理学大学物理1质点力学

1、大学物理 (一) 力学主讲:刘维一参考书：大学物理(新版) 上册，吴百诗主编科学出版社大学物理（新版）学习指导，张孝林主编，科学出版社基础知识：矢量： 有大小，有方向，加法符合平行四边形法则微积分： 导数：求变化率的数学运算积分：求和的数学运算第一章质点运动学第一节质点的概念有质量，没有体积质点是理想模型。忽略了物体的形状、大小所产生的效果,突出了质量、位置和力三者之间的主要矛盾质点质点组刚体弹性振动波第二节位移矢量与运动学方程质点位置的确定方法：1、选定参照点2、从参照点到质点作一矢量用矢量即可确定质点的位置质点的运动学方程当质点在空间移动时，质点的位置矢量随时间发生变化：这就是质点的运动学

2、方程直角坐标系下的运动学方程选择直角坐标系oxyz分量形式：分别表示x，y，z三个方向，其大小为1。直角坐标系的特点：三个基矢量的方向不变。由质点的运动学方程可以得到质点的全部运动信息：轨迹、速度、加速度例：质点的运动学方程为：x=Rcos(t)y=Rsin(t)消去时间 t 即得到轨迹方程： X2y2R2r(t)r(t+t)r第三节由位移求速度和加速度（重点）位置矢量与位移矢量的方向速度是位移随时间的变化率速度就是运动学方程对时间求导数运算在直角坐标系下：分量形式为：速度的大小：例题1、质点的运动学方程为：求：t0，1秒时的速度。解：加速度是速度随时间的变化率加速度就是速度对时间求导数运算也

3、是运动学方程对时间求二阶导数在直角坐标系下速度表示为：写成分量形式为：加速度的大小：xytP(x,y)vvyvx书中的例题1.1, 1.4(P.6;P.15)一质点作匀速圆周运动，半径为r，角速度为，求：直角坐标系中的运动学方程。运动学方程：x=Rcos(t)y=Rsin(t)消去时间t，得到轨迹方程：x2+y2=R2为圆周运动运动学方程对时间求导得速度：vx=-Rsin(t)=-Vsin(t)vy=Rcos(t)=Vcos(t)V=R速度的大小：V2= vx2+ vy2速度对时间求导得加速度：ax=- R2cos(t)ay=- R2sin(t)R2=( R22)/R=V2/R 向心加速度a2

4、= ax2 + ay2xyMABab书中例题：1.2, 1.6（p.7;p.17）（重点）直杆AB两端可以分别在两固定且相互垂直的直导线槽上滑动，已知杆的倾角t随时间变化，其中为常量。求：杆中M点的运动学方程。解：运动学方程为：x=a cos(t)y=b sin(t)消去时间t得到轨迹方程：x2/a2 + y2/b2 = 1椭圆运动学方程对时间t求导数得速度：vxdx/dt-asin(t)vydy/dtbcos(t)速度对时间t求导数得加速度：axd vx/dta2cos(t)ayd vy/dtb2sin(t)加速度的大小：a2ax2ay2书中例题1.3, 1.5, 1.7（p.7;p.16;

5、p.18）已知：运动学方程：x 0.31t27.2t 28y 0.22t29.1t 30求：t15s时的位置矢量和方向。解：t15s时，x0.31×152+7.2×15+28=66y=0.22×1529.1×15+30=57r 66 i57j运动学方程对时间t求导数得速度：vxdx/dtd/dt(0.31t27.2t 28)-0.62t+7.2vydy/dtd/dt(0.22t29.1t 30)=0.44t9.1v (-0.62t+7.2)i(0.44t9.1)jt15s时，v (-0.62×15+7.2)i(0.44×159.1)j

6、2.1i2.5jv3.3 （m/s）速度对时间t求导数得加速度：axd vx/dtd/dt(-0.62t+7.2)0.62 (m/s2)ayd vy/dtd/dt(0.44t9.1)0.44 (m/s2)a-0.62i0.44ja0.76 （m/s2）第四节由加速度求速度、位移问：如果知道质点的加速度，能否确定质点的速度？实例：自由落体实验：（1）自由下落；（2）上抛；（3）下抛已知质点的加速度和质点的初始速度，则可运用导数的逆运算不定积分初条件，确定出质点的速度。已知质点的速度和质点的初始位置，则可运用导数的逆运算不定积分初条件，确定出质点的运动学方程。如已知：axax（t），且tt0时，v

7、v0，xx0加速度求积分得速度：vxax（t）dtvx（t） C其中C为常数，由初条件确定。验证：dvx（t） C)/dt dvx（t）/dtax由初条件确定C：当tt0时，vv0，带入vx表达式：v0vx（t0） C得：Cv0vx（t0）vxvx（t） v0vx（t0）速度求积分得运动学方程：xvx（t） v0vx（t0）dt x（t）v0vx（t0）tC其中C为常数，由初条件确定。当tt0时，xx0，带入x表达式： x0x（t0）v0vx（t0）t0C得：Cx0x（t0）v0vx（t0）t0xx（t）x0x（t0）v0vx（t0）（tt0）例题：已知：a1004t2，且t0时，v0，x0求

8、：速度v和运动学方程va dt（1004t2）dt100t4/3t3+Ct0时，v0，得：C0 v100t4/3t3x v dt（100t4/3t3）dt50t21/3t4+Ct0时，x0，得：C0 x50t21/3 t4第五节几个简单实例匀速直线运动a0，tt0时，vxvx0 ，xx0vx0 dtCtt0时，vxvx0 得 Cvx0vxvx0x vx0 dtvx0 t Ctt0时，xx0 得 Cx0vx0t0xx0vx0（tt0）匀变速直线运动ax常数a，tt0时，vxvx0 ，xx0vxa dta tCtt0时，vxvx0 得 Cvx0a t0vxvx0a（tt0）x （vx0 a t0a

9、t）dtvx0 t a t0 t1/2 a t2Ctt0时，xx0 得 Cx0vx0t01/2 a t02xx0vx0（tt0）1/2 a t02a t0 t1/2 a t2x0vx0（tt0）1/2 a （tt0）2抛物体运动取平面直角坐标系，ax0 ；aygt0时，v0xv0 cos ；v0yv0 sinx0；y0vx0dt Cx；vyg dtgtCyt0时，v0xv0 cos ；v0yv0 sinvxv0 cos；vyv0 singtxv0 cosdt；y（v0 singt）dtv0 costCx；v0 sint1/2gt2Cyt0时，x0；y0得：Cx0；Cy0 xv0 cost；yv

10、0 sint1/2gt2消去时间t得到轨迹方程：yx tg（g/2v02cos2）x2 为抛物线第六节典型习题习题指导P9. 1.4（重点）xh在湖中有一小船，岸边有人用绳子跨过一高处的滑轮拉船靠岸，当绳子以v通过滑轮时，求：船速比v大还是比v小？若v不变，船是否作匀速运动？如果不是匀速运动,其加速度是多少？xLh解：l（h2x2）1/2当x>>h时，dx/dtv，船速绳速当x0时，dx/dt加速度：将代入得：分析：当xà, 作业：P.49：1.6 ; 1.7 ; 1.8 ; 1.24第一章补充内容（扩展内容）P平面极坐标系中的速度和加速度平面极坐标：质点P的位置用(r,

11、)表示。平面极坐标中基矢量：大小：1，方向：方向：大小：1，方向：与垂直方向平面极坐标的特点：基矢量的方向是随着方向的变化而变化。平面极坐标中P点的位置矢量表示为： （1）其中r表示的大小，表示的方向。（1）式就是质点P的运动学方程。P点的速度：基矢量的导数：的大小：其中r1大小：方向：同理，的大小：其中r1大小：方向：由此得到：写成分量形式：P点的加速度：写成分量形式：例题R一质点沿半径为R的圆周运动。求：t时刻质点的速度和加速度。解：选极坐标运动学方程：SR，S/R代入得： 法向加速度 切向加速度第二章 牛顿运动定律第一节牛顿的三个定律牛顿第一定律和第三定律作为自学内容。牛顿第二定律： F

12、ima写成导数形式： 在直角坐标系下的分量形式：这种写法的好处是数学关系明显，对解决问题非常方便。第二节变力问题的处理方法（重点）力随时间变化：Ff（t）在直角坐标系下，以x方向为例，由牛顿第二定律：且：tt0 时，vxv0 ；xx0则：直接积分得：其中c由初条件确定。由速度求积分可得到运动学方程：其中c2由初条件确定。例题：飞机着陆时受到的阻力为Fct，（c为常数）且t0时，vv0 。求：飞机着陆时的速度。解：根据牛顿第二定律：ctm dv / dt当t0时，vv0，代入得：v0c1力随速度变化：Ff（v）直角坐标系中，x方向f（v）m dv dt经过移项可得：等式两边同时积分得：具体给出f

13、（v）的函数试就可进行积分运算。例题：（重点）质量为m的物体以速度v0投入粘性流体中，受到阻力fcv （c为常数）而减速，若物体不受其它力，求：物体的运动速度。解：根据牛顿第二定律： 移项变换： c/m dtdv/v 积分得： 由初条件定c1：当t0时，vv00lnv0c1 c1lnv0力随位移变化：Ff（x）直角坐标系中，x方向：经过移项可得：f（x）dxmv dv等式两边同时积分得：例题：（重点）光滑的桌面上一质量为M，长为L的匀质链条，有极小一段被推出桌子边缘。x求：链条刚刚离开桌面时的速度。解：链条所受的力F是个变力：Fm(x)g根据牛顿第二定律：第三节几种常见的力M1M2R万有引力与

14、重力万有引力的大小： 其中M与M为两质点的质量，R为两质点间的距离，G为比例常数，称为引力常数。万有引力是所有物体之间都存在的引力。对于日常物品，万有引力的作用非常小，以至于感受不到。天体之间万有引力的作用就非常明显了。海潮的涨落就是月亮和太阳的万有引力作用形成的。在地球表面物体所受到的重力mg就是万有引力。其中M是地球的质量，R是地球的半径。弹性力物体受到外力作用会发生了形变，物体要恢复原来的形状，便产生了弹性力。弹性力的方向一般是恢复形变的方向。物体相互接触时所产生的相互作用力，实质就是弹性力。只是大多数物体的形变非常小，不被人们察觉。最典型的弹性作用力是弹簧的弹性力。fkx其中x表示弹簧

15、离开原长的距离，k为弹性系数，负号表示力的方向与x的方向相反。在以后的课程中，专门有一章详细讲解这个力的特征。摩擦力静摩擦力：其大小和方向取决于其它力被动力大小：0 最大静摩擦 fmax0 N，其中 0为静摩擦系数，(无量纲)，N为物体接触面间的正压力。方向：与运动趋势相反。如果静摩擦力的方向分析错了也没关系，只是在最后的结果中有一个负号，表明与分析的方向相反。滑动摩擦力大小： f N其中 为滑动摩擦系数，(无量纲)N为物体接触面间的正压力。方向：与相对运动方向相反。非惯性参照系与惯性力惯性参照系：参照系本身没有加速度。牛顿第二定律只适于惯性参照系。很多情况参照系具有加速度。实验：汽车上一光滑

16、的桌面上放着一个小球。车静止时：车上的人、桌、球相对静止。车以加速度a运动时：车上的人、桌依然相对静止，小球以a加速度运动。aa在车上的人看来，球在没受力的情况下做加速。在地面上的人看来，球在原地没动，只是车开走了。车上的人尽管相对车没有动，但他能够感觉到车加速。因为车作为参照系时，自身具有加速度，所以惯性定律不适用，故称之为非惯性参照系。在非惯性系中，牛顿第二定律不适用了，要想继续用牛顿第二定律，就必须在质点上加一个惯性力。F惯ma惯性力没有施力者，故找不出其反作用力。人能够感受到加速度。感受加速度的器官在内耳。例：有一个小球通过一根细线挂在车顶，当车静止时小球铅直向下，当车以加速度a开动时

17、与铅垂线夹角。a求：加速度与之间的关系。解：在车上观察，小车静止。由于车有加速度a，Tmamg则小球受惯性力f惯ma。取直角坐标系oxyx：maT sin0y：T cosmg0ag tg爱因斯坦：当光线通过大质量物体附近时将弯曲。？太空静止实验室 太空以g加速度地球上的实验室运动的实验室 与太空中以g加 速度运动的实验光线平直穿过 光线弯曲室相同以g加速度运动的实验室光线弯曲的大小：距离：300公里，光速：300000公里/秒tx/v300/300000=10-3y=1/2 gt2=1/2 x9.8x10-6=5x10-6(米)5（微米）如何验证爱因斯坦的结论？地球上质量最大的物体就上地球本身

18、，但也无法测出弯曲的距离。只有在天体中测量。未弯曲的光线地球月亮遥远的恒星太阳弯曲的光线牛顿力学的适用范围m0（微观粒子）时，牛顿力学不适用，量子力学。Vc（速度接近光速）时，牛顿力学不适用，相对论n（大量粒子）时，牛顿力学不适用，统计力学典型例题书中例题 2.9（p76）（非质点问题的处理方法）试证明在圆柱形容器内，以匀角速度绕中心轴作匀速旋转的流体表面为旋转抛物面。xyNmg证明：这是一个典型的非质点问题。处理非质点问题的方法：在流体表面取一小的体元m，这一微小的体元可以看成质点。分析小体元受力：重力mg：垂直向下；支持力N：液体的其它部分对小体元作用力的合力。选坐标系：以容器中心与液面的

19、焦点为原点，选直角坐标系0xy，如图x方向：N sinmx2 （向心加速度anx2）y方向：N cosmg两式相除得：tan x2/g，运用导数的基本性质：tan dy/dx ，可得：等式两边同时积分，y：0y；x：0x得：典型的抛物线方程。书中例题P82，例2.14 (变质量，变力问题)长为L质量为M的均匀柔绳，盘绕在光滑的水平面上，从静止开始，以恒定加速度a竖直向上提绳，当提起的高度为l时，作用在绳端力的大小是多少？当以恒定速度v竖直向上提绳，当提起的高度为l时，作用在绳端力的大小又是多少？解：随着绳子不断提升，被提起绳段的质量不断增大，是典型的变质量问题。这时牛顿第二定律应写成：这是牛顿

20、第二定律最正根的写法。m和v都是变量，根据导数的运算法则：被提起绳段的质量为：m（M/L）y被提起绳段受力为：F (提绳的力)；mg (重力)根据牛顿第二定律：将m的表示式代入得：整理：dy/dtv; dv/dta移项： 上式中，v是未知量，由于加速度是常量：当y0时，v0，得到 c0， v22ay若以恒定速度v向上提，a0，v为常量，则：作业：P.90：2.12, 2.13, 2.15, 2.21第三章 功和能rF第一节功和功率功的定义：力F与位移r的标积：AF·rFr cos变力作功 （重点）质点在移动过程中，力在变，力与位移的夹角在变。解决变力作功问题的方法：取一无穷小的位移d

21、r，在dr移动过程中，F可看成是不变的，由此得到元功：dAF( r )·dr经过积分即可得到由r0到r1所作的功：在直角坐标系中：F( r )Fx i +Fyj+Fzk ；drdx i dy j dz kdAFx dx +Fy dy+Fzdz书中例题3.1 (P.95)已知：F6x；cos0.700.02x求：质点从x110m到x220m过程中F所作的功。解：dAF cos dx6x（0.700.02）dx积分得：合力作功质点受几个力的作用FF1F2+Fn所作的功为：注意：F是矢量，F1F2+Fn是矢量和；A是标量，A1A2+An是标量和。矢量求和要用平行四边形法则，标量求和就是代数

22、和。功率：单位时间内所作的功xyzmg第二节几种常见力的功重力的功重力是恒定力，在直角坐标系下：Fx0； Fy0； Fzmg书中例题3.2 (p.98)yy/2一条长L，质量M的均匀柔绳，A端挂在天花板上，自然下垂，将B端沿铅直方向提高到与A端同高处。求：该过程中重力所作的功。解：提升高度y时，提的链长y/2提起部分受的重力dy上的元功为：弹性力弹性力表示为：Fxkx （胡克定律）元功为：dAFx dxkx dx从x1到x2做的功为：这里要特别注意的是：x必须取弹簧的原长为0点。书中例题3.3 (p.99)非胡克定律的弹簧：Fkxax3，其中k、a均为常数。求：从x1到原长过程中，弹性力做的功

23、。补充例题：例1准静态地提起一条长L，质量M的均匀柔绳，需要作多少功？解：单位长度绳的质量：M/L， x长度的绳子质量例2 习题3.5（P135），3.5）hHxdx蓄水池面积S，水深h，水面距地面H。求：抽出水需要作多少功？解：离地面x处，深dx的一层水的质量dmSdx，将dm水提到路面所需作的功：dAdm g x Sgxdx例3风力F作用于向北运动的船，风力方向变化的规律是：BS，其中S为位移，B为常数，为F与S间的夹角。如果运动中，风的方向自南变到东，求：风力作的功。解：元功：dAFdscos； 其中 BS积分限：风向由南变到东，则由0变到/2；S由0变到/2B小结：AFScos例1：F

24、变； 例2：S变； 例3：变书中例题3.12水平面内有一半径为R的圆，在圆内离圆心O距离为S处有一质量M很大，了视为固定的力心O，力心对单位质量的有心引力为r，r为力心至质量为m的质点Q位矢的大小，质点Q被限制在圆周上运动。求：（1）质点Q从B点由静止出发到r点有心力所做的功 （2）质点通过第二象限所经历的时间SdRRd解：B（1）如果采用极坐标，有心力只有r分量，没有分量，F=-mr如果将余弦定理带入，两个结果一样。（2）由动能定理第三节动能定理质点的动能定理由牛顿第二定律： 等式两边同时标乘dr，则：等式两边同时积分得：力对质点作的功质点动能的增量动能定理注意：1动能是标量，是能力的一种表

25、现形式。2动能定理说明了作功与动能的关系。即：合力作正功时（A>0），质点动能增加；【加速】 合力作负功时（A<0），质点动能减少。【减速】3方程左边的结果取决于F的具体函数形式，与力对质点的作用过程相关。功是过程量；方程右边与过程无关，只由始末运动状态确定。动能是状态量。书中例题3.11（p111）（重点）长为L的匀质链条，一部分在水平桌面上，另一部分自然下垂。链条与水平面间静摩擦因数为0，滑动摩擦因数为.y求：1）满足什么条件时，链条开始滑动？2）若下垂部分长度为b时，链条开始滑动，当链条末端刚刚离开桌面时的速度是多少？解：1）最大拉力：b0g， 摩擦力：0(Lb0)gb0g

26、= 0(Lb0)g2)重力和摩擦力做的功分别为：根据动能定理：质点组的动能定理由n个质点组成的系统中，第i个质点所受的力：FiFi内Fi外Fi内：内力，质点组内质点与质点之间的相互作用力。Fi外：外力，质点组外的力对质点组内的质点的作用力。对第i个质点应用动能定理：对n个质点求和得：质点组的动能定理：注意：内力总是成对出现的，按照牛顿第三定律，这一对力的矢量和为0，但这一对力所作的功的和不一定为0。功是标量，其和为代数和。xyba第四节势能保守力与非保守力力所作的功仅由质点的始末位置决定，与路径无关，这种力称为保守力。例：重力作的功：Fx0；Fymg质点由a移到b，重力作的功：从上式看到，从a

27、点到b点无论走哪条路径，重力作的功都式一样的。因为在水平移动时，重力不作功，只有垂直运动时，重力才作功。重力时保守力。弹簧的弹性力，万有引力，库伦力等都是保守力。 在一定空间内每一处的保守力的大小和方向都确定，这个空间就称为保守力场。摩擦力是非保守力。拉着箱子走不同路径时，摩擦力作功不相同。势能在保守力场中，质点的始末位置一定，力作的功便确定。根据动能定理，作功的结果是使质点的动能发生变化。这说明在保守场中，两点之间的能量不同，而且这一能量只与位置有关。当质点的位置改变时，这一能量便释放出来，转变成质点的动能。这就是保守场的势能。势能大小的确定：选空间上的一点M0为势能0点；由空间上M点到势能

28、0点M0过程中，保守力所作功的大小为该点的势能。注意：势能的大小由相对位置决定，没有绝对大小；势能0点的选取是任意的。对于弹簧的弹性势能，势能0点通常选弹簧的原长。i重力势能：选地面为势能0点，距地面高h处的势能为：其中负号表示重力mg的方向与z轴的方向相反。ii弹簧的弹性势能：选弹簧的原长位置为坐标原点，原长位置为势能0点，弹簧由原点拉至x处的势能：注意：因为弹性势能与x2成正比，（x+x）2与x2x2不同，弹簧的势能0点要选原长位置时，才有这么简捷的表达式。而重力势能与x成正比，重力势能0点的选择可以是任意的。当保守力作正功时，质点动能增加，势能减少；【势能动能】当保守力作负功时，质点动能

29、减少，势能增加；【动能势能】书中例题3.5（p103）mgN物体质量m，弹簧的劲度系数为k，自弹簧原长，无初速度加上物体。求：弹簧的最大压缩量ymax。解：重力和弹簧的弹性力都是保守力。初：动能0；重力势能mgymax，弹性势能0末：动能0；重力势能0，弹性势能1/2 kymax2重力势能转换成弹性势能mgymax1/2 kymax2ymax2mg/k在整个运动过程中，重力势能减小，动能增加，弹性势能增加；当Nmg时，物体受力为0，但这时物体具有动能，所以要继续压缩弹簧，直到动能为0，这时N>mg，物体在N的作用下往回运动，直到所有的弹性势能转换成重力势能才停下来（动能为0）。物体在力的

30、平衡点处（Nmg）上下振动。势能曲线与平衡稳定性由保守力可以求出势能函数；同样如果知道势能函数也可以求出保守力：（以一维情况为例）保守力作的元功： dA保Fxdx保守力作正功，势能减少；保守力作负功，势能增加。dEdA保Fxdx由此可得： 质点在平衡位置处：Fx0，则dE/dx 0xEpX0xEpX0xEpX0稳定平衡不稳定平衡随遇平衡dE/dx 0 dE/dx 0dE/dx 0第五节机械能守恒定律在保守力场中，质点由M1点运动到M2点保守力所作的功就是这两点之间的势能差：AEp1Ep2根据动能定理，保守力作功的结果是使质点的动能发生变化：由此得到：此式说明，在只有保守力作用时，质点的动能和势

31、能可以互相转换，但动能和势能之和保守不变。动能与势能的总和称为机械能。上式即为机械能守恒定律。在有非保守力存在时，机械能就不守恒了。末状态与初状态机械能之差，就是非保守力作的功。A（Ek2Ep2）（Ek1Ep1）A非以上结论对质点组也依然适用。C书中例题3.15（p126）物体M悬于弹簧上，弹簧的弹性系数为k，弹簧的原长与圆环的半径相等。B不计摩擦力求：物体自弹簧的原长无初速度的沿圆环滑至最低点B时所获得的动能。解：不计摩擦力，所以圆环只起到约束的作用。重力和弹性力都是保守力。初：重力势能mg（RRcos60o），弹性势能0，动能0末：重力势能0，弹性势能1/2 kR2，动能Ek机械能末机械能

32、初Ek1/2 kR2mg（RRcos60o）Ek3/2 mgR1/2 kR2第六节能量守恒定律能量除了机械能以外还有很多种形式，如热能，化学能，电能，核能等等。能量不能消失，也不能创造，只能从一种形式转换成另一种形式。质量可以转换成能量质能关系式：Emc2在核裂变时，裂变前后的质量不相等，有一部分质量转换成能量。作业：p.136 3.6 3.11 3.17 3.19 第四章 动量和冲量第一节 质点动量定理动量牛顿第二定律： (1)牛顿原来的写法： (2)(2)式的写法比(1)式的写法更具有普遍性。当m为常数时，(2)式由导数运算可得(1)式;当m为变量时，(1)式解决不了问题，但(2)式能解决

33、。Pmv就是大家非常熟悉的物理量动量(2)式可解释成：力的效果是使质点的动量发生变化。力质点动量的变化率冲量由(2)式两边同乘dt可得：等式两边同时积分得：(3) 冲量的定义：注意：(1)冲量是矢量。冲量的方向：与力F的方向没有必然联系，它由F对时间的积分决定。元冲量dIFdt的方向与F的方向相同。(2) 冲量与力的作用过程有关，是过程量。冲量的大小：即与F(t)函数形式有关，还与时间间隔（积分限）有关。tFFF(t)t0t1在许多实际问题中，往往不知道F（t）的函数形式，或者F（t）根本不能用解析式表达出来，这时常用力对时间的平均值（平均力）来表示冲量。这实质是利用了数学分析中的中值定理。动

34、量定理(3)式即为动量定理的数学表达式。(4)在积分式中，F（t）的函数形式往往不知道，或者很复杂，甚至积分限t0与t1也很难确定，但其积分的结果却是已知的。(4)式左边与力的作用过程有关，即与F(t)和t0、t1有关；(4)式右边与作用过程毫不相关状态量动量只与质点的运动状态有关，与力的作用过程无关，故称其为状态量。用语言表达(4)式：力对质点的作用过程的结果质点运动状态的变化。反过来看，要使质点由一种运动状态变到另一种运动状态，可以有无穷多种过程来实现。使质点由P变到P，F大，则t小；F小，则t大；乒乓球（m小）； 篮球（m中）； 铅球（m大）用拍打t小 先接后传t大落地书中例题4.1（1

35、43）已知：m10kg，F大小如图，摩擦系数0.2，v0=0F304t7求： t6s时木箱的速度。解：F的表达式：t00到t14s，F30N，t4s到7s，F7010t。t26s时，木箱的速度为v根据质点动量定理：将具体数值代入得：书中例题4.4（146）（重点）已知：质量为M，长为L的匀质链条，上端悬挂，下端刚和称盘接触，使链条自由下落。xL求：下落长度x时，称的读数。解： 称的读数 NmgFmg是落在称上的链条的重量，F是链条下落时具有速度v的一小段与称盘碰撞，速度由v变成0时给称盘的冲力。根据动量守恒定律：Fdtdm v dm 0dmM/L dx, v22gx称的读数是落在称盘上链条质量

36、的3倍。（参见P82，例题2.14）第二节 质点系动量定理内力与外力内力：系统内质点间的相互作用力。外力：系统外的物体对系统内质点的作用力。内力与外力的划分没有严格界线，根据研究对象而定。质点系动量定理系统（质点系）的动量：系统内各个质点动量的矢量和：对于由n个质点组成的系统中，每个质点所受的力有内力（质点间的相互作用力）fij和外力Fi。每个质点的动力学方程（牛顿第二定律）为： （5）将（5）式两边相加得：左：根据牛顿第三定律，f12f21， , f1nfn1内力总是成对出现的，并且为一对作用力与反作用力，所以内力相加的结果为0。左右= ， 此为系统的动量。（5）式为：式积分得：（7）和外力

37、的冲量系统动量的变化由（7）式看到，内力不改变系统的动量。（7）式为质点系的动量定理。第三节 质点系动量守恒定律当外力和为0时，（7）式为：（8）（8）式为质点系动量守恒定律一般情况下，外力为0的情况很少，但如果在某个方向上的投影为0的情况很多，根据动量的矢量性，在这个方向上质点系动量守恒。如： 则：注意：动量的概念是由牛顿第二定律引入的，牛顿第二定律只在一定条件下适用，而动量和动量守恒定律则不限于这个范围。书中例题4.7 (p154)已知：长L4m，质量M150kg的船静止在湖面上，人的质量m50kg，人从船头走到船尾。不计水的阻力。Ss求：人和船相对岸各移动的距离。解：人与船组成系统。MV

38、mvS和s分别表示船和人相对岸移动的距离，得：MSsmSsL将 SLs 代入 得sLS413（m）hHvrV书中例题4.8 (p155)在水平方向外力为0，水平方向的动量守恒。mvxMV0系统没有耗散力，机械能守恒。选水平面为重力势能0点：其中vr2vx2vy2vxvrcosV ；vyvrsin可得：碰撞问题：（1）完全弹性碰撞：动量守恒，动能守恒。质量 碰前 碰后m1，m2v10，v20；v1，v2动量守恒： m1 v1m2 v2m1 v10 m2 v20动能守恒： 1/2 m1v12+1/2m2v22=1/2m1v102+1/2m2v202两个未知数，两个方程，解得：（2）完全非弹性碰撞：

39、动量守恒，动能不守恒。质量 碰前 碰后m1，m2v10，v20；v （共同速度）动量守恒： （m1m2 ）v2m1 v10 m2 v20（3）非完全非弹性碰撞：动量守恒，动能不守恒。质量 碰前 碰后m1，m2v10，v20；v1，v2动量守恒： m1 v1m2 v2m1 v10 m2 v20回复系数： 两个未知数，两个方程，有解。从以上三种碰撞情况看到，动量总是守恒的，动量守恒的实质是作用力等于反作用力。书中例题4.10 (P157)质量为M的园盘，悬挂在弹性系数为k的轻弹簧下端，有一质量为m的圆环从离园盘高h处自由下落，与园盘做完全非弹性碰撞，碰撞时间很短，此后盘与环一起下降，试求下降的最大

40、距离l2 。解：因为有完全非弹性碰撞过程，所以整个过程机械能不守恒。整个过程分为3个过程：（1）圆环自由下落（势能变动能）；（2）完全非弹性碰撞（动量守恒）；（3）机械能守恒。第一过程：自由下落碰前的速度：mgh1/2 mv2 ，第二过程：完全非弹性碰撞园盘受重力（Mm）g和弹簧的弹性力F，这两个力都是有限大小的力，碰撞过程的作用时间极短t0，这两个力的冲量（Mm）gt0；Ft0，因此满足动量守恒条件。mv（mM）V第三过程：机械能守恒弹簧的势能0点选弹簧的原长l0。重力势能0点选最大拉伸长度l2。初始：终了：碰前拉伸长度：Mgkl1； （l1l2）弹性势能：1/2 k l12；1/2 k（

41、l1l2）2；重力势能：（mM）g l2； 0动能：1/2（mM）V2；0根据机械能守恒定律：将l1和V的值代入解得l2：第四节 质心与质心运动定理质心的定义M为系统的总质量。在直角坐标系中的投影为：例：由m1和m2组成的质点组（系统），坐标分别为x1，y1；x2，y2；其质心坐标为：代入具体数值：m11，m29；x10，y10，x210，y20xc（1×09×10）/（19）9m19，m21；x10，y10，x210，y20xc（9×01×10）/（19）1由此可直观地看到，质心靠近质量大的质点一侧。质心不限于质点组，连续的物体可看成是有无限多的质点组

42、成，这时求和变成了积分。质心与重心：在地球表面附近的小物体，质心和重心是一致的；在太空中有质心的概念，没有重心的概念；对于一座大山，各处的重力加速度的大小和方向都不能看成常量，这时质心和重心就不重合了。书中例题4.13(P164)dmx质量为M，长为L的匀质细杆的重心解：在连续的杆上取一体元dmdmM/L dx根据质心的定义：质心运动定理由质点系的动力学方程：P7, (6)式分子分母同乘总质量m得：也可写成：此式与质点的动力学方程形式完全一样。说明质心的运动规律，相当于将系统中所有质点的质量都集中在质心，所有的外力（无论作用在哪个质点上）也都集中在质心上的一个质点的运动规律。注意：一个系统中，

43、只有质心具有这个特性，其它点没有这个特性。这正是质心的特殊之处。内力对质心的运动状态不产生任何影响。书中例题4.14 (P.166)用质心运动定理解4.7题。解：人和船组成质点系，在水平方向上外力为0。根据质心运动定理，系统质心的加速度ac0。系统原来处于静止状态，人走动后，质心依然保持不变。走动前 走动后人相对岸的位置坐标： x1 ；x1船的质心坐标： x2；x2走动前;走动后走动后的位置变化：船相对岸移动了S， x2x2S 人相对船移动了l，人相对岸移动了lS，x1x1lS质心坐标保持不变：xcxc人相对岸的距离：lS413火箭飞行问题开始时火箭的质量为M0，火箭壳体的质量为M，燃料相对火

44、箭喷出的速度为u，开始时，火箭静止，不计重力和其它力。求：燃料烧尽后，火箭的速度。MMdmdmvv+dvv+u解：火箭喷出燃气，产生动力，速度增加，质量减小。火箭在dt时间内，喷出质量dm的燃料，dm相对火箭喷出的速度为u，。火箭 燃料质量 速度 质量 速度 系统动量t： m v dm v （mdm）vtdt： m vdv dm vu dm(vu)m(vdv)在不计外力的情况下，系统动量守恒：（mdm）vdm(vu)m(vdv)mvdmvdmvdmumvmdvmdvudm积分：此式称为齐奥尔科夫斯基公式。火箭之父，航天之父。（18571935）1898年他写了用于空间研究的反作用飞行器的论文，

45、提出了计算火箭速度的齐奥科夫斯基公式，并建议使用液体推进剂和多级火箭。为了宣传他的理论，齐奥科夫斯基在1929年出版了他的著名科幻小说在地球之外，描写2017年以后的年代里，一群来自不同国家的科学家和工程师们乘坐火箭驱动的飞船到太空旅行，他们先绕地球飞行，然后降落在月球上，随后继续飞行到火星附近，最后返回地球。补充例题习题指导44（P74）两个形状完全相同、质量都为M的弧形导轨A和B，放在底板上，AB导轨与地面相切，有一质量为m的小物体，从静止状态由A的顶端下滑，高度为h。所有接触面均为光滑的。试求：小物体在B导轨上能上升的最大高度。解：第一过程：m从A下滑，水平面方向外力为0，动量守恒。下滑

46、过程没有摩擦力，机械能守恒：当m滑到水平面时，m的速度为v，A的速度为vA：MvAmv0mgh1/2 MvA21/2 mv2解得：第二过程：m沿B上升过程，m上升到最大高度H时，相对B导轨的速度为0，两者以共同的速度u运动。水平面方向外力为0，动量守恒；没有摩擦力，机械能守恒。mv（Mm）u1/2 mv21/2（Mm）u2mgH解的H为：习题4.14一行李质量为m，垂直地轻放在传送带上，传送带的速率为v，它与行李间的摩擦系数为u。求：（1）行李在传送带上滑动多长时间？（2）行李在这段时间内运动多远？（3）有多少能量被摩擦所消耗掉？解：（1）行李的滑行时间为t，行李所受到的滑动摩擦力为mg，根据动量定理：mgtmv0tv/g行李在这段时间从静止滑动（加速）与传送带一起以速度v运动。（2）设行李在时间t内运动长度为x，根据动能定理：（3）行