概率论与数理统计 73 区间估计

1、 前面我们介绍了点估计的概念。点估计只是给出前面我们介绍了点估计的概念。点估计只是给出了未知参数值的近似值。人们常常不满足于得到近了未知参数值的近似值。人们常常不满足于得到近似值，还需要知道估计的误差是多少？即参数的一个似值，还需要知道估计的误差是多少？即参数的一个估计范围，还希望知道该范围覆盖参数真值的可信估计范围，还希望知道该范围覆盖参数真值的可信程度。这种范围的估计称为区间估计。程度。这种范围的估计称为区间估计。引言引言7. 3 区间估计区间估计 定义定义7.6:12(,)n XXX设设是是总总体体的的一一个个参参数数, , 是是0 1 ,X 来来自自总总体体的的样样本本, , 对对给给

2、定定的的数数 , , 1112=(,)nXXX若若存存在在两两个个统统计计量量 2212=(,)nXXX与与 , , 有有12 = 1,P 12(,)nxxx若若反反复复抽抽样样多多次次, , 每每一一组组样样本本值值 12( ,) 1, 则则称称 为为 的的 置置信信区区间间 称称 121, , 为为置置信信水水平平 称称分分别别为为 的的 置信下限和置信上限置信下限和置信上限 .1:置置信信水水平平 的的直直观观意意义义 12 , , 均均确确定定一一个个区区间间 由由伯伯努努利利大大数数定定律律, ,1在在众众多多区区间间中中, , 包包含含参参数数 真真值值的的约约占占 不不包包含含

3、真真值值的的仅仅占占 左左右右 . .12 , 事事实实上上, , 置置信信区区间间 也也是是对对未未知知参参数数的的一种估计一种估计, 称之为区间估计称之为区间估计 . 区间的长度意味区间的长度意味着误差着误差, 因此可以说区间估计与点估计是互补因此可以说区间估计与点估计是互补的两种参数估计的两种参数估计 .(1) ; 选选择择 的的一一个个较较优优的的点点估估计计量量 区间估计的主要步骤区间估计的主要步骤:(2) , 寻寻找找一一个个由由 及及 构构成成的的函函数数 该该函函数数除除了了不不再再有有未未知知参参数数, , 设设其其为为 1=(,; ) . ngg XXg , 的的分分布布已

4、已知知 且且 ; 不不依依赖赖于于未未知知参参数数12(3) 1, , 对对给给定定的的置置信信水水平平 确确定定与与 12 = 1, Pg使使得得 12(4) g 由由不不等等式式 解解出出 的的置置信信区区间间一一般般是是选选取取满满足足 1212 = = ;2P gP g的的 和和 12( ,) .一一、单个正态总体参数的置信区间、单个正态总体参数的置信区间: :(一一) 参数参数 的置信区间的置信区间:1、 2 已知已知: :X已已知知 是是 的的无无偏偏估估计计量量 , , 且且有有 =( 0 , 1 ) ,/XU(Nn枢枢轴轴函函数数） x2z 2z O( )x 1, 对对于于置置

5、信信水水平平 由标准正态分布图由标准正态分布图(右右)有有2 2 22 , +XzXznn x2z 2z O( )x 1于于是是得得 的的 置置信信区区间间为为 2 2 221 2 =1, P - -z z, P U zUzU即即代代入入 例例1：某车间生产一种零件某车间生产一种零件, 从长期实践知道从长期实践知道,该零件直径服从正态分布该零件直径服从正态分布, 且方差为且方差为0.06 .2= 14.95 , = 0.06 ,x经经计计算算知知 又又因因为为现从某日生产的产品中随机取现从某日生产的产品中随机取6件件, 测其测其直径为直径为 14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15

6、.2, 15.1 .试求该零件平均直径的置信区间试求该零件平均直径的置信区间 . = 0.05解解 = 0.05 , 查标准正态表知查标准正态表知 z0.025=1.96 ,0.061.96= 14.951.96= 14.75 , 6xn有有即得即得 的的 = 0.05 的置信区间为的置信区间为( 14.75 , 15.15 ) .0.06+1.96= 14.95 +1.96= 15.15 , 6xn例例2: (03年年)已知一批零件的长度（单位：已知一批零件的长度（单位：cm）服从正态）服从正态分布，分布，N(，1)从中随机抽取从中随机抽取16个零件，得到长度的个零件，得到长度的x = 40

7、cm, .0 0 9 95 5平平均均值值则则 的的置置信信度度为为的的置置信信区区间间_ _ _ _ _ _ _ _ ( ( (1 1. .9 96 6) )= =0 0. .9 97 75 5, , ( (1 1. .6 65 5) )= =0 0. .9 95 5) )为为。 注注：2x x Nn, , ( ( , ,) )解解：第第一一步步， 的的点点估估计计为为UU 0.0250.0251140,4039.51,40.491616XUn- -= =/ /第第二二步步，构构造造类类似似统统计计量量的的枢枢纽纽函函数数U N ( (0 0, ,1 1) )22XXnn/ / / - -U

8、 U( (n n) ), , + +U U( (n n) ) 则则置置信信区区间间为为2、 2 未知未知: :2X仍仍选选 为为 的的无无偏偏估估计计量量 , , 但但因因 未未知知, , =( 1) ,/X tt nSn故故构构造造 yO1( )nfy 1, 对对于于置置信信水水平平 由由 t 分布图分布图(右右)有有2 2 2(1)nt 2(1)nt yO1( )nfy 2 2 2(1)nt 2(1)nt 2 (1) = 1, P t tn 22(1) , +(1)SSXtnXtnnn 1于于是是得得 的的 置置信信区区间间为为 (二二) 参数参数 2 的置信区间的置信区间 ( 未知未知)

9、 :22S已已知知 是是 的的无无偏偏估估计计量量 , , 且且有有 2222( 1 )=( 1 ) ,nSn yO( )x 1, 对对于于置置信信水水平平 2() , 由由分分布布图图 右右有有n 212()- -1 1n 22()- -1 12 2 yO()x n 212()- -1 1n 22()- -1 12 2 222122(1) (1) = 1, Pnn 即得即得 2 的置信水平的置信水平 1 的置信区间的置信区间2222122(1)(1) , (1)(1)nSnSnn 例例3、已知一批零件的长度（单位：、已知一批零件的长度（单位：cm）服从正态分）服从正态分布布N(， 2 ) ，

10、 ， 2 未知，从中随机抽未知，从中随机抽16个零件，个零件，2240 xcms= 4,*,得得到到长长度度的的平平均均值值为为校校正正方方差差则则的置信度为的置信度为0.95的置信区间是的置信区间是_。2s2 22 2= =*解解：第第一一步步，的的无无偏偏点点估估计计为为nsnsnn 2222220.0250.975122(1) *(1) *15 415 4,(1)(1)(15)(15) ., . 2 18 9 52nsn 222(1) *(1)第二步，构造类似统计量的枢轴函数第二步，构造类似统计量的枢轴函数置信区间为：置信区间为：1、两个总体的方差、两个总体的方差 12 , 22已知已知

11、: :22121212 , , , ,XNYNnn由由于于 二二 、两个正态总体、两个正态总体 N( 1 ,12), N( 2 ,22) 的情况的情况(一一) 两个总体均值差两个总体均值差 1 2 的置信区间的置信区间: ,XY且且 相相互互独独立立知知22121212 , + ,XYNnn 故有故有12221212()( )( 0 , 1 ) ,+XYNnn 于是于是 1 2 的置信水平为的置信水平为 1 的置信区间为的置信区间为22221212121222+ , + .XYzXYznnnn 2、 12 = 22 = 2 , 但但 2 未知未知: :121212( )()(2) ,11XYt

12、 nnSnn 由于由于222112212( 1)( 1)= ,2nSnSSnn其其中中 从而有从而有 1 2 的置信水平为的置信水平为 1 的置信区间的置信区间1212211 (2) ,XYtnnSnn 1212211 (2).XYtnnSnn2212122212 (1 , 1) ,SSF nn由由于于 (二二) 两个总体方差比两个总体方差比 12/ / 22 的置信区间的置信区间:设两总体的均值设两总体的均值 1 , 2 未知未知 .1SSP FnnFnn22121212221222(1 , 1) (1 , 1) 故有故有= 1 于是于是 12/ /22 的置信水平为的置信水平为 1 的置信

13、区间为的置信区间为22112212122212211 , (1 , 1)(1 , 1)SSFnnFnnSS 例例4：从甲、乙两个生产蓄电池的工厂的产品从甲、乙两个生产蓄电池的工厂的产品中中, 分别独立抽取一些样品分别独立抽取一些样品, 测得蓄电池的电测得蓄电池的电容量为容量为甲甲: 144, 141, 138, 142, 141, 143, 138, 137;乙乙: 142, 143, 139, 140, 138, 141, 140, 138, 140, 136设两个工厂生产的蓄电池电容量分别服从正态设两个工厂生产的蓄电池电容量分别服从正态分布分布 N( 1 ,12), N( 2 ,22) .

14、 求求 12/ /22 的的 95% 的置信区间的置信区间 . .解解 经计算得经计算得 S12 = 6.57 , S22 = 4.47 , 又已知又已知0.025( 7 , 9 ) = 0.21 , F查查表表得得( 0.33 , 6.56 )1= 0.95 , = 0.025 , 1 = 0.975 22 12= 8 , = 10nn0.9750.0251( 7 , 9 ) = 4.20 , ( 9 , 7 )FF于是得于是得 12/ /22 的的 95% 的置信区间为的置信区间为定义定义7.7:12(0 = 1 , ( , +) P若若满满足足 则则称称 是是 1112=(,) ,nXX

15、X确确定定的的统统计计量量 对对任任意意 三、单侧置信区间三、单侧置信区间:1, 1置置信信水水平平为为 单单的的的的置置区区间间为为侧侧信信称称 1.的的置置信信水水平平为为 的的 单单侧侧置置信信下下限限 12(0 1), ,nXXX对对于于给给定定值值若若由由样样本本 22= 1 , ( , ) P若若满满足足 则则称称 是是 2212=(,) ,nXXX确确定定的的统统计计量量 对对任任意意 2, 1置置信信水水平平为为 单单的的的的置置区区间间为为侧侧信信称称 1.的的置置信信水水平平为为 的的 单单侧侧置置信信上上限限 单侧置信限的求法单侧置信限的求法:2, , ,X 对对于于正正

16、态态总总体体 若若均均值值 方方差差均均未未知知12,nXXX设设 是是一一个个样样本本, , 由由 (1) ,Xt nSn (1) = 1 ,XPtnSn有有 (1) = 1 .SPXtnn即即 (1) = 1 ,XPtnSn再再由由 1 于于是是的的一一个个置置信信水水平平为为的的单单侧侧置置信信 (1) , ,SXtnn区区间间为为 1 而而的的置置信信水水平平为为的的单单侧侧置置信信下下限限为为 (1) SXtnn . . 1 于于是是的的一一个个置置信信水水平平为为的的单单侧侧置置信信 , +(1) ,SXtnn区区间间为为 1 而而的的置置信信水水平平为为的的单单侧侧置置信信上上限限为为 +(1) SXtnn . . +(1) = 1 .SPXtnn即即 例例5：为估计制造某种产品所需要的单件平均为估计制造某种产品所需要的单件平均工时工时(单位单位:h), 现制造现制造5件件, 记录每件所需工时记录每件所需工时如下如下: 10.5 , 11.0 , 11.2 , 12.5 , 12.8 , 设制造单设制造单件