2025年内蒙古中考数学试卷（附答案）

2025年内蒙古中考数学试卷

一、选择题（共8小题.每小题3分，共24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1.（3分）（2025•内蒙古）我国是历史上最早认识和使用负数的国家.若盈利100元记作+100元,则亏损

200元应记作（）

A.+200元B.-200元C.+10（）元D.-10（）元

2.（3分）（2025•内蒙古）下列汽车电了控制装置显示的图案中，是中心对称图形的为（）

J©BcfeD.

3.（3分）（2025•内蒙古）不等式组E220的解集在数轴上表示正确的是（）

A.-1012345

--------------------1----------1---------1---------------------1--------1―►

B.-1012345

——।--------1------------------------1----------------------1---------1>

C.-1012345

—।--------1-------------------------1---------------------1---------1_>

D.-10I2345

4.（3分）（2025•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，△O/B的顶点坐标分别是O（0,0）,A（2,1）,

B（1,2）,以原点O为位似中心，在第三象限画△O©方与△048位似，若9与△。力8的相似比为

2：1.则点力的对应点©的坐标为（）

5.（3分）（2025•内蒙古）如图，44C。是一个矩形草坪.对角线4C、4。相交于点O,，是4C边的中点,

连接且OH=20，〃,40=30〃?，则该草坪的面积为（)

第1页（共27页）

B.1800/H2C.1200W2D.600W2

6.（3分）（2025•内蒙古）如图，直线44||C。，点、E,尸分别在直线力&C。上，连接七户，以点E为圆心，

适当长为半径画弧.交射线£4于点交EF于点、N.再分别以点M,N为圆心.大于JMN的长为半

径画弧（两弧半径相等），两弧在乙4£尸的内部相交于点H,画射线E”交CO于点G,若乙4EE=80。,

7.（3分）（2025•内蒙古）在闭合电路中，通过定值电阻的电流/（单位：A）是它两端的电压U（单位:

K）的正比例函数，其图象如图所示.当该电阻两端的电压为15P时，通过它的电流为（）

3

（分）（•内蒙古）已知点力（加，刈），B（及）都在反比例函数一—的图象上，则下列结

8.32025w+1,y=X

论一定正确的是（）

A.月>力B.y\<y2

C.当m<0时，y\<y2D.当〃7V・1时，月〈也

二、填空题（共4小题.每小题3分，共12分）

9.（3分）（2025•内蒙古）在单词c/4ss（班级）中随机选择一个字母，则选中字母“s”的概率

是.

10.（3分）（2025•内蒙占）冰糖葫芦是我国传统小吃.若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每

根穿3个山楂，则穿〃，根人串和〃根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示

第2页（共27页）

为________________

11,（3分）（2025•内蒙古）如图.因地形原因，湖泊两端43的距离不易测量，某科技小组需要用无人

机进行测量，他们将无人机上升并飞行至距湖面90,H的点C处，从C点测得A点的俯角为60。，测得B

点的俯角为30。（力，8,C三点在同一竖直平面内）,则湖泊两端4,4的距离为

（结果保留根号）.

12.（3分）（2025•内蒙古）如图，在菱形48C。中，48=4押，对角线8。的长为16,£是4。的中点，F

是8。上一点，连接EA若BF=3,则的长为.

13.（10分）（2025•内蒙古）计算:

L1

⑴|-5|+）/4+（-6）X-；

%2-1%

⑵x'N+2%+1

14.（7分）（2025•内蒙古）每年的6月6日是全国爱眼日.某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该

年级学生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为5组，

得到如下的频数分布表：

第3页（共27页）

分组ABCDE

1.0<¥<4,24.24V4.54.5<r<4.84.8<x<5.15.1Sv<5.3

人数（频数）2814124

请根据所给信息，解答卜.列问题：

（1）这40名学生视力的中位数落在哪个组内？

（2）该校八年级共有500名学生.

①根据如表数据，请估计这500名八年级学生的视力在4.8905.3范围内的人数；

②从去年同期这500名学生的体检结果中可知，视力在4.8球5.3范围内的人数为263人.如果你是该

校的一名学生，请说明这500名学生今年和去年视力在4.8g5.3范围内的人数变化情况，并为学校提

•条保护学生视力的合理化建议.

15.（10分）（2025•内蒙古）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一.某品牌苹果采摘机器人

的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作.在正常工作状态下,

该机器人的每一个机械手平均〃秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用

600秒采摘苹果的个数多25个.

（I）求。的值;

（2）现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成.每个机器人搭载4个相同的

机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个？

第4页（共27页）

16.(12分)(2025•内蒙古)如图，49是。。的直径，半径OCL18.垂足为O,。。=2,P是84延长线

上一点，连接CP，交。。于点。，连接4。，乙08=60。.过点P作。。的切线，切点为E.交CO的

延长线于点?

(1)求6的长；

(2)求/力的度数；

(3)求cos/OQ的值.

第5页(共27页)

17.（12分）（2025•内蒙古）问题背景:

综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图1所示.

图1图2

外形参数：

如图2,装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线匕，中间的矩形力8c。和下方的抛物线上

组成.抛物线人的高度为8cm,矩形"CO的边力4=8s〃，BC=6cm,抛物线"的高度为4c〃?.在装

置内部安装矩形电子显示屏EFG”,点区/在抛物线“上，点〃，G在抛物线匕上.

问题解决：

如图3,该小组以矩形的顶点力为原点，以O边所在的直线为x轴，以月。边所在的直线为y

轴，建立平面直角坐标系.请结合外形参数，完成以下任务：

（1）直接写出&C,O三点的坐标；

（2）直接写出抛物线匕和上的顶点坐标，并分别求出抛物线匕和上的函数表达式；

（3）为满足矩形电子显示屏EFGH的空间要求，需要边的长为15。〃，求此时加•边的长.

第6页（共27页）

第7页（共27页）

18.（13分）（2025•内蒙古）如图，力8CQ是一个平行四边形纸片，8。是一条对角线，BD=BC=5,CD=

6.

（1）如图1,将平行四边形纸片/4CO沿8。折叠，点力的对应点落在点。处，PB交CD于点M.

①试猜想PM与CM的数量关系，并说明理由；

②求的面积；

（2）如图2,点E,产分别在平行四边形纸片力8c。的48,力。边上，连接ER且EFII8D，将平行四

边形纸片48CQ沿用'折叠，使点4的对应点G落在C。边上，求QG的长.

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2025年内蒙古中考数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号12345678

答案B.BCBCDAD

一、选择题（共8小题.每小题3分，共24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1.（3分）（2025•内蒙古）我国是历史上最早认识和使用负数的国家.若盈利100元记作+100元，则亏损

200元应记作（）

A.+200元B.・200元C.+100元D.・100元

【考点】正数和负数.

【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.

【解答】解：“正”和“负”相对,所以,若盈利100元记作+100元，则亏损200元应记作-200元.

故选：B.

【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解"正''和"负”的相对性，明确什么是一对具有相

反意义的量.

2.（3分）（2025•内蒙古）下列汽车电子控制装置显示的图案中，是中心对称图形的为（）

【考点】中心对称图形.

【分析】根据中心对称图形的定义：“绕某一点旋转180。，旋转后的图形能与原图形重合，那么这个图

形是中心对称图形，”进行判断即可.

【解答】解：是中心对称图形的为选项4中的图案.

故选：B.

【点评】本题考查中心对称图形的定义，熟练掌握该知识点是关键.

3.（3分）（2025•内蒙古）不等式组｛：工；‘°的解集在数轴上表示正确的是（）

-----------1------«------1---------------1-----1—►

A.-1012345

第10页（共27页）

----1------1------1。1-------L

B.-1012345

----1----1♦】。।---L.

C.-1012345

11,1I।4

D.-1012345

【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集.

【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解

了确定不等式组的解集，继而结合数轴可得答案.

【解答】解：由x-IK）得：於I，

又x<3,

所以不等式组的解集为1夕<3,

故选：C.

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大：同

小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

4.（3分）（2025•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，△0/4的顶点坐标分别是。（0,0）,A（2,1）,

B（1,2）,以原点O为位似中心，在第三象限画△（）/夕与△048位似，若与力5的相似比为

2：1.则点力的对应点H的坐标为（）

【考点】位似变换；坐标与图形性质.

【分析】根据位似的性质可得答案.

【解答】解：•••以原点。为位似中心，在第三象限画与△048位似，AO/斤与△048的相似比

为2：1,

・♦点A（2,1）的对应点H的生标为（・2x2,-2x1）,即（・4,-2）.

第11页（共27页）

故选：B.

【点评】本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键.

5.（3分）（2025•内蒙古）如图，48CQ是一个矩形草坪.对角线4C、8。相交于点O,，是边的中点,

连接OH,且OH=20力。=30〃?，则该草坪的面积为（）

1800/H2C.1200/H2D.600w2

【考点】三角形中位线定理；矩形的性质.

【分析】根据矩形的性质得到根据三角形中位线定理求出48,再根据矩形的面积公式计算,

得到答案.

【解答】解：•••四边形4ACD为矩形,

：CO=OA,

・•77是8c边的中点,

.•・0〃是△48C的中位线,

••・48=2O"=2x20=40(〃/)，

•••该草坪的面积为：40x30=1200（〃?2）,

故选：C.

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、矩形的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的

关键.

6.（3分）（2025•内蒙古）如图，直线力和C。，点f,产分别在直线48,CO上，连接ER以点E为圆心,

适当长为半径画弧.交射线£4于点忆交EF于点、N.再分别以点M,N为圆心.大于;的长为半

径画弧（两弧半径相等），两弧在ZAE尸的内部相交于点“，画射线£7/交CO于点G,若乙佐尸=80。,

A.100°B.80。C.50°D.40°

【考点】平行线的性质.

第12页（共27页）

【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质求解.

【解答】解：由作图得：EG平分乙4EF,41E〃=8O。,

1

'.Z-AEG=-Z^1EF=40°,

乙

•.•4811c。，

；•乙EGF=^AEG=4。。,

故选：。.

【点评】本题考查了基本作图，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键.

7.（3分）（2025•内蒙古）在闭合电路中，通过定值电阻的电流/（单位：A）是它两端的电压U（单位:

r）的正比例函数，其图象如图所示.当该电阻两端的电压为15P时，通过它的电流为（）

A.\2AB.8JC.6AD.4A

【考点】正比例函数的图象.

【分析】利用待定系数法求出电流/关于电压U的函数关系式，将U=15P代入函数关系式解出即

可.

【解答】解：设J=kU,

•••当U=5P时，I=4A,

•••4=5左，

4

•以=三。,

当U=I5P时，/=»x15=12（4）.

故选：A.

【点评】本题考查正比例函数的图象，正确记忆相关知识点是解题关键.

3

8.（3分）（2025•内蒙古）已知点力（〃?，刈），B（川+1,），2）都在反比例函数歹=一1的图象上，则下列结

论一定正确的是（）

第13页（共27页）

A.y\>y2B.y\<y2

C.当机<0时，D.当时，为〈歹2

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可.

【解答】解：•••反比例函数常量k=-3<o,

・••反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内），随x的增大而增大，

4、若两点在同一分支上，小〈川+1,故刈〈及，原说法错误，不符合题意；

B、若两点不在同一分支上，加Vm+1,故力>），2,原说法错误，不符合题意；

C、当〃?<0时・，无法确定B（帆+1,龙）所在象限，原说法错误，不符合题意；

D、当〃?V-1时，两点都在第二象限，为〈乃，原说法正确，符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键.

二、填空题（共4小题.每小题3分，共12分）

2

9.（3分）（2025•内蒙古）在单词c/ass（班级）中随机选择一个字母，则选中字母'”的概率是_三_.

【考点】概率公式.

【分析】在单词“4SS（班级）中随机选择一个字母共有5种等可能结果，其中选中字母“s”的有2种结

果，再根据概率公式求解即可.

【解答】解：在单词Hass（班级）中随机选择一个字母共有5种等可能结果，其中选中字母“s”的有2

种结果，

2

所以选中字母"s”的概率是（

2

故答案为：T.

【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件力的概率。（力）=事件力可能出现的结

果数：所有可能出现的结果数.

10.（3分）（2025•内蒙古）冰糖葫芦是我国传统小吃.若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每

根穿3个山楂，则穿m根大串和〃根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为（5m+3〃）

第14页（共27页）

【考点】列代数式.

【分析】分别用〃?、〃表示出大串冰糖葫芦和小串冰糖葫芦山楂的数量，再相加即可.

【解答】解：需要的山楂总个数为：（5〃什3〃）个，

故答案为:（5小+3〃）个.

【点评】本题考查了列代数式，解题的关键是根据数量关系来列代数式.

11.（3分）（2025•内蒙古）如图，因地形原因，湖泊两端48的距离不易测量，某科技小组需要用无人

机进行测量，他们将无人机上升并飞行至距湖面90m的点C处，从。点测得4点的俯角为60。，测得8

点的俯角为30。（A,B,C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端4B的距离为120招团（结果保

留根号）.

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【分析】过点。作CDU8,垂足为。，根据题意可得：EFWAB,从而可得乙/。=/。8=60。，Z-ECB

=^CBA=30°,然后分别在Rt△月CD和RtZ^CO中，利用锐角三角函数的定义求出/。和8。的长，

最后进行计算即可解答.

【解答】解：如图：过点。作CDL48,垂足为。，

由题意得:EFWAB,

：.Z.FCA=£.CAB=60°,Z-ECB=Z.CBA=30<>,

第15页（共27页）

在RtAJCO中，CD=90m,

CD90「

•-AD=~="^=3O\'3（；//）,

tan60°、3'

CD22.「

在RtZ\4C。中，BD=~~―=^=90\'3（w）,

tan30°y'

•••AB=AD+BD=12坪（w）,

•••湖泊两端46的距离为120V今〃，

故答案为：12仇区

【点评】本题考查了解直角三侑形的应用-仰角俯先问题，根据题FI的已知条件并结合图形添加适当的

辅助线是解题的关键.

12.（3分）（2025•内蒙古）如图，在菱形中，力〃=4病，对角线〃。的长为16,E是力。的中点，F

是BD上一点、,连接EF.若即=3,则七尸的长为的_.

【考点】菱形的性质.

【分析】由菱形的性质可得力ULA。，AO=CO,50=00=8,4B=4D=4后由勾股定理可求力。的

11

长，通过证明△EGQsZkZOQ,可求EG=54O=2，DG=;DO=4,由勾股定理可求解.

【解答】解：如图，连接力C交4。于。，过点E作EG_L4D于G,

•••四边形/4c。是菱形，对角线4。的长为16,

••.AC工BD,AO=CO,BO=DO=8,AB=AD=4^,

:，AO—\AD^—OD2=,80—64=4,

•••E是］。的中点,

：.AD=2DE,

•:EGLBD,

：.EG\\AC,

••.△EG。-△力o。，

EGDGDE1

二布二防"而二5'

第16页（共27页）

11

：.EG=;A0=2,DG=~DO=4,

乙乙

•:BF=3,

:・FG=BD-GD-BF=9,

：.EF=\EG2+FG2=v'81+4=｛丽,

故答案为：＜85.

【点评】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造相似三角

形是解题的关键.

三、解答题（共6小题，共64分）

13.（10分）（2025•内蒙古）计算：

（1）|-5|+祖+（-6）xi

X2—1____士____

（2）X,%2+2x4-1-

【考点】分式的乘除法；实数的运算.

【分析】（1）根据绝对值、算术平方根以及有理数的乘法的计算方法进行计算即可:

（2）根据分式乘除法的计算方法进行计算即可..

【解答】解:（1）原式=5+2-2=5；

(x+X

（2）原式=；*Q+I)2

X—1

x+1

【点评】本题考查有理数的运算，分式的乘除法，掌握有理数混合运算的方法以及分式乘除法的计算方

法是正确解答的关键.

14.（7分）（2025•内蒙古）每年的6月6日是全国爱眼日.某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该

年级学生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为5组，

得到如下的频数分布表：

分组ABCDE

第17页（共27页）

1.0<x<4,24.2<v<4.54.5<r<4.84.8<r<5.l5.1人5.3

人数（频数）2814124

请根据所给信息，解答下列问题：

（1）这40名学生视力的中位数落在哪个组内？

（2）该校八年级共有500名学生.

①根据如表数据，请估计这500名八年级学生的视力在4.8。工5.3范围内的人数；

②从去年同期这500名学生的体检结果中可知，视力在4.8—5.3范围内的人数为263人.如果你是该

校的一名学生，请说明这500名学生今年和去年视力在4.8夕W5.3范围内的人数变化情况，并为学校提

•条保护学生视力的合理化建议.

【考点】中位数；用样本估计总体：频数（率）分布表.

【分析】（1）根据中位数的定义求解即可；

（2）①总人数乘以样本中。、E组人数和所占比例即可；

②比较去年和今年该视力范围内人数即可得出答案，建议答案不唯一，合理均可.

【解答】解：（1）这40名学生视力的中位数是第20、21个数据的平均数，而这2个数据均落在C组,

所以这40名学生视力的中位数落在C组；

―12+4

⑵①50。乂▽=200（名），

答：估计这500名八年级学生的视力在4.8/5.3范围内的人数约为200名：

②去年视力在4.8SK5.3范围内的人数为263人，今年视力在4.80烂5.3范围内的人数约为200人，今

年视力在该范围内的人数明显减少，

建议：保护性用眼，保持工作、生活环境光线的柔和，避免强烈紫外线的照射.尽最减少熬夜和过度用

眼，减少过度使用电子产品.增加户外活动，定期远眺.

【点评】本题考查了中位数以及频数分布表、样本估计总体，明确中位数所反映数据的特征是解决问题、

做出判断的前提.

15.（10分）（2025•内蒙古）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一.某品牌苹果采摘机器人

的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作.在正常工作状态下,

该机器人的每一个机械手平均〃秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用

600秒采摘苹果的个数多25个.

（1）求〃的值；

（2）现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成.每个机器人搭载4个相同的

第18页（共27页）

机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个？

【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用.

【分析】（1）根据“该机器人的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果H勺个数多25

个“，可列出关于。的一元一次方程，解之即可得出结论；

（2）设需要x个这样的机器人，利用1小时采摘苹果的总数量=每个机器人的一个机械手1小时采摘

苹果的数量x4x使用机器人的数量，结合要求1小时采摘的苹果个数不少于10000个，可到出关于x的

一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论.

【解答】解：（1）根据题意得：25a=800-600,

解得：a=8.

答：。的值为8；

（2）设需要x个这样的机器人，

3600

根据题意得：~^-x4.r>10000,

O

50

解得：x>—,

又为正整数，

・•.x的最小值为6.

答：至少需要6个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是（1）找准等量关

系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.

16.（12分）（2025•内蒙古）如图，是0。的直径，半径OCL4&垂足为O,OC=2,尸是历I延长线

上一点，连接CP，交OO于点。,连接力。，^OCP=60°.过点P作。。的切线，切点为E.交C。的

延长线于点E.

（1）求⑵的长；

（2）求乙。的度数；

（3）求cos乙O”的值.

第19页（共27页）

【考点】切线的性质：弧长的计算；解直角三角形；垂径定理；圆周角定理.

【分析】（1）连接O。，判定△OC。是等边三角形，得到乙000=60。，由弧长公式即可求出。的长;

1

(2)求出乙40。=乙4。。。=30。，由等腰三角形的性质得到乙。48=乙4。。=5乂(180°-30°)

75°；

PO

(3)连接OE,由切线的性质得到半径。氏LPE,由余角的性质推出乙It1tanC=—

LzL*

厂1-OEi5

<3,求出PO=2<3,得到cosdOE=13=半因此coszOe=cos"OE=?

【解答】解：(1)连接OQ,

-OC=OD,乙OCD=60。,

••.△OCQ是等边三角形，

.•2(700=60。，

•••0(7=2,

八607rx22

••・第的长二』-二针；

(2)-OC1.AB,

山OC=90。，

：&OD=4OC-乙COD=30J

-OD=OA,

1

.^DAB=^ADO=-x(180°-30°)=75°；

(3)连接OE,

•••PE切圆与E,

••・半径OE工PE,

•・ZPOE+乙OPE=乙OFP+乙OPE,

:.(POE=£OFP,

第20页（共27页）

POOP

,.,tanC=tan60°=—

2

•：OE=OC=2,

OE后

ACOSZPOE=—=^=^-

：.3S乙OFP=cos乙POE=—.

3

【点评】本题考杳切线的性质，解直角三角形，弧长的计算，等边三角形的判定和性质，关键是掌握弧

长公式，锐角的余弦定义，由锐角的正切定义求出PO的长.

17.（12分）（2025•内蒙古）问题背景:

综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图1所示.

图1图2

外形参数：

如图2,装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线5，中间的矩形力4C。和下方的抛物线上

组成.抛物线Li的高度为8c阳，矩形"CO的边48=8cw,BC=6cm,抛物线"的高度为4c〃?.在装

置内部安装矩形电子显示屏EFG”,点E,尸在抛物线“上，点”，G在抛物线匕上.

问题解决：

第21页（共27页）

如图3,该小组以矩形/1AC。的顶点力为原点，以48边所在的直线为x轴，以力。边所在的直线为y

轴，建立平面直角坐标系.请结合外形参数，完成以下任务：

(I)直接写出8,C,。三点的坐标；

(2)直接写出抛物线。和“的顶点坐标，并分别求出抛物线小和4的函数表达式；

(3)为满足矩形电子显示屏EFG”的空间要求，需要£7/边的长为15。〃，求此时E尸边的长.

【考点】二次函数综合题.

【分析】(1)由矩形力8CQ性质可得CO=48=8°〃，AD=BC=6cm,CD\\AB,BC\\AD,即可得出坐标

(2)由装置整体图案为轴对称图形，作出对称轴，分别交抛物线〃于交抛物线区于M交矩形力〃6

1

于N,P,结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线4和打的对称轴，AP=BP=~

A8=4,(DNP=(APN=9N,由矩形Q/1PN中NP=/1O=6,抛物线人的高度为8c•“，抛物线上2的高

度为4cm,直线MQ是抛物线Z.1和L2的对称轴，即可得出地物线L｝和L2的顶点坐标分别为M(4,

2

14),Q(4,-4),分别设抛物线5和Q的表达式为y=%(L4)2+14,y=a2(x-4)-4,分别将将。

(0,6)和。(0,0)代入求解即可；

(3)由装置整体图案为轴对称图形，得出EELMG,“G1MG,证明〃瓦Lr轴，设x?=x〃=〃，则力/二一

113

22

pi4-4n+6,yE=-^n-2n,则EH=y”-%=-不？+6几+6=15,求得以=2,由抛物线对称性可得

EF=2(x对称轴-X£)=4.

【解答】解：(1)•.•矩形48CD的边力8=8。加，BC=6cm,

•••CO=48=8a〃，AD=BC=6cm,CD\\AB,BC\\AD,

••.B(8,0),C(8,6),D(0,6)：

(2)•.•装置整体图案为轴对称图形，

如图，作出对称轴，分别交抛物线小于加，交抛物线“于M交矩形48CQ于MP,

第22页(共27页)

结合矩形和抛物线的对称性，可得直线V。是抛物线匕和上的对称轴，AP=BP=-AB=4,3NP=

zjpy=90°,

•••四边形。4PN是矩形，

:.NP=AD=6,

••・抛物线L\的高度为Scm,抛物线L2的高度为4cm,直线MQ是抛物线L］和L2的对称轴,

•••MP=MV+NP=8+6=14(c〃i),QP=4cm,

•••抛物线4和4的顶点坐标分别为M(4,14),Q(4,-4),

2

分别设抛物线L\和L］的表达式为y=a］。-4)2+14,y=a2(x-4)-4,

将。(0,6)代入、=%。-4)2+14,

1

解得力=

22

则抛物线L］的表达式为y=-1(x-4)+14=-^x+4x+6；

J乙

将4(0,0)代入y=。2(%一旬2-4,

1

解得％=4;

22

则抛物线L2的表达式为y=7(X-4)-4=4-2X；

(3)•装置整体图案为轴对称图形，

•••EFLMG,HGLMG,

轴，

.'.EFWHGWx轴，

-EFGH是矩形,

第23页(共27页)

.'.HELEF,

轴,

-xE=xH,

设XE—Xfj—n,

1?19

•••y”=一F+4n+6，yE=_2n,

3o

:.EH=yw—yF=一邛+6n+6=15,

解得：〃=2或6（在对称轴右侧，舍）,

.-.X£=2,

由抛物线对称性可得石尸=2（X对称轴-X£）=4.

【点评】本题考查二次函数的图象与几何综合，矩形的性质，平面宜.角坐标系，待定系数法求二次函数

的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键.

18.（13分）（2025•内蒙古）如图，4?。。是一个平行四边形纸片，8。是一条对角线，BD=BC=5,CD=

6.

（1）如图I,将平行四边形纸片片灰沿8。折叠，点力的对应点落在点。处，PB交CD于一点、M.

①试猜想PM与CM的数量关系，并说明理由；

②求△86W的面积；

（2）如图2,点E,厂分别在平行四边形纸片48CO的力。边上，连接ER且EFII8D,将平行四

【分析】（1）①由翻折得4O=OP,乙DAB=3PB,利用四边形44CQ是平行四边形，可证明

BC,乙DPB=^BCD,再证明△OPWEAACM,即可求证；

②由△OPM三△8CW,得DM=BM,过点、M