第一节 导数的概念与计算

1、第一章导数及其应用第一节 导数的概念与计算1.平均变化率概念若设,(这里看作是对于的一个“增量”可用代替,同样)则平均变化率为思考: 观察函数的图象平均变化率表示什么?例1求在附近的平均变化率.解: 所以所以在附近的平均变化率为2.导数的概念从函数在处的瞬时变化率是:我们称它为函数在出的导数,记作或即说明:(1)导数即为函数在处的瞬时变化率; (2),当时,所以.例2 求函数在附近的平均变化率,并求出该点处的导数.分析: 先求,再求,最后求.解: 训练1求在点x=1处的导数.3.导数的几何意义函数在处的导数等于在该点处的切线的斜率,即说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出点的坐标;求

2、出函数在点处的变化率得到曲线在点的切线的斜率;利用点斜式求切线方程.说明：上述求导方法也是用定义求运动物体在时刻处的瞬时速度的步骤例3求曲线在点处的切线方程.解: 所以,所求切线的斜率为因此,所求的切线方程为即训练1求曲线在点处的切线方程.2.求曲线在点处的切线.3.求曲线在点处的切线.求函数在点处的切线方程.4. 基本初等函数的导数公式表函数导数推论：提示：积法则,商法则,都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号.例4求下列函数的导数：1；2；3分析：根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式，将题中函数的结构施行调整函数和的形式，这样，在形式上它们都满足幂函数的结

3、构特征，可直接应用幂函数的导数公式求导解：123例根据基本初等函数的导数公式，求下列函数的导数（1）与（2）与5. 导数的运算法则，比较积法则与商法则的相同点与不同点导数运算法则123例5根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数（1）（2）（3）；（4）（5）（6）（7）例6求下列函数的导数1；2；3；4。分析：选择中间变量是复合函数求导的关键必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数求导数后，要

4、把中间变量转换成自变量的函数解：1解法一：设，则解法二：2解法一：设，则解法二：3解法一：设，则解法二：4解法一：设，则解法二：例7求曲线的斜率等于4的切线方程分析：导数反映了函数在某点处的变化率，它的几何意义就是相应曲线在该点处切线的斜率，由于切线的斜率已知，只要确定切点的坐标，先利用导数求出切点的横坐标，再根据切点在曲线上确定切点的纵坐标，从而可求出切线方程解：设切点为，则，即，当时，故切点P的坐标为（1，1）所求切线方程为即例8求过曲线上点且与过这点的切线垂直的直线方程分析：要求与切线垂直的直线方程，关键是确定切线的斜率，从已知条件分析，求切线的斜率是可行的途径，可先通过求导确定曲线在点P处切线的斜率，再根据点斜式求出与切线垂直的直线方程解：，曲线在点处的切线斜率是过点P且与切线垂直的直线的斜率为，所求的直线方程为，即【课后练习】1已知函数在处的导数为3，则的解析式可能为：A B C D2函数的图像与直线相切，则A B C D 1 3.曲线在点（0,1）处的切线方程为-4.在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线在点P处的切线的斜率为2，则P点的坐标为-5.已知函数的图像过点P（0,2），且在点处的切线方程为，求函数的解析式。6求下列函数的导数1；2；3；4。7求