第2章轴向拉伸压缩与剪切

1、一、轴向拉压的工程实例：一、轴向拉压的工程实例：工程桁架工程桁架2-1 轴向拉伸与压缩概念与实例轴向拉伸与压缩概念与实例第二章第二章 轴向拉伸、压缩和剪切轴向拉伸、压缩和剪切 活塞杆活塞杆FF厂房的立柱厂房的立柱二、轴向拉压的概念：二、轴向拉压的概念：（2）变形特点：杆沿轴线方向伸长或缩短。）变形特点：杆沿轴线方向伸长或缩短。（1）受力特点：）受力特点：N1N1N2N2外力合力作用线与杆轴线重合。外力合力作用线与杆轴线重合。以轴向拉压为主要变形的杆件，称为拉压杆或轴向承载杆。以轴向拉压为主要变形的杆件，称为拉压杆或轴向承载杆。ABCF1. 内力内力一、轴向拉压杆横截面的内力一、轴向拉压杆横截面

2、的内力 轴力（用轴力（用N 表示）表示）2-2 轴向拉压杆横截面的内力与应力轴向拉压杆横截面的内力与应力FF例：已知外力例：已知外力 F，求：，求：11截面的内力截面的内力N 。解：解：FF11X=0, N - F = 0, FN N（截面法确定）（截面法确定）截开。截开。代替，代替，N 代替。代替。平衡，平衡，N= F。NF以以11截面的右段为研究对象：截面的右段为研究对象：内力内力 N N 沿轴线方向，所以称为轴力。沿轴线方向，所以称为轴力。2 2、轴力的符号规定：、轴力的符号规定：压缩压缩压力，其轴力为负值。方向指向所在截面。压力，其轴力为负值。方向指向所在截面。拉伸拉伸拉力，其轴力为正

3、值。方向背离所在截面。拉力，其轴力为正值。方向背离所在截面。 NFFN（）（） NFFN（）（）轴力一般按正方向假设。轴力一般按正方向假设。3 3、轴力图：、轴力图：+Nx 直观反映轴力与截面位置变化关系；直观反映轴力与截面位置变化关系； 确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截面位置，为确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。强度计算提供依据。4 4、轴力图的意义、轴力图的意义轴力沿轴线变化的图形轴力沿轴线变化的图形FF例例 图示杆的图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为点分别作用着大小为FA = 5 F、 FB = 8 F、 FC = 4 F FD

4、= F 的力，方向如图，试求各段内力并画出杆的轴力图。的力，方向如图，试求各段内力并画出杆的轴力图。N1ABCDFAFBFCFDO解：解： 求求OA段内力段内力N1：设截面如图：设截面如图0 X10DCBAFFFFN14850 FFFFN12NFABCDFAFBFCFDN2N3DFDN4ABCDFAFBFCFDO求求CD段内力：段内力： 求求BC段内力：段内力： 求求AB 段内力：段内力：0 X02DCBFFFN0 X30DCNFF40DFN0XN3= 5F，N4= FN2= 3F，BCDFBFCFDCDFCFD12 ,NFN2= 3F，N3 = 5F，N4= F轴力图如下图示轴力图如下图示A

5、BCDFAFBFCFDON3= 5F，N4= FN2= 3F，12 ,NFNx2F3F5FF例例 等直杆等直杆BC , 横截面面积为横截面面积为A , 材料体密度为材料体密度为 , 画杆的轴力图，画杆的轴力图，求最大轴力求最大轴力解：解：1. 轴力计算轴力计算 00N N llA g2. 轴力图与最大轴力轴力图与最大轴力 N xAx g作轴力图作轴力图轴力图为直线轴力图为直线max NlA gN (x)N N推导思路：实验推导思路：实验变形规律变形规律应力的分布规律应力的分布规律应力的计算公式应力的计算公式二、轴向拉压杆横截面的应力二、轴向拉压杆横截面的应力1 1、实验：、实验：横向线横向线仍

6、为平行的直线，且间距增大。仍为平行的直线，且间距增大。纵向线纵向线仍为平行的直线，且间距减小。仍为平行的直线，且间距减小。横向线横向线仍为平行的直线，且间距减小。仍为平行的直线，且间距减小。纵向线纵向线仍为平行的直线，且间距增大。仍为平行的直线，且间距增大。1 1、实验：、实验：变形前变形前受力后受力后FF2 2、变形规律：、变形规律：横向线横向线仍为平行的直线，且间距增大。仍为平行的直线，且间距增大。纵向线纵向线仍为平行的直线，且间距减小。仍为平行的直线，且间距减小。5 5、应力的计算公式：、应力的计算公式：轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式4 4、应力的分

7、布规律、应力的分布规律内力沿横截面均匀分布内力沿横截面均匀分布ANF NNAa2PNma2MPNmm3 3、平面假设：、平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面且各横截变形前的横截面，变形后仍为平面且各横截 面沿杆轴线作相对平移面沿杆轴线作相对平移7 7、正应力的符号规定、正应力的符号规定同内力同内力拉应力为正值，方向背离所在截面。拉应力为正值，方向背离所在截面。压应力为负值，方向指向所在截面。压应力为负值，方向指向所在截面。6 6、拉压杆内最大的正应力：、拉压杆内最大的正应力：等直杆：等直杆：maxmaxNA变直杆：变直杆：maxmaxNA8 8、公式的使用条件、公式的使用条件(1) 轴向拉

8、压杆轴向拉压杆(2) 除外力作用点附近以外其它各点处。除外力作用点附近以外其它各点处。 （范围：不超过杆的横向尺寸）（范围：不超过杆的横向尺寸）三、轴向拉压杆任意斜面上应力的计算三、轴向拉压杆任意斜面上应力的计算1 1、斜截面上应力确定、斜截面上应力确定(1) 内力确定：内力确定：(2)应力确定：应力确定：应力分布应力分布均布均布应力公式应力公式coscoscosNFFpAAAN Na a= = FFpFFFNxN2 2、符号规定、符号规定、 ：斜截面外法线与：斜截面外法线与 x 轴的夹角轴的夹角。由由 x 轴逆时针转到斜截面外法线轴逆时针转到斜截面外法线“ ” 为正值为正值；由由 x 轴顺时

9、针转到斜截面外法线轴顺时针转到斜截面外法线“ ”为负值为负值、 ：同：同“”的符号规定的符号规定、 ：在保留段内任取一点，如果：在保留段内任取一点，如果“ ”对该点之矩为顺时针方向，对该点之矩为顺时针方向，则规定为正值，反之为负值。则规定为正值，反之为负值。2coscos p2sin2sin ppcoscoscosNFFpAAAF3 3、斜截面上最大应力值的确定、斜截面上最大应力值的确定:)1(max:)2(max,0max)0(,横截面上。横截面上。0452max)2( ,45,450 0斜截面上。斜截面上。,cos22sin2FNx作业：作业：2-1; 2-4; 2-1; 2-4; 力学性

10、能力学性能：材料在受力后的表现出的变形和破坏特性。：材料在受力后的表现出的变形和破坏特性。 不同的材料具有不同的力学性能，其力学不同的材料具有不同的力学性能，其力学性能需通过实验得到。性能需通过实验得到。实验条件实验条件：常温静载。：常温静载。2-3 材料的力学性质材料的力学性质实验方式实验方式：轴向拉伸压缩：轴向拉伸压缩拉伸标准试样拉伸标准试样dldl5 10 或或AlAl65. 5 3 .11 或或压缩试件压缩试件很短的圆柱型：很短的圆柱型： h = (1.53.0)dh = (1.53.0)dhd试验装置试验装置变形传感器变形传感器拉伸图拉伸图 ( ( F- -D Dl 曲线曲线 ) )

11、为了消除尺寸的影响一般用为了消除尺寸的影响一般用 曲线曲线F/Al/l、弹性阶段、弹性阶段: :OAOA为直线段；为直线段；AA为微弯曲线段为微弯曲线段。E比例极限；比例极限；弹性极限。弹性极限。pe1 1、低碳钢轴向拉伸时的力学性质、低碳钢轴向拉伸时的力学性质 ( (四个阶段四个阶段) )一、一、 材料在拉伸时的力学性质材料在拉伸时的力学性质一般这两个极限相差不大，一般这两个极限相差不大，在工程上难以区分，统称为弹在工程上难以区分，统称为弹性极限性极限低碳钢拉伸时的四个阶段低碳钢拉伸时的四个阶段、弹性阶段、弹性阶段: :OAOA, ,、屈服阶段、屈服阶段: :BCBC。、强化阶段：、强化阶段

12、：CDCDb b 强度极限强度极限（拉伸过程中最高的应力值）。（拉伸过程中最高的应力值）。滑移线滑移线屈服极限屈服极限屈服段内最低的应力值。屈服段内最低的应力值。s、局部变形阶段（颈缩阶段）：、局部变形阶段（颈缩阶段）：DEDE。在此阶段内试件的某一横截面发生明显的变形，至到试件断裂。在此阶段内试件的某一横截面发生明显的变形，至到试件断裂。缩颈与断裂缩颈与断裂断口为断口为4545度斜面度斜面 b-强度极限强度极限 E = tan - 弹性模量弹性模量 e-弹性极限弹性极限 s-屈服极限屈服极限e e卸载定律及冷作硬化卸载定律及冷作硬化 p塑性应变塑性应变 e弹性极限弹性极限 e 弹性应变弹性应

13、变预加塑性变形预加塑性变形, 可使可使 e 或或 p 提高提高卸载定律卸载定律： 当拉伸超过屈服阶段后，如果当拉伸超过屈服阶段后，如果逐渐卸载，在卸载过程中，逐渐卸载，在卸载过程中，应应力力应变将按直线规律变化。应变将按直线规律变化。冷作硬化：冷作硬化：在常温下将钢材拉伸超过屈服阶段，卸载后短期内又继续加在常温下将钢材拉伸超过屈服阶段，卸载后短期内又继续加载，材料的比例极限提高而塑性变形降低的现象。载，材料的比例极限提高而塑性变形降低的现象。材料的塑性材料的塑性000100 D D ll 延伸率延伸率l试验段原长（标距）试验段原长（标距）D Dl0试验段残余变形试验段残余变形塑性塑性 材料能经

14、受较大塑性变形而不破坏的能力材料能经受较大塑性变形而不破坏的能力001100 AAA 断面收缩率断面收缩率塑性材料塑性材料： 5 % 5 % 例如结构钢与硬铝等例如结构钢与硬铝等脆性材料脆性材料： 5 % 5 % 例如灰口铸铁与陶瓷等例如灰口铸铁与陶瓷等A 试验段横截面原面积试验段横截面原面积A1断口的横截面面积断口的横截面面积塑性与脆性材料塑性与脆性材料塑性材料塑性材料低碳钢低碳钢拉伸破坏断口拉伸破坏断口共有的特点：共有的特点： 断裂时具有较大的残余变形，断裂时具有较大的残余变形，均属塑性材料。均属塑性材料。 有些材料没有明显的屈服阶有些材料没有明显的屈服阶段。段。其他材料的拉伸试验其他材料

15、的拉伸试验（一）、其它工程塑性材料的拉伸时的力学性能（一）、其它工程塑性材料的拉伸时的力学性能2004006005102015硬铝硬铝5050钢钢3030铬锰硅钢铬锰硅钢(%)1200MPa 对于没有明显屈服阶对于没有明显屈服阶段的材料用名义屈服应段的材料用名义屈服应力表示力表示 2 . 0 产生产生 的塑性应变时所对应的塑性应变时所对应的应力值。的应力值。002 . 0（二）、铸铁拉伸试验（二）、铸铁拉伸试验1 1）无明显的直线段；）无明显的直线段；2 2）无屈服阶段；）无屈服阶段；3 3）无颈缩现象；）无颈缩现象；4 4）延伸率很小。）延伸率很小。5）强度极限很小。）强度极限很小。b b强

16、度极限。强度极限。E E割线的弹性模量。割线的弹性模量。 0.20.2 0.20.2% 名义屈服极限名义屈服极限2 . 0 1500.5%0.1%铸铁的拉伸破坏铸铁的拉伸破坏断口为横截面断口为横截面低碳钢的压缩试验低碳钢的压缩试验弹性阶段，屈服阶段均弹性阶段，屈服阶段均与拉伸时大致相同。与拉伸时大致相同。超过屈服阶段后，外力超过屈服阶段后，外力增加面积同时相应增加，增加面积同时相应增加，无破裂现象产生。无破裂现象产生。二、二、 材料在压缩时的力学性质材料在压缩时的力学性质其它脆性材料压缩时的其它脆性材料压缩时的力学性质大致同铸铁，力学性质大致同铸铁，工程上一般作为抗压材工程上一般作为抗压材料。

17、料。拉压bb)54(:12：破坏面大约为：破坏面大约为45450 0的斜面。的斜面。铸铁的压缩试验铸铁的压缩试验温度对力学性能的影响温度对力学性能的影响材料强度、弹性常数随温度变化的关系低炭钢低炭钢硬铝硬铝在一般情况下，在一般情况下，低炭钢低炭钢随着温度的升高，屈服和强度极限减小，而塑随着温度的升高，屈服和强度极限减小，而塑性增大性增大un（其中（其中 n 为安全系数为安全系数, ,值值 1 1）、安全系数取值考虑的因素：、安全系数取值考虑的因素：（a）给构件足够的安全储备。）给构件足够的安全储备。（b b）理论与实际的差异。）理论与实际的差异。、极限应力、极限应力（危险应力、失效应力）：材料

18、发生破坏或产生过大变形而（危险应力、失效应力）：材料发生破坏或产生过大变形而不能安全工作时的最小应力值不能安全工作时的最小应力值 u u （s s 、b b）、许用应力：、许用应力：构件安全工作时的最大应力。构件安全工作时的最大应力。“ ”1 1、极限应力、许用应力、极限应力、许用应力2-4 许用应力、轴向拉（压）杆的强度计算许用应力、轴向拉（压）杆的强度计算2 2、强度条件：最大工作应力小于等于许用应力、强度条件：最大工作应力小于等于许用应力等直杆等直杆：maxmaxNA变直杆变直杆：maxmaxNA max（3 3）确定外荷载确定外荷载已知：已知： 、A。求：。求：F。Nmax A。 F（

19、2 2）、）、设计截面尺寸设计截面尺寸已知：已知：F、 。求：。求：A解解： maxmaxNA A Nmax 。3 3、强度条件的应用：、强度条件的应用： （解决三类问题）：（解决三类问题）：（1 1）、）、校核强度校核强度已知：已知：F、A、 。求：。求：解：解：m axm axNA？ max？解：解：m axm axNA max等直杆等直杆：maxmax NA例例 已知一圆杆受拉力已知一圆杆受拉力F =25 k N，直径，直径 d =14mm，许用应力，许用应力 =170MPa，试校核此杆是否满足强度要求，试校核此杆是否满足强度要求(校核强度校核强度) )。解解：1、轴力、轴力N =F =

20、25kNmaxNA2、应力、应力：3、强度校核：、强度校核： 170MPa162MPamax此杆满足强度要求，能够正常工作。此杆满足强度要求，能够正常工作。FF25kNxN24d F23014014310254.Pa101626例例 已知简单构架：杆已知简单构架：杆1 1、2 2截面积截面积 A1=A2=100 mm2，材料的许用拉应力材料的许用拉应力 t =200 MPa，许用压应力，许用压应力 c =150 MPa 试求：载荷试求：载荷F F的许用值的许用值 F解：解：1. 轴力分析轴力分析0 , 0 yxFF由由12 NF2 NF1max1tt112,NFAAkN 14.142t1 AF

21、kN 0 .15c2 AFc2222maxAFANkN 14.14 F2. 利用强度条件确定利用强度条件确定F（A1=A2=100 mm2，许用拉应力，许用拉应力 t =200 MPa，许用压应力，许用压应力 c =150 MPa）N N1 1N N2 2例例 已知：已知：l, h, F（0 x l）, AC为刚性梁为刚性梁, , 斜撑杆斜撑杆 BD 的许用应的许用应力为力为 .试求：为使杆试求：为使杆 BD 重量最轻重量最轻, , 的最佳值的最佳值. .斜撑杆斜撑杆，解：解：1. 斜撑杆受力分析斜撑杆受力分析0, cosAFxMNh maxcosFlNh2. 最佳值的确定最佳值的确定maxm

22、in cosNFlAh 2sin2sincosminFlhhFllAVBDBD 45 opt12sin max NA 由强度条件由强度条件欲使欲使VBD 最小最小N N例例 试求薄壁圆环在内压力作用下径向横截面上的环向拉应力。已知试求薄壁圆环在内压力作用下径向横截面上的环向拉应力。已知： 。MPa2 mm,5 mm,200pd 可认为径向截面上的拉应力沿壁厚均匀分布dbA解：解：dbpAy2FN 根据对称性可得，径截面上内力处处相等dyN NdppFy y0sinFd F63632 10200 1040 10 Pa=40MPa2 5 10 )d2(ddbpFpbddpb)sind2(02pbd

23、N1()22NpbdpdAbddyN NpFy dFdFysindFdF y2FN 作业：作业：2-72-7一、拉一、拉( (压压) )杆的纵向变形杆的纵向变形 简单情况下简单情况下( (等直杆，两端受轴向力等直杆，两端受轴向力) )： 纵向总变形纵向总变形l = l1-l （反映绝对变形量）（反映绝对变形量） 纵向线应变纵向线应变 （反映变形程度）（反映变形程度） llD2-5 轴向拉压的变形轴向拉压的变形x 截面处沿截面处沿x方向的纵向平均线应变为方向的纵向平均线应变为 xxDD 图示一般情况下在不同截面处杆的横截面上的轴力不同，故不同截图示一般情况下在不同截面处杆的横截面上的轴力不同，故

24、不同截面的变形不同。面的变形不同。lxf沿杆长均匀分布的荷载集度为 ffl轴力图)(xxfD( )f xxDxD微段的分离体x截面处沿截面处沿x方向的纵向线应变为方向的纵向线应变为 xxxxxxddlim0DDD一般情况下，杆沿一般情况下，杆沿x方向的总变形方向的总变形 0dlxlxD 线应变的正负规定：伸长时为正，缩短时为负。 二、横向变形二、横向变形与杆轴垂直方向的变形与杆轴垂直方向的变形 ddD在简单情况下在简单情况下 ddd-1D低碳钢低碳钢(Q235)：= 0.240.28。 亦即 - 横向变形因数(泊松比)(Poissons ratio) 单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限

25、时，某一方向的线单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，某一方向的线应变应变与和该方向垂直的方向与和该方向垂直的方向(横向横向)的线应变的线应变的绝对值之比为一常数，的绝对值之比为一常数，此比值称为横向变形因数或泊松比此比值称为横向变形因数或泊松比(Poissons ratio)：AFll D引进比例常数引进比例常数E，且注意到，且注意到 F = N，有，有 NllEAD 胡克定律胡克定律(Hookes law), 适用于拉适用于拉(压压)杆。杆。 式中：式中：E 称为弹性模量称为弹性模量(modulus of elasticity)，由实验测定，单位为，由实验测定，单位为Pa；EA 杆

26、的拉伸杆的拉伸(压缩压缩)刚度。刚度。胡克定律胡克定律( (Hookes law) ) 工程中常用材料制成的拉工程中常用材料制成的拉(压压)杆，当应力不超过材料的某一特征值杆，当应力不超过材料的某一特征值(“比例极限比例极限”)时，若两端受力时，若两端受力胡克定律的另一表达形式：胡克定律的另一表达形式： 1lNlE ADE 单轴应力状态下的胡克定律 低碳钢低碳钢(Q235)： GPa210GPa200Pa1010. 2Pa1000. 21111ENllEAD E E 2.横截面B, C及端面D的纵向位移与各段杆的纵向总变形是什么关系？思考：思考：等直杆受力如图，已知杆的横截面面积等直杆受力如图

27、，已知杆的横截面面积A和材料的弹性模量和材料的弹性模量E。 1.列出各段杆的纵向变形lAB，lBC，lCD以及整个杆纵向变形的表达式。 FFN 图F+-+EAlFlEAlFllBCCDAB) 3/( ) 3/(DDDEAlFllllBCCDAB) 3/(DDDD ) 3/( 0 ) 3/(EAlFllllllEAlFlCDBCABDBCABCABBDDDDDDD位移：位移：变形：变形：NllEAD 例题例题:求所示薄壁圆环其直径的改变量求所示薄壁圆环其直径的改变量d。已知。已知 ，GPa210E。MPa2 mm,5 mm,200pd 2. 如果在计算变形时忽略内压力的影响，则可认为 薄壁圆环沿

28、圆环切向的线应变(周向应变)与径向截面上的正应力 的关系符合单轴应力状态下的胡克定律，即 4-96109 . 1Pa10210Pa1040E40 MPa2Npdb 解：解：1. 前已求出圆环径向截面上的正应力前已求出圆环径向截面上的正应力此值小于钢的比例极限此值小于钢的比例极限(低碳钢低碳钢Q235的比例的比例极限极限sp200 MPa)。NN-4-51.9 100.2 m3.8 10m0.038 mmddD 从而有圆环直径的改变量(增大)为dddddddDD-)( 3. 圆环的周向应变与圆环直径的相对改变量d有如下关系： 例题 如图所示杆系，荷载 P = 100 kN，试求结点A的位移A。已

29、知： = 30 ，l = 2 m，d = 25 mm，杆的材料(钢)的弹性模量为E = 210 GPa。 由胡克定律得 12122cosN lN lPlllEAEAEAD D其中 24dA 1. 求杆的轴力及伸长122cosPNN12NN 解：结点A的位移A系由两杆的伸长变形引起，故需先求两杆的伸长。 12coscos -0NNP由结点 A 的平衡(如图)有 N1N22. 由杆的总变形求结点 A 的位移 根据杆系的布置、约束、杆的材料以及受力情况均与通过结点 A 的铅垂线对称可知，结点A只有竖向位移(如图)。亦即 221cos2coscosEAPlllADD 画杆系的变形图，确定结点A的位移

30、12coscosAAAAAAAA 由几何关系得)(1.293mmm10293. 130cos)m1025(4)Pa10210(2)m2)(N10100(322393A从而得 此杆系结点 A 的位移(displacement)是因杆件变形(deformation)所引起 ，但两者虽有联系又有区别。变形是指杆件几何尺寸的改变，是个标量；位移是指结点位置的移动，是个矢量，它除了与杆件的变形有关以外，还与各杆件所受约束有关。 作业：作业：2-132-13 应变能(strain energy)弹性体受力而变形时所积蓄的能量。 弹性变形时认为，积蓄在弹性体内的应变能V在数值上等于外力所作功W，V = W。

31、 应变能的单位为 J（1J=1Nm）。 拉杆(压杆)在线弹性范围内的应变能 或 211222NlN lVN lNEAEAD EAlFEAFlFlFV221212D外力F所作功： lFWD21WV 杆内应变能：lFVD21亦可写作 22 222222F lEAF lEAV( l )EAl( EA)lD2121DAllFVVvEv2222Ev 或 或 应变能密度 v单位体积内的应变能。 应变能密度的单位为 J/m3。22F lVEA解：解： 例题例题 求所示杆系的应变能，并按弹性体的功能原理(V=W )求结点A的位移A。 已知：P = 100 kN，杆长 l = 2 m，杆的直径 d = 25 m

32、m， = 30，材料的弹性模量E=210 GPa。求杆的轴力由结点 A 的平衡(如图)有 12NN 12coscos -0NNP122cosPNN N N1 1N N2 222N lVEA 结点A的位移)(mm293. 1m10293. 1N10100mN67.642233PVA21VPA由 知22132932()2cos22100 10 N() (2 m)2cos30(210 10 Pa)(25 10m) 464.67 N m64.67 JPlN lVEAEA 应变能作业：作业：2-152-15一、概念一、概念1 1、静定：结构或杆件的未知力个数等于有效静力方程的个数，、静定：结构或杆件的未

33、知力个数等于有效静力方程的个数， 利用静力平衡方程就可以求出所有的未知力利用静力平衡方程就可以求出所有的未知力静定问题静定问题 2 2、超静定：结构或杆件的未知力个数多于有效静力方程的个数，、超静定：结构或杆件的未知力个数多于有效静力方程的个数， 只利用静力方程不能求出所有的未知力只利用静力方程不能求出所有的未知力超静定问题超静定问题3 3、多余约束：在超静定系统中维持结构、多余约束：在超静定系统中维持结构 几何不变性所需要几何不变性所需要多余多余的杆或支座。的杆或支座。 ABC12PD3A1N2NP. 0, 0YXA1N2NP3N多余约束多余约束 超静定结构大多为在静定结构的基础上再加上一个

34、或若干个多余约束，这超静定结构大多为在静定结构的基础上再加上一个或若干个多余约束，这些约束对于特定的工程要求往往是必要的）些约束对于特定的工程要求往往是必要的）2-6 拉伸和压缩的超静定问题拉伸和压缩的超静定问题4 4、多余约束反力：多余约束对应的反力。、多余约束反力：多余约束对应的反力。= = 未知力个数未知力个数 平衡方程个数。平衡方程个数。二、二、超静定的求解超静定的求解步骤：步骤：2 2、根据变形协调条件列出变形协调方程。、根据变形协调条件列出变形协调方程。3 3、根据物理关系（胡克定律）写出补充方程。、根据物理关系（胡克定律）写出补充方程。4 4、联立静力方程与补充方程求出所有的未知

35、力。、联立静力方程与补充方程求出所有的未知力。1 1、根据平衡条件列平衡方程（确定超静定的次数）。、根据平衡条件列平衡方程（确定超静定的次数）。5 5、超静定的次数、超静定的次数b b、几何方程、几何方程变形协调方程：变形协调方程：c c、物理物理方程变形与受力关系方程变形与受力关系解：解：a a、平衡方程、平衡方程: :d d、联立方程联立方程(1)(1)、(2)(2)、(3)(3)可得可得: :120sinsin0(1)XNN1230coscos0(2)YNNNF13cosllDD 233111233311331133cos ;2cos2cosE A FE AFNNNE AE AE AE

36、A3 31 11133cos(3)N lN lE AE A补 充 方 程例例1 1：图示杆系结构，图示杆系结构，33221121,AEAEAEll，求：各杆的内力。，求：各杆的内力。N1A N2 2N3 3yxFABDC132F3A1A2lD2A1lD3lD超静定结构的特征：内力按照刚度分配能者多劳的分配原则13lL cosD D33111133cosN LN LE AE A补 充 方 程11313331cosE A LNNE A LABDC132F3A1A2lD2A1lD3lD例例9 9 木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为1=160M Pa和2=12MP

37、a，弹性模量分别为E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求许可载荷P。0421PNNY21LLDD2222211111LAELNAELNLDD几何方程物理方程及补充方程：解：平衡方程:PPy4N1N2PPy4N1N2 解平衡方程和补充方程，得:PNPN72. 0 ; 07. 021 11107. 0APN求结构的许可载荷：角钢面积由型钢表查得: A1=3.086cm222272. 0APN kN104272. 0/1225072. 0/2222AP kN4 .70507. 0/1606 .30807. 0/111AP111NA由角钢的强度条件：222NA由木材的强度条件：1110 8mm

38、ll/ E.D2221 2mmll/ E.D所以在所以在l l1 1= =l l2 2 的前提下，角钢将先达到极限状态，的前提下，角钢将先达到极限状态， 即角钢决定最大载荷。即角钢决定最大载荷。求结构的许可载荷： 07. 0 07. 0111ANPkN4 .70507. 06 .308160另外：若将钢的面积增大另外：若将钢的面积增大5倍，倍，结果结果会会怎样？怎样？ 若将木的面积变为若将木的面积变为25mm2，又又怎样？怎样？结构的最大载荷永远由钢控制着结构的最大载荷永远由钢控制着。方法2:111111maxlEElD由得即111NA三、温度应力、装配应力三、温度应力、装配应力1 1、温度应

39、力、温度应力：由温度改变引起杆变形而产生的应力（热应力）。由温度改变引起杆变形而产生的应力（热应力）。温度引起的变形量温度引起的变形量: :tLLDDa、静定问题无温度应力。、静定问题无温度应力。b、超静定问题存在温度应力。、超静定问题存在温度应力。 例例 已知两杆面积已知两杆面积A 、长度、长度L 、弹性模量、弹性模量E相同，相同，杆温度膨胀系数杆温度膨胀系数 .求：当求：当1杆温度升高杆温度升高 时，两杆的内力及约束反力。时，两杆的内力及约束反力。TDBC12aa3A1、平衡方程平衡方程: :120,30cMN aNa2 2、几何方程：、几何方程：解解：解除解除1 1杆约束，使其自由膨胀杆

40、约束，使其自由膨胀；AB横梁最终位置在横梁最终位置在AB 2N1NABCCRBC12aa3 AATlD AB2lD1lD123TlllaaDDD22,N llEAD3 3、物理、物理方程：方程：,1091TlEAND,1032TlEAND,56TlEARCD123N LN lTLEAEAaaD4 4、补充、补充方程：方程：120,0ycFRNN11,N llEAD TlTLD D2 2、装配应力、装配应力预应力、初应力：预应力、初应力：2 2、超静定问题存在装配应力。、超静定问题存在装配应力。1 1、静定问题无装配应力、静定问题无装配应力 由于构件制造尺寸产生的制造误差，在装配时产生变形而引由

41、于构件制造尺寸产生的制造误差，在装配时产生变形而引起的应力。起的应力。ABC12ABDC132 A解：解：a、平衡方程平衡方程:0sinsin021NNX0coscos0213NNNY例：已知：各杆长为例：已知：各杆长为 ： 、 ； A1=A2=A、 A3 ；E1=E2=E、E3。3杆的尺寸误差为杆的尺寸误差为 ，求，求:各各杆的装配内力。杆的装配内力。lll213l3N2N1N AA3A A2A2lD1A1lDABDC132 A3lDb、几何方程：、几何方程：13co sllD Dc、物理方程物理方程：3333311111,AELNlAELNlDDd、补充方程补充方程：11331133co

42、sN LNLE AEAd 、联立平衡方程和补充方程，得、联立平衡方程和补充方程，得: / cos21cos33113211321AEAEAElNN / cos21cos23311331133AEAEAElN作业：作业：2-192-19由于截面急剧变化引起应力局部增大现象由于截面急剧变化引起应力局部增大现象应力集中应力集中应力集中因数maxaveK max最大局部应力最大局部应力 ave 名义应力名义应力( (净截面上的平均应力）净截面上的平均应力）应力集中2-7 应力集中应力集中ave应力集中对构件强度的影响应力集中对构件强度的影响对于脆性材料构件对于脆性材料构件，当当 max b 时，构件断

43、裂时，构件断裂对于塑性材料构件，当对于塑性材料构件，当 max达到达到 s 后再增加载荷，后再增加载荷， 分布趋于均匀化，不影响构件静强度分布趋于均匀化，不影响构件静强度应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展，对构件（塑性与脆性应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展，对构件（塑性与脆性材料）的疲劳强度影响极大材料）的疲劳强度影响极大静载作用时：静载作用时：动载作用时：动载作用时： 图图a所示螺栓连接主要有两种可能所示螺栓连接主要有两种可能的破坏：的破坏： . 螺栓被剪断（参见图螺栓被剪断（参见图b和图和图c）；）；. 螺栓和钢板因在接触面上受压而发生螺栓和钢板因在接触面上受压而发生挤压破坏（螺栓被压扁，钢

44、板在螺栓孔处挤压破坏（螺栓被压扁，钢板在螺栓孔处被压皱）（图被压皱）（图d）；）； 实用计算法中便是针对这些可能的破坏作近似计算的。实用计算法中便是针对这些可能的破坏作近似计算的。2-8 剪切与挤压的实用计算剪切与挤压的实用计算一、一、 剪切的实用计算剪切的实用计算 在实用计算中，认为连接件的剪切面（图在实用计算中，认为连接件的剪切面（图b，c）上各点处切应力相等，）上各点处切应力相等，即剪切面上的即剪切面上的名义切应力名义切应力为为QA式中，式中，Q为剪切面上的剪力，为剪切面上的剪力， A为剪切面的面积。为剪切面的面积。 bQAn强度条件强度条件b: 是材料的剪切强度，由剪切实验确定是材料的剪切强度，由剪切实验确定 n 是大于是大于1的剪切安全系数的剪切安全系数 Q二、二、挤压的实用计算挤压的实用计算 在实用计算中，连接件与被连接件之间的挤压应力是按某些假定进行计算的。 对于螺栓连接和铆钉连接，挤压面是半个圆柱形面（图b），挤压面上挤压应力沿半