第4章 流体动力学基本定理_4,5_2004

1、Bernoulli方程：速度分布方程：速度分布 动量变化动量变化 。 时刻时刻t，任取一流体系统，任取一流体系统V(t)、边界面边界面S(t)，外法向量，外法向量n 。VSnP系统内动量的变化率等于作用在系统上的合外力系统内动量的变化率等于作用在系统上的合外力( ( ）。）。 Fa m( )( )( )nV tV tS tdVdVdSvPfp系统内流体动量变化系统内流体动量变化 = = 系统所受合外力系统所受合外力 SnVSdSdVdspfnvv)(zsnysnxsnPdswvPvdsvPudsv动量方程反映了物体与动量方程反映了物体与流体间的相互作用，是流体间的相互作用，是积分形式的方程，对

2、理积分形式的方程，对理想和粘性流体都适用。想和粘性流体都适用。 CV内流体动量的变化与单位时间（净）流出内流体动量的变化与单位时间（净）流出CS的动量的动量之和等于外界作用在之和等于外界作用在CV和和CS上的合力。上的合力。 VSnPSnVSVdSdVdSdVtpfnvvv)( )( )( )nV tV tS tdVdVdSvPfp （1 1）取坐标系；）取坐标系； （2 2）假定力）假定力: :如设如设F为外界给流体的力，则物体受力为外界给流体的力，则物体受力F = F； （3 3）取控制体：速度和压力为已知的面；物面或流面。物面或）取控制体：速度和压力为已知的面；物面或流面。物面或流面上流

3、面上 而物面往往就是要求的受力面。而物面往往就是要求的受力面。SnVSdSdVdspfnvv)(（1 1）壁面无摩擦（理想流体）壁面无摩擦（理想流体）: :（2 2）忽略质量力：）忽略质量力：f = 0; ;（3 3）进出口流动均匀）进出口流动均匀: : V=const. .nppn0SndSv（4 4） 列动量分量方程；列动量分量方程；（5 5） 基本方程的联合使用基本方程的联合使用; ;（6 6） 表压力求解方便。表压力求解方便。cv内关于某一点动量矩的变化率与单位时间内流内关于某一点动量矩的变化率与单位时间内流出出cs的动量矩之和等于外界作用在的动量矩之和等于外界作用在cv上的力关于同一

4、点的矩上的力关于同一点的矩: : MnvvrvrdsdVtSV)()()(SnvdsdV)()(prfrM外力矩：外力矩： SnvSdsdVds)()()()(prfrnvvr CS CS = CV+CS zSnySnxSnMdsvyuxvMdsvxwzuMdsvzvyw直角坐标系中直角坐标系中: : b0、V0，a，p0，不计粘性。，不计粘性。流体对平板的作用力。流体对平板的作用力。SnVSdSdVdspfnvv)(Bernoulli方程：方程： Continuity方程：方程： 221100bVbVbV210bbb210VVVnppn1 11222000000()(cos )000(sin

5、)V b VV bVV bVV bVP 取坐标系及控制体：端面足够远；取坐标系及控制体：端面足够远；设设P为流体对平板的冲击力如图；为流体对平板的冲击力如图；列动量方程列动量方程( (表压力表压力) )： 0V2V1V1b2b0bePayxo02010202cos12cos1sinbbbbbVPaaaPeVbVbVbVb2222111122actgbe20（“”表示表示 f 在在 x 轴轴正正方向）方向） 求冲击力求冲击力P 的的作用点作用点 f 的位置的位置 e ： 对坐标原点对坐标原点 o 取矩：取矩： 0V2V1V1b2b0bePayxo流体线：流体线：由确定的流体质点所组成的线。由确定

6、的流体质点所组成的线。 如果流体理想、正压、质量力有势，则沿封闭流体如果流体理想、正压、质量力有势，则沿封闭流体线的速度环量不随时间变化。又称为线的速度环量不随时间变化。又称为Thomson定理。定理。0DtDUpDtDfv 若理想流体、正压、质量力有若理想流体、正压、质量力有llDtDDtDlvlvdd速度环量导数速度环量导数加速度环量加速度环量0)d(d)(llUUDtDl可证得可证得 如果流体理想、正压、质量力有势，则如果流体理想、正压、质量力有势，则组成涡线的流体质点永远组成此涡线。组成涡线的流体质点永远组成此涡线。 如果流体理想、正压、质量力有势，则如果流体理想、正压、质量力有势，则

7、组成涡管的流体质点始终组成此涡管，且组成涡管的流体质点始终组成此涡管，且涡管的强度不随时间而变。涡管的强度不随时间而变。 综上所述，综上所述，Kelvin、Lagrange及及Helmholtz定理全面地定理全面地描述了理想正压流体在有势场中运动时涡量演化的规律：描述了理想正压流体在有势场中运动时涡量演化的规律：若流体理想、正压、质量力有势，无旋运动永远无旋，有若流体理想、正压、质量力有势，无旋运动永远无旋，有旋运动永远有旋；涡线、涡面、涡管及涡管强度具有保持旋运动永远有旋；涡线、涡面、涡管及涡管强度具有保持性。若不满足性。若不满足Kelvin任一条件，则运动过程中会产生新的任一条件，则运动过

8、程中会产生新的旋涡，无旋变成有旋；不具备保持性。旋涡，无旋变成有旋；不具备保持性。kelvin_helm_rollupbullet_shadowgraph:Shock Wavevortex_bearbae_146wingbound vortextrailing vortextrailing vortexV Buried: in Westminster Abbey. 英国及欧盟国家英国及欧盟国家电流电流诱导磁场强度诱导磁场强度 旋涡旋涡诱导流体速度。诱导流体速度。 物理现象不同，但满足相同的数学方程，其数学解相同。物理现象不同，但满足相同的数学方程，其数学解相同。vHvHV000022VvHlSlSdsddsdinlvnlH 磁场强度磁场强度 H v 流体速度流体速度 磁场势磁场势 V 速度势速度势 电流面密度电流面密度 涡量涡量 电流强度电流强度 i 速度环量速度环量 3d4drirlH3d4drrlvvdMl dL iHdr12dsin4sind42aaaaaRrlVL12coscos4aaRVaaaaaadsin4)sin/d(sin4sind4d23RrrrrlvLl dMR1a2aaadr