第三章相似三角形

1、 图形的相似教学目标 1、掌握比例线段以及黄金比例 2、平行线分线段成比例 3、相似三角形的判定和性质重点、难点 掌握相似三角形的判定和性质教 学 内 容考点精析及典型例题分析知识点一：比例线段的相关概念对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或a:b=c:d）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段注意：(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式(2)比例线段是有顺序的，如果说是的第四比例项，那么应得比例式为：四条线段a,b,c,d成比例，记作（或a:b=c:d），不能写成其他形式，即比例线段有顺序性（3）在比例式（或a:

2、b=c:d）中，比例的项为a,b,c,d，其中a,d为比例外项，b,c为比例内项，d是第四比例项（4）如果比例内项是相同的线段，即或a:b=b:c，那么线段b叫做线段和的比例中项。（5）四条线段a,b,c,d的单位应一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等例1、如果，那么_。例2、与的比例中项是_。迁移练习：1、已知：，则_。2、已知：线段，那么线段的第4比例项等于_。知识点二：黄金比例定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC），如果，即AC2=AB×BC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段

3、AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。其中0.618。简记为：拓展：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形例1、对一段长为20cm的线段进行黄金分割，那么分得的较长线段长为_cm。（不取近似值）迁移练习：1、已知：线段AB10cm，点C是AB的黄金分割点，且ACCB，则BC_cm。（不取近似值知识点三：平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. （两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例） 已知l1l2l3, A D l1 B E l2 C F l3 可得等.（2）推论:平行于三角形一边的直线

4、截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. 此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.如图，在三角形中，如果，则（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. 如上图，如果有，那么 。（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. AD E B C说明: 此定理和平行线分线段成比例定理的异同相同点:都是平行线；不同点:平行线分线段成比例定理的推论是两条平行线截其它两边所成的对应线段成比例,即AD与AE

5、,DB与EC,AB与AC这六条线段,而此定理是三角形的三边对应成比例.即，只要有图形中的,它一定是ADE的三边与ABC的三边对应成比例. 注意:条件(平行线的应用)在作图中,辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.例1、如图，DEBC，AD1，DB2，则的值为_。例2、如图，DEBC，AB12，AC16，AE10，则AD_。迁移练习1、 如图，DEBC，AB15，AC9，BD4，那么AE_。2、如图，DEBC，DFAC，AD4cm，BD8cm，DE5cm，那么BF_cm。知识点四：相似三角形的判定（一） 两角对应相等的两个三角形相似（二） 两边对应

6、成比例且夹角相等的两个三角形相似。（三） 三条边对应成比例的两个三角形相似。 例1、根据下列各组条件，判定ABC和是否相似，并说明理由：（1）AB=3.5cm，BC=2.5cm，CA=4cm，（2）A=, B=,（3）AB=3,BC=2.6, B=, ,迁移练习1、 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由。知识点五：相似三角形的性质相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，周长的比都等于相似比。对应面积的比等于相似比的平方。例1、两个相似三角形的相似比为4:9，那么这两个相似三角形的面积比为（ ）。（A）2:3；（B）4:9；（C）4:81；（D）16:81。迁移练习1、两

7、个相似三角形周长之比为2:3，面积之差为10cm2，则它们的面积之和为_cm2。同步练习一选择题： 1、下列各组数中，成比例的是（）A7，5，14，5B6，8，3，4C3，5，9，12D2，3，6，122、如果x:(x+y)3:5，那么x:y( )A. B. C. D.3、如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BFFD=13，则BEEC=（ ）A、 B、C、 D、4、下列说法中，错误的是（ ）（A）两个全等三角形一定是相似形 （B）两个等腰三角形一定相似（C）两个等边三角形一定相似 （D）两个等腰直角三角形一定相似5、如图，RtABC中，C90°，D是AC边上一点，AB5，A

8、C4，若ABCBDC，（第5题）则CDA2BCD二、填空题6、已知4，9，是的比例中项，则7、如图，要使ABCACD，需补充的条件是（只要写出一种）（第7题）8、如图，小东设计两个直角，来测量河宽DE，他量得AD2m，BD3m，CE9m，则河宽DE为 9、一公园占地面积约为800000，若按比例尺12000缩小后，其面积约为10、如图，点P是RtABC斜边AB上的任意一点（A、B两点除外）过点P作一条直线，使截得的三角形与RtABC相似，这样的直线可以作条（第10题）三、解答题11、如图1895，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙80cm，梯上点D距墙70cm，BD长55cm求梯子的长(8分

9、)12、如图，已知ACAB，BDAB，AO78cm，BO42cm，CD159cm，求CO和DO(8分)13、如图，在正方形网格上有，这两个三角形相似吗?如果相似，求出的面积比（15分)14、已知：如图，在ABC中，点D、E、F分别在AC、AB、BC边上，且四边形CDEF是正方形，AC3，BC2，求ADE、EFB、ACB的周长之比和面积之比(10分)15、如图所示,梯形ABCD中,ADBC,A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.参考答案一、选择题：1.B 2.D 3.A 4.D 5.D二、填空题：6、±6；7、ACD=B或ADC=ACB或AD：AC=AC：AB；8、6m；9、0.2；10、3三、解答题：11.梯子长为440cm 12.（提示：设，则，因为，所以AOCBDO，所以即，所以）13、相似，相似比为 （提示：，且） 14、周长之比：的周长：的周长：的周长；设，则所以因为ADEEFBACB，所以可求得周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方15、(1)若点A,P,D分别与点B,C,P对应,即APDBCP, ,AP2-7AP+6=0,AP=1或AP=6,检测:当AP=1时,由BC=3,AD=2,BP=6, 又A=B= 90°,APDBCP. 当A