材料力学 剪切和扭转

1、 33 扭转的概念扭转的概念34 扭转的内力扭转的内力扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图* 薄壁筒扭转薄壁筒扭转35 圆截面杆扭转的应力及强度条件圆截面杆扭转的应力及强度条件36 圆截面杆扭转的变形及刚度条件圆截面杆扭转的变形及刚度条件31 剪切的概念剪切的概念32 连接接头的强度计算连接接头的强度计算一、连接件的受力特点和变形特点：一、连接件的受力特点和变形特点：1 1、连接件、连接件 在构件连接处起连接作用的部件，称为连接件连接件。例如：螺栓、铆钉、键等。连接件虽小，起着传递载荷的作用。 特点：可传递一般 力， 可拆卸。PP螺栓31 剪切的概念剪切的概念PP铆钉特点：可传递一般 力，不可拆卸。如桥梁

2、桁架结点处于它连接。无间隙m轴键齿轮特点：传递扭矩。2 2、受力特点和变形特点：、受力特点和变形特点：nn（合力）（合力）PP以铆钉为例：受力特点受力特点： 构件受两组大小相等、方向相反、作用线相互很近（差一个几何平面）的平行力系作用。变形特点变形特点： 构件沿两组平行力系的交界面发生相对错动。nn（合力）（合力）PP剪切面剪切面： 构件将发生相互的错动面，如n n 。剪切面上的内力剪切面上的内力： 内力 剪力FS ，其作用线与剪切面平行。PnnFS剪切面 剪切面上的切应力剪切面上的切应力： 与剪力FS 对应的应力称为切应力 ，产生剪切变形。acddxb dy tz3、切应力互等定理：、切应力

3、互等定理： dxdytdxdytmz ; 0 这就是这就是：在单元体相互垂直的两个截面在单元体相互垂直的两个截面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。nn（合力）（合力）PP4、剪切虎克定律、剪切虎克定律： 单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态称为种应力状态称为。acddxb dy tz 单元体单元体ab 的倾角的倾角 称为称为，切应变是切应变是单元体直角的改变量。实单

4、元体直角的改变量。实验表明，在弹性范围内，切应力与验表明，在弹性范围内，切应力与切应变成正比，即切应变成正比，即G 这就是这就是，比例常数，比例常数G 称为称为。 剪切弹性模量剪切弹性模量G 、与弹性模量、与弹性模量E 和泊松比和泊松比 一样，都一样，都是是表征材料力学性质的材料常数。对于各向同性材料，这三表征材料力学性质的材料常数。对于各向同性材料，这三个材料常数并不是独立的，它们存在如下关系。个材料常数并不是独立的，它们存在如下关系。 根据该式，在三个材料常数中，只要知道任意两个，根据该式，在三个材料常数中，只要知道任意两个，就可求出第三个来。就可求出第三个来。)1 (2EGnn（合力）（

5、合力）PP1、连接处破坏三种形式、连接处破坏三种形式： 剪切破坏 沿铆钉的剪切面剪断，如 沿n n面剪断 。 挤压破坏 铆钉与钢板在相互接触面 上因挤压而使溃压连接松动， 发生破坏。 拉伸破坏PnnFS剪切面钢板在受铆钉孔削弱的截面处，应力增大，易在连接处拉断。 32 连接接头的强度计算连接接头的强度计算2 2、剪切的实用计算、剪切的实用计算实用计算方法：实用计算方法：根据构件的破坏可能性，采用能反映受力基本特征，并简化计算的假设，计算其名义应力，然后根据直接试验的结果，确定其相应的许用应力，以进行强度计算。适用适用：构件体积不大，真实应力相当复杂情况，如连接件等。实用计算假设：实用计算假设：

6、假设剪应力在整个剪切面上均匀分布，等于剪切面上的平均应力。1、剪切面-AS ： 错动面。 剪力-FS： 剪切面上的内力。SSAF2、名义剪应力-：3、剪切强度条件（准则）： SSAF njx:其中nn（合力）（合力）PPPnnFS剪切面工作应力不得超过材料的许用应力。3 3、挤压的实用计算、挤压的实用计算1、挤压力Fbs接触面上的合力。挤压：构件局部面积的承压现象。挤压力：在接触面上的压力，记Fbs 。假设：挤压应力在有效挤压面上均匀分布。2、挤压面积：接触面在垂直Fbs方向上的投影面的面积。bsbsbsbsAP3、挤压强度条件（准则）： 工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力。挤压面积dtA

7、bs 1bsbs；、校核强度： 2bsbsbsSsPAFA；、设计尺寸： 3bsbsbsSSAPAF；、设计外载：4 4、应用、应用PPMPa952. 0103512407bhPAFSS MPa4 . 710125 . 4407cbPAPbsbsbs例例1 1 木榫接头如图所示，a = b =12cm，h=35cm，c=4.5cm, P=40KN，试求接头的剪应力和挤压应力。解：受力分析如图：剪应力和挤压应力PFFbsS剪切面和剪力为 挤压面和挤压力为：PPPPbachsAbsAmdP解：键的受力分析如图例例2 2 齿轮与轴由平键（bhL=20 12 100）连接，它传递的扭矩m=2KNm，轴

8、的直径d=70mm，键的许用剪应力为= 60M Pa ，许用挤压应力为bs= 100M Pa，试校核键的强度。 kN5707. 0222dmP2hmbhL综上，键满足强度要求。 MPa6 .281002010573bLPAFSS剪应力和挤压应力的强度校核PPFbsSjybsbsbshLPAPMPa3 .956100105723mdPQAbhL解：键的受力分析如图例例3 齿轮与轴由平键（b=16mm，h=10mm，）连接，它传递的扭矩m=1600Nm，轴的直径d=50mm，键的许用剪应力为= 80M Pa ，许用挤压应力为 bs= 240M Pa，试设计键的长度。 kN6405. 0160022

9、dmPFPbsS2hmmdPQAbhLmdPQAbhL剪应力和挤压应力的强度条件 mm50)m(10801664 31bFLLbFSSmm3 .53)m(10240106422 232bsbsbsbshPLLhP综上 mm3 .53 , max21LLLFPbs=F实际挤压面计算挤压面P实际挤压面计算挤压面挤压应力挤压应力bsbsbsAP Pbs为挤压力，为挤压力，Abs为计算挤压为计算挤压面的面积。面的面积。挤压强度条件挤压强度条件bsbsbsbsAP bs为容许为容许挤压应力，由挤压应力，由 极限挤压应力除以安全系数。极限挤压应力除以安全系数。例例4 图示铆接件，图示铆接件，P=100kN

10、，铆钉的直径，铆钉的直径d=16mm，容许剪，容许剪应力应力 =140MPa，容许挤压，容许挤压应力应力 bs=200MPa；板的厚度；板的厚度t=10mm ，b=100mm，容许正，容许正应力应力 =170MPa，试校核，试校核铆铆接件的强度。接件的强度。PPdttPPb 铆钉（或螺栓）连接件要安全工作，铆钉即要满足铆钉（或螺栓）连接件要安全工作，铆钉即要满足，又要满足，又要满足，同时板还要满足，同时板还要满足。PPdttFbF/4F/4F/4F/4F/43F/4F 上板受力图上板受力图上板轴力图上板轴力图F/4F/4铆钉受力图铆钉受力图 多铆钉连接件，为计算方便，各铆钉受力可视作相同。多铆

11、钉连接件，为计算方便，各铆钉受力可视作相同。铆钉剪应力铆钉剪应力12416101004/4/232MPadFAFssF/4F/4铆钉挤压应力铆钉挤压应力15610164101004/3bsbsbsbsMPadtFAF铆钉满足强度条件，安全。铆钉满足强度条件，安全。FbF/4F/4F/4F/4F/43F/4F 上板受力图上板受力图上板轴力图上板轴力图112233bbddd22截面截面33截面截面tMPatdbPAFN11010681075)2(4/332222MPatdbPAFN119108410100)(33333 33max板也满足拉压强度条件，铆接件安全。板也满足拉压强度条件，铆接件安全。

12、例例5已知图示圆梯形杆已知图示圆梯形杆D=32mm，d=20mm，h=12mm，材，材料的料的 =100MPa， bs=200MPa。受拉力。受拉力P=50kN 作用，试作用，试校核此杆的强度校核此杆的强度 。dDhPP剪切面剪切面挤压面挤压面挤压面挤压面剪切面剪切面Pdh解：解：FFFjys剪切面面积：剪切面面积：dhAs挤压面面积：挤压面面积：)(422dDAbs MPadhPAFss3 .66122010503bsbsbsbsMPadDPAP102)2032(10504)(422322此杆安全。此杆安全。FFFFbsabh例例6木榫接头如图所示，宽木榫接头如图所示，宽b=20cm，材料，

13、材料 =1MPa， bs=10MPa。受拉力。受拉力P=40kN作用，试设计尺寸作用，试设计尺寸a 、h 。剪切面剪切面挤压面挤压面剪切面面积：剪切面面积：解：解：abAs挤压面面积：挤压面面积：bhAbsFFbsabh剪切面剪切面挤压面挤压面取接头右边，受力如图。取接头右边，受力如图。FFFbss ,abFAFssmmbFa20020011040 3,bsbsbsbsbhFAFmmbFhbs20200101040 333 扭转的概念扭转的概念 直杆在外力偶作用下，且力偶的作用面与直杆的轴线直杆在外力偶作用下，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。垂直，则杆件发生的变形为

14、扭转变形。ABOmmOBA扭转：扭转： （两端面相对转过的角度）（两端面相对转过的角度） ，剪切角也称，剪切角也称。34 扭转的内力扭转的内力扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图mmmTx一、扭矩一、扭矩 圆杆扭转横截面的内力合成圆杆扭转横截面的内力合成结果为一合力偶，合力偶的力偶结果为一合力偶，合力偶的力偶矩称为截面的矩称为截面的，用，用表示之。表示之。 扭矩的正负号按扭矩的正负号按来确定，即右手握住杆的轴线，来确定，即右手握住杆的轴线，卷曲四指表示扭矩的转向，若拇卷曲四指表示扭矩的转向，若拇指沿截面外法线指向，扭矩为正，指沿截面外法线指向，扭矩为正，反之为负。反之为负。mTx扭矩的大小由平衡方程求得。

15、扭矩的大小由平衡方程求得。, 0; 0mTmxmT 二、扭矩图二、扭矩图 各截面的扭矩随荷载而变化，是截面坐标的函数，表示各截面的扭矩随荷载而变化，是截面坐标的函数，表示各截面扭矩的图象称为各截面扭矩的图象称为。 扭矩图的画法步骤与轴力图基本相同，具体如下：扭矩图的画法步骤与轴力图基本相同，具体如下： 扭矩图的画法步骤：扭矩图的画法步骤： 画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基线；画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基线； 将杆分段，凡集中力偶作用点处均应取作分段点；将杆分段，凡集中力偶作用点处均应取作分段点； 用截面法，通过平衡方程求出每段杆的扭矩；用截面法，通过平衡方程求出每段杆的扭矩

16、；画受画受力图时，截面的扭矩一定要按正的规定来画力图时，截面的扭矩一定要按正的规定来画。 按大小比例和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两按大小比例和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两侧，并在图上表出数值和正负号。侧，并在图上表出数值和正负号。例例1 画图示杆的扭矩图画图示杆的扭矩图3kN.m5kN.m2kN.m解：解：11223kN.mT1ABCAC段：段：0mmkNTT.3; 0311BC段：段：0mmkNTT.2; 02222kN.mT2扭矩图扭矩图3kN.m2kN.m - 扭矩是根据外力偶矩来计算，对于传动轴，外力偶矩可扭矩是根据外力偶矩来计算，对于传动轴，外力偶矩可通过传递功率和转数来换算

17、。通过传递功率和转数来换算。三、外力偶矩换算三、外力偶矩换算m)(N9550nPm其中：P 功率，千瓦（kW） n 转速，转/分（r/min） 若传动轴的传递功率为若传动轴的传递功率为P，每分钟转数为，每分钟转数为n ，则每分钟，则每分钟功率作功：功率作功：PW60力偶作功：力偶作功：nmW2nPm260例例2 已知：一传动轴转数 n =300r/min，主动轮输入功率 P1=500kW，从动轮输出功率 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nA B C Dm2 m3 m1 m4解：解：计算外力偶矩计算外力偶矩m)15.9(kN 3005009.5555911nP

18、.mm)(kN 7843001509.55559232.nP.mmm)(kN 3763002009.5555944.nP.m112233求扭矩（扭矩按正方向假设）求扭矩（扭矩按正方向假设）mkN78. 4 , 0 , 02121mTmTmmkN56. 9)78. 478. 4( 322mmTnA B C Dm2 m3 m1 m40; 0212mmTmmkN37. 6 , 0 , 04343mTmTm绘制扭矩图绘制扭矩图BC段为危险截面。段为危险截面。nA B C Dm2 m3 m1 m44.78kN.m9.56kN.m6.37kN.mm,kN 56. 9maxT扭矩图扭矩图例例画图示杆的扭矩图

19、。画图示杆的扭矩图。3m2m2mmkN.4mkN.6mkN.8mkN.61m _扭矩图扭矩图mkN.4mkN.6mkN.23. 纵向线变形后仍为平行。纵向线变形后仍为平行。一、等直圆杆扭转实验观察一、等直圆杆扭转实验观察1. 横截面变形后仍为平面，满足平面假设；横截面变形后仍为平面，满足平面假设；2. 轴向无伸缩，横截面上没有正应力；轴向无伸缩，横截面上没有正应力；二、等直圆杆扭转横截面上的切应力二、等直圆杆扭转横截面上的切应力Rdxdx1o2o2o1oAABBCDDCabdcBCCcbd 变形的几何条件变形的几何条件横截面上横截面上b 点的切应变：点的切应变：dxddxbbdxd其中其中 为

20、单位长度杆两端面相对扭转角，称为单位长度杆两端面相对扭转角，称B 物理条件物理条件横截面上横截面上b 点的切应力：点的切应力：GG 静力条件静力条件PAAAIGAGAGATd d d22pGIT O2dAdAbT其中其中 称为截面对圆心的称为截面对圆心的。APdAI2pIT于是得横截面上任一点的切应力为于是得横截面上任一点的切应力为Ip截面对圆心的极惯性矩，纯几何量，无物理意截面对圆心的极惯性矩，纯几何量，无物理意义。义。式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得；横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得； 求应力那点到圆心的距离；求应力那点到圆心的距离；dD环形截面：环形截面：)

21、(3244dDIP极惯性矩的单位极惯性矩的单位：m432 d2 d42022DAIDApDdO 极惯性矩极惯性矩 同一截面，扭矩同一截面，扭矩T ，极惯性矩，极惯性矩IP 为常量，因此各点切应为常量，因此各点切应力力 的大小与该点到圆心的距离的大小与该点到圆心的距离 成正比，方向垂直于圆的成正比，方向垂直于圆的半径，且与扭矩的转向一致。半径，且与扭矩的转向一致。TT max max实心圆截面切应力分布图实心圆截面切应力分布图空心圆截面切应力分布图空心圆截面切应力分布图最大切应力在外圆处。最大切应力在外圆处。 最大切应力最大切应力maxmaxPIT令：令：)1 (16164433DdDDWt,m

22、axPtIW Wt 称为称为，单位：，单位：m3tWTmax实心圆截面实心圆截面空心圆截面空心圆截面例例4已知空心圆截面的扭矩已知空心圆截面的扭矩T =1kN.m，D =40mm，d=20mm，求最大、最小切应力。，求最大、最小切应力。dDT max min解：解：MPaDdDTWTt9 .84)(1 4100016)1 (164213443maxMPaDd45.42219 .84maxmin三、圆轴扭转时的强度计算三、圆轴扭转时的强度计算强度条件：强度条件：maxtWT其中容许切应力其中容许切应力 是由扭转时材料的极限是由扭转时材料的极限切应力除以安全系切应力除以安全系数得到。数得到。一、扭

23、转时的变形一、扭转时的变形pGITx dd d 0lpxGIT 当当T 、GIP 为常量时，长为为常量时，长为l 一一段杆两端面相对扭转角为段杆两端面相对扭转角为PGITl其中其中GIP 表示杆件抵抗扭转变形的能力，称为表示杆件抵抗扭转变形的能力，称为。(rad/m) dd pGITx 二、刚度条件二、刚度条件 (rad/m) maxpGIT /m)( 180 maxpGIT 称为称为。若。若单位扭转角给的是单位扭转角给的是 ，则上式改写为则上式改写为m/例例图示圆轴，已知图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC =2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m； =60

24、MPa， =0.3/m，G=80GPa；试选择该轴的直径；试选择该轴的直径。ABCmAmB mC l1l22kN.m1kN.m 解：解： 按强度条件按强度条件 3maxmax16dmWTct mmmdC4 .55101060200016163363ABCmAmB mC l1l22kN.m1kN.m 按刚度条件按刚度条件 /m)( 180 maxpGIT 18032max4GTdIP mmGTd5 .83103 . 0108018020003218032342942max该圆轴直径应选择：该圆轴直径应选择：d =83.5mm.例例6图示圆轴，已知图示圆轴，已知mA =1.4kN.m， mB =0

25、.6kN.m， mC =0.8kN.m；d1 =40mm，d2 =70mm； l1 =0.2m，l2 =0.4m； =60MPa， =1/m，G=80GPa；试校核该轴的强度和；试校核该轴的强度和刚度，并计算两端面的相对扭转角刚度，并计算两端面的相对扭转角。ABCmAmB mC l1l20.6kN.m0.8kN.m 解：解： 按强度按强度核该核该 MPadmWTBt7 .4746001616331111d1d2ABCmAmB mC l1l20.6kN.m0.8kN.m MPadmWTCt9 .1178001616332222d1d2满足强度条件。满足强度条件。按刚度按刚度核该核该mGITP/7

26、1. 118010401080600321801249111mGITP/24. 018010701080800321801249222ABCmAmB mC l1l20.6kN.m0.8kN.m d1d2 m/71. 11max此轴不满足刚度条件。此轴不满足刚度条件。)(324111422211122212dlTdlTGGIlTGIlTPPCB245. 0180101)402 . 0600704 . 0800(10803212449CB例例7长为长为 l =2m 的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，的作用，如图，若杆的内外径之比为如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用，许用切