第十一讲无穷级数

1、第十一章 无穷级数一、学习目的与要求1、 加深理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，知道无穷级数的基本性质。2、 熟悉几何级数和p级数的收敛性。3、 掌握正项级数的比较审敛法，熟练掌握正项级数的比值审敛法。4、 掌握交错级数的莱布尼兹定理；了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，及绝 对收敛与收敛的关系。5、 知道函数正项级数的收敛域及和函数的概念。6、 熟练掌握较简单幂级数的收敛域的求法。7、 知道幂级数在其收敛区间的一些基本性质。8、 知道幂级数和函数的概念，并会求一些常见级数的和函数。9、 知道函数展开为泰勒级数的充要条件。10、掌握和的麦克劳林展开式，并能利用这些展开式将一些简单函数展为幂

2、级数。11、 知道函数展开为傅立叶级数的充要条件，并能将定义在和上的函数展开为傅立叶级数。能将定义在上的函数展开为正弦或余弦级数。二、学习重点1、正项级数的比较审敛法和比值审敛法。2、交错级数的莱布尼兹定理。3、函数展开成幂级数和傅立叶级数。三、内容提要1、级数的概念:设有无穷数列，则称为无穷级数，简称级数。称 为部分和。若存在且有限，则称级数收敛，并称S为级数的和，若不存在或为，则称级数发散。2、收敛级数的性质（1）若级数，收敛，则对任意常数，。（2）改变级数有限多项的值，不影响它的收敛性。（3）收敛级数可任意添加括号，且和不变。（4）收敛级数的通项。数项级数区分为正项级数，交错级数及任意项

3、级数，这三类级数的收敛性判别亦不同。3、正项级数的判别法除开因而判断级数发散外，常用以下方法判断级数的收敛性。比较判别法：若n充分大时有，则当收敛时，也收敛；当发散时，也发散。比较判别法的极限形式：若则当时，与有相同的敛散性；当0时，由收敛，也收敛；当=+时，由发散，也发散。比值判别法：若，则当时级数收敛，时级数发散,时级数可能收敛，也可能发散。根值判别法：若，则当时级数收敛，时级数发散，时级数可能收敛也可能发散。积分判别法：设在上是非负且单调减，n=1,2,则级数收敛的充要条件是收敛。常用于比较判别法及其极限形式的正项级数是：几何级数（等比级数）：，当时收敛；时发散。P-级数：，当级数收敛；

4、当时级数发散。例如：，当时收敛；当时发散。4、交错级数的莱布尼兹判别法:若，n=1,2,，则交错级数收敛，且和，余项。5、任意项级数的收敛:任意项级数（含交错级数）的收敛性分为绝对收敛和条件收敛，若级数收敛，称级数绝对收敛；若发散，而收敛，称条件收敛。（注意：绝对收敛的级数必收敛。）6、函数项级数收敛:（n=1,2,）都是定义在X上的函数，则称为函数项级数。若给定，数项级数收敛，称为函数项级数的收敛点。所有收敛点的集合E称为收敛域。对，级数的和记为，称函数，为级数的和函数。7、幂级数的概念:形如的级数称为的幂级数，其中为常数，称为幂级数的系数。幂级数的收敛域是以为中心，以R为半径的区间，收敛半

5、径R由公式或给出，当R0时幂级数仅在点收敛；当时，幂级数的收敛区间为，端点也可能是收敛点；当时，幂级数在上都收敛。8、幂级数的性质（1）幂级数在收敛区间内绝对收敛，在内发散，在端点处可能收敛，也可能发散。（2）幂级数的和函数在收敛域上连续。（3）幂级数在其收敛区间内可逐项微分或逐项积分，而且所得的新的幂级数收敛半径不变。因而，在该区间内可逐项微分及逐项积分无穷多次。（4）若与的收敛半径分别为，令，则当时，其中，（5）若在点可以展成幂级数，则必为在点处的泰勒级数，即若，则，在点处的泰勒级数又称麦克劳林级数。它表示为。9、五个重要的幂级数展开式:（1） （2） （3） （4）（5）特别地10、函数

6、展成幂级数直接法先求出，得到幂级数，并求此级数的收敛域，再证此收敛域内泰勒公式中余项收敛于零，从而得到幂级数展开式。间接法利用五个重要函数幂级数展开式，通过适当变量代换、四则运算、复合运算以及微分、积分等方法将一个函数展成幂级数，并指出其收敛域。11、和函数的求法（1） 根据和函数定义，先求级数部分和，再取极限得到。（2） 通过和差运算将级数化为易求和的若干级数的和与差。（3） 通过逐项积分或逐项微分将幂级数化为常见函数的幂级数并求和，然后再对它作相反的分析运算（反演）得到原幂级数的和函数。12、傅立叶级数：设是以为周期的周期函数，在上可积，则的傅立叶系数为：， n=0,1,2,， n=1,2

7、,由以上，为系数的三角级数称为的傅立叶级数，记做当x是以为周期的奇函数时，n=0,1,2,， ， n=1,2,此时，称之为正弦级数。当x是以为周期的偶函数时，n=1,2,， ， n=0,1,2,此时，称之为余弦级数。13、傅立叶级数定理：若在上满足狄利克雷条件：只有有限个极值点，除去有限多个第一类间断点外都是连续的，则的傅立叶级数在上收敛，且有四、思考题1、已知数列，级数，及其部分和，请思考下列问题：（1）与是否同收敛，同发散？（2）与是否同收敛，同发散？（3）级数的部分和，与级数的部分和是否相同？2、判断下列结论是否正确，并说明原因或举出反例：（1）若发散，则；（2）若与都发散，则必发散；若

8、收敛，发散，则发散。（3）添括号后的级数发散，则原级数发散。（4）指出下列做法是否正确，为什么？因为，上式中，取=2，得.（5）幂级数在其收敛区间内逐项微分（积分）后所得级数与原级数得收敛区间有何异同？（6）若，问与的傅立叶级数间有何关系？（7）若，问与的傅立叶级数间有何关系？（8）若在上有连续的一阶导数，且，试问与的傅立叶系数有何关系？五、典型例题分析例1 判别级数的收敛性：（1）；（2）；（3） .分析要判断级数的收敛性，首先看是否为零，若不为零，则级数发解 （1）由于所以，级数是发散的。（2）由重要极限，知，所以，级数发散。（3）显然，此时不能做出收敛的结论。由定义，级数的部分和当时，不

9、存在，所以级数是发散的。例2 判别级数的收敛性： （1）；（2） .分析熟悉无穷级数的基本性质以及p级数、等比级数的收敛性，对判别本题级数的收敛性是至关重要的。解：（1）因为收敛（等比级数，公比q<1），收敛（p级数，p=2>1），所以级数收敛。（2）因为发散（p级数，p=1，为调和级数），收敛（收敛级数各项乘以-1），所以级数发散。例3 判别级数的收敛性： （1）；（2）；（3）；（4）.分析对于正项级数收敛性的判别，一般先用比值法或根值法去判断，若判断不出来，可再考虑用比较判别法。若级数明显地用比较判别法即可得出结论时，自然不必用比值法或根值法。解 （1）级数为正项级数，且一般

10、项的分母含有因子，宜用比值法。所以级数收敛。（2）级数为正项级数，且含有以n为指数的因子，易用根值法。所以级数收敛。（3）解法1 用比值法所以级数收敛。解法2 用比较法的极限形式原级数与级数同时收敛或发散，对级数用比值法故级数收敛，从而原级数收敛。（4） 用比值法，比值法失效，注意到对正整数n，有，即，将上述各不等式两边分别相乘，得，得，,即 .所以，故原级数是发散的。例4 判别级数的收敛性 （1）；（2）；（3）.分析 对于任意项级数，可研究它的绝对值级数。如果绝对值级数收敛，则原级数也收敛；如果绝对值级数发散，原级数的收敛性不能确定。而对于绝对值级数，因为是正项级数，因此可以用正项级数得收

11、敛性判别法进行判别。值得注意的是，用比值法或根值法判得绝对值级数为发散时，则原级数必发散，这是因为此时的通项不趋于零的缘故。解（1）级数为任意项级数。，为公比是的等比级数，故收敛，从而原级数收敛，且绝对收敛（2）考察加括号的级数（*）它可写为由于，而级数发散，故级数（*）发散，于是原级数发散。 （3）由知绝对值级数发散，所以原级数发散（不趋于零）。例5 判别级数绝对收敛还是条件收敛（1）；（2）.分析对于交错级数，可用莱布尼兹定理去判别其收敛性。如果满足定理条件，则级数收敛。解（1），对于，因 ()故单调减少有，由莱布尼兹判别法知级数收敛。但因发散，故级数条件收敛（2）因收敛，故级数绝对收敛。

12、例6 设，证明：如果级数收敛，则级数与级数都收敛。证先证收敛；因已知级数收敛，故n充分大时，因而，由比较判别法知级数收敛。再证收敛；因 , 故.由于和均收敛，所以级数收敛。例7 应用级数理论证明极限：（1）；（2） .分析如果级数收敛，则，这个结果称为级数收敛的必要条件。把数列的通项看成某级数的通项，而对此级数的收敛性的判别又较容易，则由级数收敛的必要条件，立即得出数列的极限。解（1）考虑级数，由于,所以级数收敛，由级数收敛的必要条件知.（2）考虑级数由于 ,而级数收敛，所以级数收敛，由级数收敛的必要条件即知例8 求函数项级数的收敛域： （1），（2） .分析求函数项级数的收敛域的基本方法是比

13、值法，下面我们用比值法来解本题。解 （1），令，得.当=1时，时，级数均发散。所以，的收敛域是。（2），令，即，得（）当时，级数和均收敛。所以，级数的收敛域是（）例9 求幂级数的收敛半径和收敛区间：（1）； （2）（）；（3） .解（1），收敛半径。当时，级数为，因为发散，收敛，所以级数发散。当时，级数为，因为及都收敛，所以级数收敛。综上所述，知所给级数的收敛区间为。（2）；收敛半径为。当x=R时，若，级数为，由于，所以发散；若a<b，级数为，由于，所以级数发散。同样地讨论知x=R时，所给级数发散，故所给级数的收敛区间为（R，R），。（3）此级数为（x1）的幂级数，因缺少奇次幂项，不能直

14、接应用关于幂级数求收敛半径的方法，而要用比值法来求收敛区间，。当，即-2<x-1<2，也即-1<x<3时，级数收敛。当x1时，级数为，是发散级数。当x3时，级数为，是发散级数。综上所述，知级数的收敛区间为（1，3）。例10 下列幂级数的和函数（1） ;（2） ; （3） . 解（1） , 同理，（2） , （3） , 例11 求在其收敛域中的和函数。分析对此级数直接采用变量代换与逐项微分或积分均不可行，这时就应考虑将级数的通项进行适当变形，或拆项化简或升高（降低）通项中x的幂次，然后再进行分析运算。解变形,这里须注意级数的首项为x（n1，而不是n0）。 ()令 ,则从而

15、 .所以 , .当x0时，s(0)=0 . 例12 求级数的和函数，并求数项级数的和。分析首先应讨论此级数的收敛域，在收敛域内仍须变形后再利用逐项积分及逐项微分法，此题还可用代数运算法。解法1 级数的收敛域为（1，1）。 ,令逐项积分两边求导，得 ,所以 , （1，1）。从而 .通过如下代数运算，使其求和过程非常简便。解法2 令 , , ,所以 , （1，1）。例13 求级数的和。分析题为求数项级数的和，通常可作一个以此数项级数的各项为系数的幂级数。至于，所作幂级数的形式如何选，取决于系数的具体形式，其原则是幂级数的和函数易求。如本题，为了通过分析运算消去2n1，可作幂级数。解 作幂级数，并设

16、和函数为S(x)。则两边求导，得因为x1在收敛区间内，故用1带入上式得例14 将下列函数展开成幂级数。（1）将函数展开成的幂级数；（2）将函数展开成的幂级数；（3）将函数展开成（1）的幂级数。解（1）如同不定积分中的换元法，将视为u，由的展开式可知 ,对于很多其他函数，同样可以如下处理，这种方法就是变量代换法。如 , ,（2）对于无法直接利用变量代换法展开，但而的展开式容易利用的展式得到，再利用逐项积分法变可得到的展开式。 ()；()所以， , ()小结利用逐项微分（积分）的方法可以解决很多函数的展开问题，例如记住的幂级数展开式，便可通过逐项微分得到的幂级数展式，或逐项积分得到的幂级数展式，等等。至于积分时下限为何取？是否可取其他数？其实可 取幂级数收敛域内任何一点，只是由于时，使得计算简便。（3）要将在处展开，须对进行代数变形，从而利用在处所展成的幂级数，此为代数运算。.又如例15 将函数展成的幂级数。分析函数形式较为复杂，不妨从几个方面分析：（1）将化为部分分式，那么应该有四项，显然比较繁琐；（2）将求导，其形式更为复杂，不可取；（3）对进行积分，此法可行。解,所以 , 例16 将函数展成的幂级数。分析因，而被积函数可以由的麦克劳林展开式得到，然后逐项