第三章 3.3.2 第2课时

1、第2课时线性规划的整数解和非线性规划问题学习目标1.了解实际线性规划中的整数解求法.2.会求一些简单的非线性规划的最优解.知识点一非线性约束条件思考类比探究二元一次不等式表示平面区域的方法，画出约束条件(xa)2(yb)2r2的可行域.答案梳理非线性约束条件的概念：约束条件不是二元一次不等式，这样的约束条件称为非线性约束条件.知识点二非线性目标函数思考在问题“若x，y满足求z的最大值”中，你能仿照目标函数zaxby的几何意义来解释z的几何意义吗？答案z的几何意义是点(x，y)与点(1,1)连线的斜率.梳理下表是一些常见的非线性目标函数.目标函数目标函数变形几何意义最优解求法zaxby (ab0

2、)yx在y轴上的截距是平移直线yx，使在y轴上的截距最大(或最小)(xa)2(yb)2令m(xa)2(yb)2，则目标函数为()2点(x，y)与点(a，b)距离的平方改变圆(xa)2(yb)2r2的半径，寻求可行域最先(或最后)与圆的交点点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率绕定点(a，b)旋转直线，寻求与可行域最先(或最后)相交时的直线的斜率1.可行域内的整点指横坐标、纵坐标均为整数的点.()2.目标函数zx2y2的几何意义为点(x，y)到点(0,0)的距离.()3.目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距.()类型一生活实际中的线性规划问题例1某工厂制造甲

3、、乙两种家电产品，其中每件甲种家电需要在电器方面加工6小时，装配加工1小时，每件甲种家电的利润为200元；每件乙种家电需要在外壳配件方面加工5小时，在电器方面加工2小时，装配加工1小时，每件乙种家电的利润为100元.已知该工厂可用于外壳配件方面加工的能力为每天15小时，可用于电器方面加工的能力为每天24小时，可用于装配加工的能力为每天5小时.问该工厂每天制造两种家电各几件，可使获取的利润最大？(每天制造的家电件数为整数)考点线性规划中的整点问题题点线性规划中的整点问题解设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x件，y件，获取的利润为z百元，则z2xy(百元)，即作出可行域，如图阴影部分中的整点，由

4、图可得O(0,0)，A(0,3)，B(2,3)，C，D(4,0).平移直线y2xz，又x，yN，所以当直线过点(3,2)或(4,0)时，z有最大值.所以工厂每天制造甲种家电3件，乙种家电2件或仅制造甲种家电4件，可获利最大.反思与感悟在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用列举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解.最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析.跟踪训练1预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问

5、桌子、椅子各买多少才是最好的选择？考点线性规划中的整点问题题点线性规划中的整点问题解设桌子、椅子分别买x张，y把，目标函数zxy，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为由解得所以A点的坐标为.由解得所以B点坐标为.所以满足条件的可行域是以A，B，O为顶点的三角形区域(含边界)(如图)，由图形可知，目标函数zxy在可行域内经过点B时取得最大值，但注意到xN，yN，故取故买桌子25张，椅子37把是最好的选择.类型二非线性目标函数的最值问题例2已知实数x，y满足约束条件试求z的最大值和最小值.考点非线性目标函数的最值问题题点求斜率型目标函数的最值解作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)

6、所示，由于z，故z的几何意义是点(x，y)与点M(1，1)连线的斜率，因此的最值是点(x，y)与点M(1，1)连线的斜率的最值，由图可知，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，又B(0,2)，C(1,0)，zmaxkMB3，zminkMC.z的最大值为3，最小值为.引申探究1.把目标函数改为z，求z的取值范围.解z，其中k的几何意义为点(x，y)与点N连线的斜率.由图易知，kNCkkNB，即k，k7，z的取值范围是.2.把目标函数改为z，求z的取值范围.解z2.设k，仿例2解得k1.z.反思与感悟对于形如的目标函数，可变形为定点到可行域上的动点连线斜率问题.跟踪训练2实数x，y满足则z的取值

7、范围是()A.1,0 B.(，0C.1，) D.1,1)考点题点答案D解析作出可行域阴影部分，如图所示，的几何意义是点(x，y)与点(0,1)连线l的斜率，当直线l过B(1,0)时kl最小，最小为1.又直线l不能与直线xy0平行，kl1.综上，k1,1).例3已知x，y满足约束条件试求zx2y2的最大值和最小值.考点非线性目标函数的最值问题题点求距离型目标函数的最值解zx2y2表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形(例2图)知，原点到点A的距离最大，原点到直线BC的距离最小.故zmax|OA|213，zmin22.反思与感悟当两点间的距离、点到直线的距离与可行域相结合求最值时，注意数形结

8、合思想方法的灵活运用.跟踪训练3变量x，y满足约束条件(1)设z，求z的最小值；(2)设zx2y2，求z的取值范围；(3)设zx2y26x4y13，求z的取值范围.考点非线性目标函数的最值问题题点求距离型目标函数的最值解由约束条件作出可行域如图阴影部分(含边界)所示.由解得A；由解得C(1,1)；由解得B(5,2).(1)因为z，所以z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.观察图形可知zminkOB.(2)zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC|，dmax|OB|，即2z29.(3)zx2y26x4y13(x3)2(y

9、2)2的几何意义是可行域上的点到点(3,2)的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到点(3,2)的距离中，dmin1(3)4，dmax5(3)8.所以16z64.1.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有()A.5种 B.6种 C.7种 D.8种考点线性规划中的整点问题题点线性规划中的整点问题答案C解析设购买软件x片，磁盘y盒，则画出线性约束条件表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示.落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，

10、(5,2)，(6,2)共7个整点.即有7种选购方式.2.已知点P(x，y)的坐标满足约束条件则x2y2的最大值为()A. B.8 C.16 D.10考点非线性目标函数的最值问题题点求距离型目标函数的最值答案D解析画出不等式组对应的可行域如图(阴影部分含边界)所示，易得A(1,1)，|OA|，B(2,2)，|OB|2，C(1,3)，|OC|.(x2y2)max|OC|2()210.3.若x，y满足约束条件则z的最大值是_.考点非线性目标函数的最值问题题点求斜率型目标函数的最值答案3解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界).z可看作可行域上的点(x，y)与定点B(1,1)连线的

11、斜率.由图可知z的最大值为kAB3.4.已知实数x，y满足约束条件则zx2y2的最小值为_.考点非线性目标函数的最值问题题点求距离型目标函数的最值答案解析实数x，y满足的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方，故zmin2.1.画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范.2.在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，应结合可行域与目标函数微调.3.对于非线性目标函数，应准确翻译其几何意义，如x2y2是点(x，y)到点(0,0)的距离的平方，而非距离.一、选择题1.在“家电下

12、乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为()A.2 000元 B.2 200元C.2 400元 D.2 800元考点线性规划中的整点问题题点线性规划中的整点问题答案B解析设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件求线性目标函数z400x300y的最小值，可行域如图阴影部分(含边界)所示，解得当时，z有最小值，且zmin2 200(元).2.已知O是坐标原点，点A(1,1)

13、，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则的取值范围是()A.1,0 B.0,1C.0,2 D.1,2考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最优解答案C解析作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示，因为xy.所以设zxy，作l0：xy0，易知过点P(1,1)时，z有最小值，zmin110；过点Q(0,2)时，z有最大值，zmax022，所以的取值范围是0,2.3.某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在

14、这两个项目上共可获得的最大利润为()A.36万元 B.31.2万元C.30.4万元 D.24万元考点线性目标函数的最值问题题点求线性目标函数的最值答案B解析设投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，可获得利润z万元，则z0.4x0.6y.可行域如图阴影部分(含边界)所示，由图象知，目标函数z0.4x0.6y在A点取得最大值.由得A(24,36)，zmax0.4240.63631.2(万元).4.设x，y满足约束条件则的最大值是()A.5 B.6 C.8 D.10考点非线性目标函数的最值问题题点求斜率型目标函数的最值答案D解析画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，的几何意义是点M(1，1)与可行域内

15、的点P(x，y)连线的斜率，当点P移动到点N(0,4)时，斜率最大，最大值为5，max2510.故选D.5.设zxy，其中实数x，y满足若z的最大值为6，则z的最小值为()A.3 B.2 C.1 D.0考点线性规划中的参数问题题点线性规划中的参数问题答案A解析作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，由zxy，得yxz，由图可知当直线yxz经过点A时，直线yxz在y轴上的截距最大，此时z最大为6，由得即点A(k，k)，zkk6，得k3.当直线yxz经过点B时，z取得最小值，由解得即点B(6,3)，此时z的最小值为633.6.设实数x，y满足则z的取值范围是()A. B.C. D.考点非线性

16、目标函数的最值问题题点求非线性目标函数最值问题综合答案D解析令k，则ykx(因为x0，所以k存在)，直线ykx恒过原点，不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，当直线ykx过点A(1,2)时，斜率有最大值2；当直线ykx过点B(3,1)时，斜率有最小值，所以斜率k的取值范围为，又zk，当k时，zk为减函数；当k1,2时，zk为增函数，可得z的取值范围为，故选D.7.若满足条件的整点(x，y)(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a的值为()A.3 B.2C.1 D.0考点线性规划中的整点问题题点线性规划中的整点问题答案C解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所

17、示，当a0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0).当a1时，正好增加(1，1)，(0，1)，(1，1)，(2，1)，(3，1)，5个整点.再加上a0时的四个整点，共9个整点，故选C.二、填空题8.某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件则z10x10y的最大值是_.考点线性规划中的整点问题题点线性规划中的整点问题答案90解析先画出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由解得但xN*，yN*，结合图知当x5，y4时，zmax90.9.实数x，y满足不等式组则的取值范围是_.考点非线性目标函数的最值问题题点求斜率型目标函数的最值答案解析如图，画出

18、满足不等式组的解(x，y)构成的可行域ABO，求得B(2,2)，根据目标函数的几何意义是可行域上一点(x，y)与点(1,1)连线的斜率，可求得目标函数的最小值为1，最大值为.故的取值范围是.10.已知则x2y2的最小值是_.考点非线性目标函数的最值问题题点求距离型目标函数的最值答案5解析令zx2y2，画出可行域，如图阴影部分(含边界)所示，令d，即可行域中的点到原点的距离，由图得dmin，zmind25.三、解答题11.某超市要将甲、乙两种大小不同的袋装大米分装成A，B两种规格的小袋，每袋大米可同时分得A，B两种规格的小袋大米的袋数如表所示：规格类型袋装大米类型AB甲21乙13已知库房中现有甲

19、、乙两种袋装大米的数量分别为5袋和10袋，市场急需A，B两种规格的成品数分别为15袋和27袋.问分甲、乙两种袋装大米各多少袋可得到所需A，B两种规格的成品数，且使所用的甲、乙两种袋装大米的袋数最少？(要求画出可行域)考点线性规划中的整点问题题点线性规划中的整点问题解设需分甲、乙两种袋装大米的袋数分别为x，y，所用的袋装大米的总袋数为z，则zxy(x，y为整数)，作出可行域D如图阴影部分(含边界)所示.从图中可知，可行域D的所有整数点为(3,9)，(3,10)，(4,8)，(4,9)，(4,10)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，共8个点.因为目标函数为zxy(x，y为整数)，所以在一组平

20、行直线xyt(t为参数)中，过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是xy12，其经过的整点是(3,9)和(4,8)，它们都是最优解.所以，需分甲、乙两种袋装大米的袋数分别为3,9或4,8可使所用的袋装大米的袋数最少.12.设非负实数x，y满足(2,1)是目标函数zax3y(a0)取最大值时的最优解，求a的取值范围.考点线性规划中的参数问题题点线性规划中的参数问题解作出不等式组所表示的平面区域(阴影部分含边界)，由zax3y(a0)，得yx，因为当直线zax3y(a0)过P(2,1)时，z取最大值，所以由图可知2，所以a6，所以a的取值范围是6，).13.已知求：(1)zx2y210y25的最小值；(2)z的取值范围