第二章十四节高斯曲率的计算公式

1、第二章 曲面论高斯曲率的计算公式高斯定理 。注意， 。所以，利用行列式的转置性质和矩阵乘法性质，得，（其中用到行列式按第三行展开计算的性质。）利用 ，可得， 。由于，所以，于是得到公式被称为高斯定理，且被誉为高斯绝妙定理。将上式中的行列式按第三列展开，并化简，可得，高斯绝妙定理断言一个曲面的高斯曲率可以只用第一类基本量及其导数表示，从而 事实上是曲面的一个内蕴不变量。高斯曲率用第一类基本量明确的表达式由 Brioschi 公式给出。存在等距对应的两曲面，曲面上对应点处的高斯曲率必相等。球面片与平面片之间不存在等距对应。， 。特别地，当曲面：上的坐标曲线网是正交网时，此时 ，即得，经过观察，通过

2、凑微分，得到 ，故有，（验算这个量的散度的动因，是用测地曲率的刘维尔公式，推导高斯-波涅公式时，出现求散度的运算，导致两者的表达方式是一致的。）。，。如果曲面在参数坐标网下的第一基本形式为，则称此坐标网为等温参数网。，其中是关于变量的Laplace算子. 于是在曲面上取等温参数网时，其中. 此时。例 求第一基本形式为的曲面高斯曲率 。 解 因为 ，所以。半测地坐标网下，高斯曲率的计算公式在类曲面：上选一条测地线为-曲线：；再取与正交的测地线族为-曲线，另取这测地线族的正交轨线为-曲线，则得一半测地坐标网。对于这个半测地坐标网而言，曲面的第一基本形式 可以简化为，其中满足条件 。在曲面上选取了半

3、测地坐标网后，曲面的高斯曲率有如下的计算公式 。常高斯曲率的曲面现在设曲面的高斯曲率是常数，即常数，则得微分方程 。根据初始条件：，我们可按以下不同情形求出这个微分方程的解。（1） 正常数高斯曲率的曲面，此时 。根据初始条件，可得，于是，。实例：考虑球心在原点，半径为的球面。 取赤道为最初给定的测地线，则所有经线是与赤道正交的测地线，所有纬线是这测地线族的正交轨线，因此球面上的经线和纬线构成半测地坐标网。设球面上点的经度为，纬度为，则球面的参数表示是。，。在球面上重新选择参数，命于是，高斯曲率 ，因此得到，所以正常数高斯曲率的曲面的第一基本形式与球面的相同。正常数高斯曲率的曲面与同高斯曲率的球

4、面之间存在着保距变换。（2），从而有，因此，所以零高斯曲率的曲面的第一基本形式与平面的相同。（3）负常数高斯曲率的曲面，此时 。根据初始条件，可得，于是，。由此可知, 具有相同常数高斯曲率的曲面都可适当选取参数, 使曲面具有相同的第一基本形式, 因此可建立等距对应.由上述定理知道, 具有常数高斯曲率的曲面(这种曲面称为常曲率曲面)可按K >0;K = 0;K < 0 分成三种类型. 而属于同一类型的曲面它们的内在几何是相同的. 平面作为高斯曲率为零的代表; 球面作为高斯曲率为正常数的代表. 换句话说, 高斯曲率为零的曲面都可以与平面建立等距对应, 高斯曲率为正常数的曲面都可以与球面

5、建立等距对应. 那么自然会问什么曲面可以作为高斯曲率为负常数的代表? 设, 我们可以在旋转曲面中找出这个代表.设旋转曲面的待定母线为平面中的曲线. 把它绕z 轴旋转后形成了旋转面，；代入旋转曲面的高斯曲率公式得其高斯曲率为为了使这个曲面的高斯曲率所以待定函数就必须满足下列方程:，将其改写成，两边积分后得到取积分常数, 于是可解出，由此得出， ，令，则，于是 。因此，以母线绕z -轴旋转后所得的旋转曲面的高斯曲率正好等于负常数。我们把母线(4.4)称为曳物线. 而把曳物线绕z-轴旋转后所得的曲面称为伪球面.由著名的高斯定理, 曲面的高斯曲率K被其第一基本形式完全确定. 因此, 若两个曲面可建立等

6、距对应, 则对应点的高斯曲率必相等. 但反之则不然.【例】证明: 曲面 ，（正螺面），(旋转曲面)在点与处的高斯曲率相等, 但曲面S 与不存在等距对应.【证明】容易算出正螺面与旋转曲面的第一基本形式分别为，再利用正交网时高斯曲率的计算公式(即高斯方程)经过计算得出曲面S 和的高斯曲率分别为， 。因此取对应点，便成立。但是曲面S 与不存在等距对应.我们用反证法. 若曲面S 与之间存在等距对应,它的对应关系为则对应点的高斯曲率必相等, 所以得出 ，即，或 ；(1) 若则或。因此对应关系为这时的第一基本形式，因为是等距对应, 故，比较得出由其中第二式得出或, 再由第一式或第三式得出或，这显然不可能成

7、立. 因此这种情况不可能.(2) 若 ，则。这显然不可能成立. 因此曲面S 与之间不能存在等距对应.尽管在对应点具有相同高斯曲率的曲面不能建立等距对应, 但是对高斯曲率为常数的曲面, 若在对应点具有相同高斯曲率是必可建立等距对应的.定理4.1 (Minding定理)具有相同常数高斯曲率的曲面总可建立局部等距对应.证明 设曲面S 的高斯曲率K是常数,。在S 上取任意点P 和过P 点的任意测地线,把作为-曲线；且从P 点起的弧长为v .再取与正交的测地线族为-曲线，另取这测地线族的正交轨线为-曲线，则得一半测地坐标网。对于这个半测地坐标网而言，（注意, 这时的曲线也是测地线）。因此曲面的第一基本形式 可以简化为，根据假设v 是的弧长, 所以，于是 (4: