 循环中，外层if 通过比较确定( w i , w i + 1 )中的较大和较小者。此工作与前面提到的分而治之算法步骤中的2) 相对应，而内层的i f负责找出较小重量值和较大重量值中的最小值和最大值，这个工作对应于3 )。for 循环将每一对重量值中较小值和较大值分别与当前的最小值w M i n 和最大值w M a x 进行比较，根据比较结果来修改M i n和M a x（如果必要）。复杂性分析注意到当n为偶数时，在for 循环外部将执行一次比

5、较而在f o r循环内部执行3 ( n / 2 - 1 )次比较，比较的总次数为3 n / 2 - 2。当n 为奇数时，f o r循环外部没有执行比较，而内部执行了3(n-1)/2次比较。因此无论n 为奇数或偶数，当n>0时，比较的总次数为3n/2ù-2次。关键步骤：程序14-1 找出最小值和最大值的非递归程序template<class T>bool MinMax(T w, int n, T& Min, T& Max)/ 寻找w 0 : n - 1 中的最小和最大值/ 如果少于一个元素，则返回f a l s e/ 特殊情形： n <= 1if

6、 (n < 1) return false;if (n = 1) Min = Max = 0;return true;/ /对Min 和M a x进行初始化int s; / 循环起点if (n % 2) / n 为奇数Min = Max = 0;s = 1;else / n为偶数，比较第一对if (w0 > w1) Min = 1;Max = 0;else Min = 0;Max = 1;s = 2;/ 比较余下的数对for (int i = s; i < n; i += 2) / 寻找wi 和w i + 1 中的较大者 / 然后将较大者与w M a x 进行比较 / 将较小者与w M i n 进行比较if (wi > wi+1) if (wi > wMax) Max = i;if (wi+1 &