分式方程讲义DYM

1、主讲人：董亚明主讲人：董亚明初中数学系列初中数学系列列分式方程解实际问题列分式方程解实际问题什么是分式？形如 ，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式.其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。如 是分式，还有 也是分式。BAyxyyx)2( 如何判断一个式子是否为分式？1、分式的分母中必须含有字母。2、分母的值不能为零。若分母的值为零，则分式无意义。PS:由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。什么是方程？什么是分式方程？方程：含有未知数的等式。即：方程中一定有一个或一个以上含有未知数的代数式；2.方程式是等式，但等式不一定是方程。分母中含有未知数的方程叫做分式方程

2、。如 是分式方程。3x30 x45分式方程与整式方程解法有哪些区别与联系？联系：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。区别：解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解。解分式方程的一般步骤及注意事项：去分母：方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时.不要忘了改变符号。按解整式方程的步骤：移项，若有括号应先去括号,注意变号,合并同类项，把系数化为1 求出未知数的值;验根：求出未知数的

3、值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根. 验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根都是增根，则原方程无解。 如果分式本身约分了，也要带进去检验。补充补充：在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为0，（根使整式方程成立，而在分式方程中分母为0）那么这个根叫做原分式方程的增增根根。注意（1）注意去分母时，不要漏乘整式项。（2）増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根。（3）増根使最简公分母等于0。列分式方程解实际问题的一般步骤：1、审

4、题 ；2、设未知数；3、找出能表示题目全部含意的相等关系，列出分式方程；4、解分式方程；5、验根：先检验是否有增根，再检查是否合符题意；6、写出答案。常见题型及等量关系常见题型及等量关系1、行程问题、行程问题 基本量之间的关系：基本量之间的关系：路程=速度 X 时间，即，即s=vt(1)、相遇问题 ：甲行程 + 乙行程 =全路程(2)、追及问题： (设甲的速度快)a、同时不同地： 甲用的时间甲用的时间 = = 乙用的时间乙用的时间 甲的行程甲的行程 - - 乙的行程乙的行程 = = 甲乙原来相距的路程甲乙原来相距的路程b、同地不同时： 甲用的时间甲用的时间 = = 乙用的时间乙用的时间 - -

5、 时间差时间差 甲走的路程甲走的路程 = = 乙走的路程乙走的路程 c、水(空)航行问题 ： 顺流速度顺流速度 = = 静水中航速静水中航速 + + 水速水速 逆流航速逆流航速 = = 静水中速度静水中速度 水速水速 例1、A、B两地相距87千米，甲骑自行车从A地出发向B地驶去，经过30分钟后，乙骑自行车由B地出发，用每小时比甲快4千米的速度向A地驶来，两人在距离B地45千米C处相遇，求甲乙的速度。分析：分析：等量关系：甲用时间等量关系：甲用时间= =乙用时间乙用时间+ + （小时）（小时）（87-45）千米）千米45千米千米x千米千米/小时小时（x+4）千米）千米/小时小时x4587 445

6、x6030例1、A、B两地相距87千米，甲骑自行车从A地出发向B地驶去，经过30分钟后，乙骑自行车由B地出发，用每小时比甲快4千米的速度向A地驶来，两人在距离B地45千米C处相遇，求甲乙的速度。解：设甲每小时行驶x千米，那么乙每小时行驶(x+4)千米 根据题意，得 60304454587xx解之得， x1=14, x2= -24, 都是原方程的根 但x= -24不合题意，舍去所以x=14时， x+4=18 答：甲车的速度为16千米/小时，乙车的速度为20千米/小时。2 2、工程问题、工程问题 基本量之间的关系：工作量工作量 = = 工作效率工作效率 X X 工作时间工作时间常见等量关系：甲的工

7、作量甲的工作量+ +乙的工作量乙的工作量 = = 合作工作量合作工作量注：工作问题常把总工程看作是单位1，水池注水问题也属于工程问题 例2、一项工程，若甲单独做，刚好在规定日期内完成，苦乙单做，则要超过规定时间6天完成；现甲乙两人合作4天后，剩下工程由乙 单独做，刚好在规定日期内完成。问规定日期是几天？分析：设工作总量为1，工效 X 工时= 工作量设规定日期为 x 天，则甲乙单完成各需x天、(x+6)天，甲乙的工效分别为61 ,1xx(1)、相等关系：甲乙合做4天的量+乙单独做(x-4)天的量=总量1列出方程： 164)61 1(4xxxx(2)、相等关系：甲 做工作量+乙做工作量=1列出方程得：16 4xxx例2、一项工程，若甲单独做，刚好在规定日期内完成，苦乙单做，则要超过规定时间6天完成；现甲乙两人合作4天后，剩下工程由乙 单独做，刚好在规定日期内完成。问规定日期是几天？解：设规定日期为x天，根据题意得 164xxx解得 x=12,经检验，x=12是原方程的解。答：规定日期是12天。练习1：甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？等量关系：甲用时间等量关系：甲用时间= =乙用时间乙用时间解：设甲每小时做解：设甲每小时做x x个零件则乙