第7章二阶电路

1、第7章 二阶电路本章主要内容：1.二阶电路的零输入响应；2.二阶电路的零状态响应和阶跃响应；3.二阶电路的阶跃响应与冲激响应；4.卷积积分；5.状态方程。本章学习要求：1.理解二阶电路、二阶电路零输入、零状态、全响应、阶跃响应、冲激响应等概念；2.掌握二阶电路各种响应的特点及其分析计算方法；3.了解卷积的含义，掌握卷积在求解电路响应中的应用；4.了解网络状态方程在分析电路响应中的作用，掌握电路状态方程和电路输出方程的列写方法。本章重点：1.二阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解；2.二阶电路的阶跃响应概念及求解。本章难点：1.二阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解；

2、2.二阶电路的阶跃响应概念及求解。计划课时：7.1 二阶电路的零输入响应二阶(线性)电路：能用二阶线性常系数微分方程描述的动态电路。在二阶电路中，一般既有电容又有电感。分析其动态过程时也一般需要给定两个由储能元件初值决定的初始值。在右图所示的RLC串联二阶电路中，若给定如下两个初始条件：，(或)。电路方程为：。电路特征方程为：，解得两个特征根：。电路方程的解具有以下形式：。其中、根据初始条件确定：，解之得：从而有：讨论：1.时，过阻尼(非振荡过程)由于特征根、均为实数，且可设，故此时有如图、的表达式及波形。结论：(1)电路中电容的放电为非振荡放电过程，并称此时电路处于过阻尼状态；(2)在整个放

3、电过程中，始终不改变方向，电容一直释放其原来存储的电场能，并且放电电流在时达到极大值；0b(3)在整个过程中仅改变一次方向，在时电感吸收能量建立磁场，在后释放能量直至消失；并且由可计算得到：在时，达到极小值。2.时，欠阻尼(振荡过程)特征根、为共轭复根，令，则有，从而求得、的表达式及其波形如下图。tp-b2p-b2pp0U0b结论：(1)此时电路的放电过程为衰减振荡放电过程，电路处于欠阻尼状态；并且称为衰减指数，为固有振荡角频率，为谐振角频率；(2)是以为振幅包络线的衰减正弦函数，时，时；(3)是以为振幅包络线的衰减正弦函数，在的极值点处即处，而在的零点处即处获得极值；(4)在整个放电过程中，

4、均周期性地改变方向，L与C之间周期性地交换能量(电阻仍总消耗能量)，并且期间，C放出能量，L吸收能量；期间，L、C都放出能量；期间，L放出能量，C吸收能量。(5)当时，因而时电路处于等幅振荡状态。3.时，临界阻尼(非振荡过程)此时，。利用罗必塔法则，对过阻尼情况下的取时的极限，即得到临界阻尼情况下的：，()，并且临界阻尼情况下，。结论：(1)仍属非振荡放电过程，电路处于临界振荡状态；(2)与过阻尼情况相比，临界振荡与非振荡的包络线不同。例：电路如图，时打开开关。求并画出其变化曲线。wt0uC356255100mF2010100.5H50V+-+-iLuC解：，开关打开为RLC串联电路，方程为：

5、特征方程为：，解得特征根为：据此特征根，令因为，即，所以故，其波形如上。7.2二阶电路的零状态响应和全响应一、二阶电路的零状态响应二阶电路的初始储能为零，仅由外施激励引起的响应称为二阶电路的零状态响应。RLC+-uCiLUSe (t)+-二阶电路如图，其初始状态为，。显然电路方程为特征方程为由于电路方程的解：，而特解，所以的解形式为：(1)；(2)；(3)根据初始条件、确定系数后，即可得到该二阶电路的零状态响应。+u1-0.5u12W1/6F1HS2W2W2Aii12-i稳态模型+u1-2Wi2A0.5u12W+u1-0.5u12W2W+0+电路模型-uL(0+)例：在时将开关断开，求电流的零

6、状态响应。解：(1)求电路微分方程：，又据：，从而整理后得到电路方程为：(2)求特解，即求稳态下的电流：画出稳态电路后知，所以，(3)确定通解：特征根为，所以通解形式为(4)确定系数和：根据(2)(3)有，并且，。为求，画出电路模型并由此得到：所以，解之得：故。二、二阶电路的全响应由外施激励和二阶电路初始储能共同作用引起的响应称为二阶电路的全响应。全响应是零状态响应和零输入响应的叠加，可以通过把零状态方程的解带入非零的初始条件求得全响应。其求解的一般步骤为：1.列写电路的微分方程；2.求通解；3.求特解；4.全响应=强制分量+自由分量；5.由初值、定常数。RiR-50 V50W100mF0.5

7、H+iLiC例：已知，求，。解：1.求：(1)应用节点电压法得到电路方程为：，整理即：(2)分析稳定后电路，得电路的特解为(或令、亦可)(3)由特征方程解得特征根，从而通解为(4)根据初始值有，解得所以：2.求：因，故可设解答形式为：由于电容电压不能突变，所以，从而，解之得：所以7.3二阶电路的阶跃响应和冲激响应一、二阶电路的阶跃响应二阶电路在阶跃激励下的零状态响应成为二阶电路的阶跃响应。阶跃响应的求解方法与求解二阶电路零状态响应相同。例：已知图示电路中，求单位阶跃响应。0.25H0.2W2FiRiLiC0.5iC解：对电路应用KCL列结点电流方程有因，故有电路方程：这是一个关于的二阶线性非齐

8、次方程，其解为，其中特解。设通解为，、为电路方程特征根，。将初始条件：和代入后解出，。所以电路的阶跃响应为：(过阻尼性质)二、二阶电路的冲激响应RLC+-+-uCiRd (t)二阶电路在冲击函数激励下的零状态响应称为二阶电路的冲击响应。其求解方法以如下RLC串联电路为例予以说明。例：求单位冲激电压激励下的RLC电路的零状态响应。解：(1)在至期间：电路方程：对两边进行积分：由于和均有限，故，即从而。注意电路在冲击激励下初始值发生了跃变。(2)为零输入响应：若，则，代入初始值有，解得故若，且令特征根，则。根据初始条件可推出。7.4卷积积分*一、卷积积分的定义与性质定义：设函数，在时均为零，记，的

9、卷积为，则性质：证明：激励e(t)响应r(t)线性网络零状态二、卷积积分的应用对任意线性网络，设其零状态下的激励为，响应为，则有其中是该网络的冲激响应。例：已知，求。R C iS +uC解：(1)先求电路的冲激响应：，所以。(2)利用卷积积分计算时响应：7.5状态方程*一、网络的状态与状态变量网络的状态：指能和激励一道唯一确定网络现时和未来行为的最少量的一组信息。注意：这里讲的为数最少的变量必须是互相独立的。状态变量：电路的一组独立的动态变量，它们在任何时刻的值组成了该时刻的状态，如独立的电容电压(或电荷)，电感电流(或磁通链)就是电路的状态变量。二、状态方程或状态变量法：1.状态方程：借助于

10、状态变量，建立一组联系状态变量和激励函数的一阶微分方程组，称为状态方程。只要知道状态变量在某一时刻值，再知道输入激励，就可以确定后电路的全部性状(响应)。即：响应状态变量激励3WLCe(t)+iLiC+-uC-uo例：图示电路中，已知，。求、。解：同理可推广至任一时刻：结论：(1)状态变量和储能元件有关；(2)有几个独立的储能元件，就有几个状态变量；(3)状态变量的选择不唯一。2.状态方程的列写：每一个状态方程中只含有一个状态变量的一阶导数。对简单电路采用直观编写法。例：上例图中，以、为状态变量，因，整理得电路状态方程为或写成矩阵形式：，结论：(1)网络的状态方程是联立的一阶微分方程组；(2)状态方程左端为状态变量的一阶导数；(3)状态方程右端含状态变量和输入量；(4)状态方程一般具有如下形式：，其中，。三、电路的输出方程电路输出方程用来反映电路中某些感兴趣的量与状态变量和输入量之间的关系。例：上例中，以、为状态变量，感兴趣的量有、，则电路的输出方程为：结论：(1)电路输出