第五章连续时间模型和Black-Scholes公式

1、第五章 连续时间模型和Black-Scholes公式金融市场学5.1 5.1 连续时间股票模型连续时间股票模型令S（t）代表某股票在t时刻的价格，假设 S（t）服从几何布朗运动，即股票价格变动由模型 来决定。其中S代表股票价格， 代表期望回报率， 代表资产波动率，dW代表标准布朗运动。d SS d tS d W （ 1 ）5.2 5.2 离散模型离散模型首先看离散资产价格模型。设在时刻 时的资产价格为 ，然后设 得到在0t T上离散时间的资产价格模型： 其次看连续资产价格模型，由(2)式分别表示 ，得到极限形式 itti t( )iS t0t1()( )( )( )0,1iiiiiiS tS

2、ttS ttS tN （2）()(2)()StStS L t、 0tL令或 1001LiiS tSttz 由 对（3）用中心极限定理，则 可表示为具有数学期望 和方差 的正态随机变量。即： 由此，在t时刻资产价格的动态连续时间可表达为： 还能离散地得到任意时间序列0=t0t1t2tm的资产价格为： 2122000log 1.121log32LiiitSttt ztzS 和则 有 （ ） 0lo gStS2122t 2201log,2StNttS 21200,14ittziS tS ezN 2111210,15iiii itttt ziiiS tS t ez N 资产价格路径的随机模拟 可以用（

3、5）计算资产价格路径的计算机模拟。假设以0=t0t1t2tm =T模拟S（t）的值，则可根据公式： 来计算故轨迹 就是离散资本几个路径，也可以用公式： 由于在风险中性世界里，所以资产的期望收益率等于无风险利率r 故（7）可以重写为： 通常以通过产生随机数或拟随机数来模拟资产的几个路径，不妨设 为n资产价格路径（n=1，2，N）则由（8）可得： 2111210,16iiii itttt ziiiSSez N 1MiiS,iit S 2120,17ittziS ttS t ezN 2120,18irttziS ttS t ezN 01,.,nnnkSSS2121=(9)nittnniiSS e 其

4、中 代表t-1到t的时间间隔，r代表无风险利率， 代表资产波动率， 代表相互独立的标准正态分布随机数。在估计期权价格时，我们需要估计到期日的现金流，可以通过多次价格路径模拟来估计。下面通过一些例子来看一看离散方法在模拟资产价格路径等方面的应用。对数正态模型 其中WT是均值为0，方差为T的随机正态分布变量， 将围绕该直线波动，因此，如果我们（采用对数纸）描述股价的对数图，我们可以看见这些点落在一条直线上，如果模型更接近现实的话，会有一些点偏离直线。tni220=5 .7TrTWTSSe （）0,1TWTzzN 20205.7=ln2ln2TTTSSrTWSrTW现将（）两边取对数，得到ln是一个

5、线性公式，5.3 5.3 连续时间模型的分析连续时间模型的分析方程 是一个随机微分方程（SDE），大多数的SDE没有简洁的的封闭形式的解，但幸运的是这个方程存在。其解就是几何布朗运动。 这正是具有连续时间变量T的离散模型（5.7） 这里，Bt是均值为0，方差为t的正态随机变量。由此得到的是股价的几何布朗运动模型（GBM）。注意： 右边的表达式是一个均值为 ，方差为 的正态随机变量。 在几何布朗运动模型中，有两个变量：波动率 和漂移率 ，但在定价欧式看涨期权时只需要估计 。公式中并没有用到 但这两个值如何来用股票价格估计我们还需要给出。dSSdtSdB220(5 .8 )tBttSSe 20ln

6、2ttSBtS22t2t几何布朗运动参数估计 假设有一段时间0,T内的股价记录。这段时间由n个长度相等的子区间 组成，再假设已知每个子区间末的股价，将股价表示为： ：第i个子区间末的股价，样本观测值为n+1个。 第一步：计算时间序列值： 由几何布朗运动模型 值满足如下等式： 几何布朗运动模型 具有下面的性质： 1、是一个正态随机变量，方差为 ，均值为0； 2、这些差是相互独立的随机变量。tiS112lnlniiinUSSUUU 得到数值序列、iU121=(5.9)2iiittUBBt 1iittBB1iittBBt第二步：计算系列数值 的均值和方差。 令 表示均值，则 样本方差 表示为：U的观

7、测值均值为 方差为第二步：解方程 和 得到 很容易得到：12nUUU、11niiUnUU2S2121=1niiSnUU212t2t212Ut22St和2/ 2USStt及5.4 Black-Scholes5.4 Black-Scholes公式公式我们先介绍与B-S期权定价理论有关的一些预备知识，这些知识主要是围绕着股票价格的变化过程而展开的，内容包括维纳过程、伊藤过程、伊藤引理、几何布朗运动、对数正态分布等等这些内容是理解期权定价和更加复杂的衍生证券定价的基础。维纳过程 在介绍维纳过程之前，先简单介绍一下马尔科夫过程。它是一种特殊的随机过程，在该过程中，变量的变化仅依赖于该变量前一瞬间的状态。

8、当变量遵从马尔科夫过程时，变量在相邻时间内变化的方差具有可加性，但标准差不具有可加性。马尔科夫过程的重要特征是：变量的随机变化是独立同分布的。 维纳过程是马尔科夫过程的特殊形式。如果变量服从维纳过程，则该变量的期望为0，方差为1.股票价格模型通常用维纳过程表达。在物理学中，这种过程也被称为布朗运动。 如果变量z=z(t)服从维纳过程，则其增量 必须满足如下两个基本性质： 性质1： 之间满足关系 其中 为从标准正态分布中抽取的一个随机值。 性质2：对任何两个不同的时间间隔的值相互独立。 由性质1，得出 服从期望值为0，方差为 ，标准差为 的正态分布。 性质2意味着变量z=z(t)服从马尔科夫过程

9、。 再由性质1，当 zzt和(1)zt tz。ztt0tzdzt 时，的微分形式为 （2）一般维纳过程 变量x服从一般维纳过程的定义如下： dx=adt+bdz （3）a是一般维纳过程的预期漂移率，b是波动率。 式（3）由两项组成，如果不考虑bdz，则有dx=adt或x=x0+at。其中x0为x在0时刻的值，经过t时刻后，x增加值为at。 如果仅考虑bdz，则dx=bdz，其中bdz可以看作是附加在变量x轨迹上的噪声或者波动，这些噪声或波动是维纳过程的b倍。将adt和bdz一并来考虑，则有dx=adt+bdz 。经过时间增量 之后，x的增量为 。将（1）代入上式，有如前所述， 是自标准正态分布

10、中随机抽取的值，因此 服从正态分布，期望值是 ，方差是 ，标准差是 txatbzxa t2btbt(4)xatbt 伊藤过程和伊藤引理 如果上面随机过程中的a与b是x和t的函数，则可得到伊藤过程: dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz （5） 其中dz是维纳过程。伊藤过程中的预期漂移率和波动率随时间而变化。 定理定理5.4.1（伊藤引理）假设变量x服从伊藤过程，设G=G(x,t)是x的二次连续可微函数，则G(x,t)遵从如下过程： 2221(4 )2GGGGdGabdtbdzaxtxx 证明：由二元函数的泰勒展开公式有： 因为 由该式有结果： 根据（6）有 将（6）（7）和（8）代入（5）

11、，得到令 得到 222222211.(5 )22GGGGGGxtxx ttaxtxx tt = ( , )( , )x a x tt b x tt (6)222=+xbt ot (7) 32= ( , )( , )x t a x ttb x ttt =o （8）22212GGGGxtbtotxtx 0t 2221(9)2GGGdGdxdtb dtxtx 再将dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz，代入（9）得到：由伊藤定理可知，如果x,t服从伊藤过程，则x,t的函数G也服从伊藤过程，不过漂移率和波动率分别为：222212GGGGabbxtxx和22212GGGGdGabdtbdzxtxx 证

12、毕不支付红利股票价格的行为过程 如果假设股票价格服从一般维纳过程，则有不变的期望漂移率和波动率，这不符合实际。所以，一般假设股票价格变化的比例dS/S服从一般维纳过程，即： 因此，股票价格S可用漂移率 和波动率 的伊藤过程描述，即： 其离散形式为：如果 为常数，则称式（10）为几何布朗运动。几何布朗运动是最广泛的描绘股票价格行为的模型。如果S服从伊藤过程，则S和t的函数G也服从伊藤过程。dSdtdzSSS(10)dSSdtSdz (11)SS tS z 和注意，S和G都受dz的影响，我们定义G=lnS，因为： 则（12）可简化为因为 为常数，所以（13）也是维纳过程，其漂移率是 波动率是 。因

13、此lnS在t与T时刻之间的变化服从正态分布，其期望值为 方差为 。这意味着： 2221= 0GGSSt，2(13)2dGdtdz 1=GSS，和2222Tt2Tt2222lnln,2lnln+,2TTSSNTtTtSNSTtTt 或2222222121=122GGGGdGabdtbdzxtxxGGGGSSdtSdzxtxx （）5.5 Black-Scholes5.5 Black-Scholes公式的推导公式的推导修正的模型 构造一个只包括股票和现金的简单组合，假设买了a股价格为S0的股票，现金为b元，则投资额为： 经过时间t后，投资的资金将变为 用无风险利率r贴现该值，得到 ，将（5.11）

14、变为 并代入上式得到： 所以：所以能够用投资组合未来价值的折现值计算0，即修正后的股价模型满足：因此修正的股价模型是：00=5.11aSb （）=rtttaSbe=rtrttteaeSb00=baS00=rtrttteaeSaS0000=(5.12)0(5.13)rtrtttrtrtttea eSSeaE eSS 故 E 0rtteE2200rtt zr tSeESe220rtt ztSSe二叉树模型参数的确定 目的：在衍生证券定价中，根据标的资产价格的波动情况确定二叉树模型中的参数（待定参数为：N，rf，u，d） 简单的：N， rf 周期数N自定，若衍生证券的有效期限为T，则每周期时间长度为

15、无风险利率 rf ，若按连续复利计算，则单周期的无风险利率为 麻烦的：u, d 由风险中性概率的存在性，记 得 从衍生证券定价的二叉树模型出发推导B-S公式/tTN 1r tfre11,ffrdurpqu du d 1r tfpuqdre 但风险中性概率是未知的，这个方程提供了p,u,d之间的一个关系，另一个关系方程需要从股票价格的统计量来得到。股票的连续复利增长率（对数收益率） 再假定的风险中性概率下，增长率的期望为： 增长率的方差为 当T=1时，年增长率的方差为: 001lnrTNTSyS eSTS即 111lnlnlnlnlnNnnnSNpuqdE yEpuqdTSTt 22221111

16、1122221lnlnln11lnlnlnlnlnNNNnnnnnnnnnSSSNVar yVarEETSSSTupuqdpuqdpqTtTtd221lnupqtd股票波动率股票年增长率的标准差 这个统计量在现实中可由股票数据和统计方法得到，于是成为关于p、u、d的第二个关系方程。联立方程有 ,lnr tr tr tttpqpqpuqdeeeudpqutdpqepeq常见参数选择方式 第三个方程的给出 （1）JR树p=q=0.5 （2）CRR树 u=1/d 在这个模型当中，方程被另外两个方程所代替： 这样结合ud=1可得：22221+21221212221122112r tr ttr ttrt

17、tttttr tr ttr ttrtttttteeeueeeeeeeedeeeee lnlnlnlnpuqdtutdt 1122tuept （3）Trigeorgis树ud=1 与CRR树类似，但仅将方程用 代替，结合方程与ud=1可解出： 对这些参数确定方式，在数值计算中继续讨论。lnlnpuqdt222+1122ttuept二叉树模型的极限形式BS公式二叉树主要是刻画股票价格变化过程 此时股票对数收益率 为独立同分布的随机变量 的和，而其期望与方差分别为 故期望与方差为：当 时，忽略一些无穷小项之后，可以说明从而由中心极限定理可知，当 时，y的极限概率分布是一个均值为 ，方差为 的正态分布

18、10111ln=lnNNnnnSSrTSTS1lnnnSS22lnlnlnupu qdpqd, 222lnln111lnpuqdEyNtTuVarypqNTtdTtT 2212E yrVar yT，0t 212r2T从而对t时刻的股票价格St有即T时刻的股票价格St服从对数正态分布，这与连续模型中假定股票价格为几何布朗运动是一致的。22011120,1ln+2NyrSZNZrTSTT 2200111ln,ln=+22ttSSZrtZrttSSt21+200,1tZrttSS eZN 【独立同分布的中心极限定理】设随机变量X1、 X2 XN独立同分布则随机变量：的分布函数FN（x）满足：即当N很

19、大时，yN近似服从N（0,1）。2,kkE XVarX1NkkNXNyN 2121limlim2NtkxkNNnXNFxPxedtN21,NkkXN NN近似服从二叉树模型的风险中性定价公式 考虑一个有效期为T，到期值复位F(S)的欧式衍生证券，在风险中性概率测度下，其价值为：若F(S)为线性函数，则当 时，F(ST)近似服从对数正态分布，于是采用对应的连续方法来求即得到二叉树模型的对数正态逼近模型： 下面利用上面的公式对欧式看涨期权进行定价，此时0rTNVeE F S0t 221220012ZrTTZrTrTTVeF SdP ZeF S eedZ 首先计算（5.17）括号中的表达式，当成立时，括号中的表达式非零。那么，通过解222201122001220=1,;5.172rTTTTrTTZrTTZrTTxrTTZrTF SSXVeESXSS eV eES eXVC S X TeS eXedx故有由因此从而 （）通过积分基本规则，我们将计算期望值。20exp02ST xrTX20exp=02STxrTX 222222002012201+2220-0l