在实际生活中,由于问题中含有大量的主、客观因素许多

1、在实际生活中，由于问题中含有大量的主、客观因素。许多要求与期望是模糊的，相互之间还会存在一些矛盾。所以无法单纯依靠一个数学模型求解。而用完全主观的定夺也常常表现为举棋不定，而最终选择不理想，甚至不满意的决策方案。美国运筹学家，T.L.Saaty等人在20世纪70年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法，称之为层次分析法（AHP法）。T.L.Saaty等曾把它用于电力工业计划，运输业研究，美国高等教育事业19852000展望，1985年世界石油价格预测等方面。主要特征：合理地把定性与定量的决策结合起来，合理地把定性与定量的决策结合起来，按照思维心理的规律把决策过程层次化、数量化按照思维心理的规

2、律把决策过程层次化、数量化第12章 层次分析法l运用AHP法进行决策时，主要分为4个步骤：(1) 分析系统中各个因素的关系，建立系统的递建立系统的递阶层次结构。阶层次结构。 (2) 对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较判断构造两两比较判断矩阵矩阵。(3) 针对某一个标准（准则），计算被比较元素计算被比较元素的相对权重的相对权重。(4) 计算计算各层元素对系统总目标的合成权重合成权重，并进行排序排序。12.1 层次分析法的基本步骤 1. 1. 建立系统的递阶层次模型建立系统的递阶层次模型l用AHP分析问题，首先要把问题条理化、层次化，构造层次分析的结构模型。

3、这些层次大体上可分为3类。(1) 最高层：在这一层次中只有一个元素，一般是分析问题的预定目标或理想结果，因此又称目标层、顶层。(2) 中间层：这一层次包括了为实现目标所涉及的中间环节，它可由若干个层次组成，包括所需要考虑的准则、子准则，因此又称为准则层。 (3) 最底层：表示为实现目标可供选择的各种措施、决策、方案等，因此又称为措施层或方案层。l层次分析结构中各项称为此结构模型中的元素。12.1 层次分析法的基本步骤 决策目标准则1方案1准则m1准则2子准则1方案2子准则2方案mr子准则m212.1 层次分析法的基本步骤层次分析层次分析结构模型结构模型l注：层次之间的支配关系不一定是完全的，即

4、可以有元素（非底层元素）并不支配下一层次的所有元素而只支配其中部分元素。这种自上而下的支配关系所形成的层次结构，我们称之为递阶层次结构。l递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及分析的详尽程度有关，一般可不受限制。 l为了避免由于支配的元素过多而给两两比较判断带来困难，每层次中各元素所支配的元素一般地不要超过9 9个，若多于9个时，可将该层次再划分为若干子层。12.1 层次分析法的基本步骤 例例1 1 选择科研课题:某研究单位现有3个科研课题，限于人力物力，只能承担其中一个课题，如何选择？l考虑下列因素：l成果的贡献大小，对人才培养的作用，课题可行性。l在成果贡献方面考察：应用价值及科学意义（

5、理论价值，对某科技领域的推动作用）。l在课题可行性方面考虑：难易程度（难易程度与自身的科技力量的一致性），研究周期（预计需要花费的时间），财政支持（所需经费、设备及经费来源，有关单位支持情况等）。12.1 层次分析法的基本步骤 12.1 层次分析法的基本步骤 合理选择科研课题A成果贡献B1人才培养B2课题可行性B3课题D1课题D2课题D3应用价值 C1科学意义 C2难易程度 C3研究周期 C4财政支持 C5方案层目标层准则层2.2.构造判断矩阵构造判断矩阵l上、下层之间关系被确定之后，需确定与上层某元素z（目标A或某个准则z）所支配的下层元素（x1，x2，xn)在z中的排序权重。这些权重p1，

6、p2，pn常常用百分数表示，即满足l方法：每次取2个元素，如xi，xj，以aij表示 xi 和 xj 对z的影响之比。这里得到的A A=(aij)nn称为两两比较的判断矩阵，简称判断矩阵。12.1 层次分析法的基本步骤 niiipp11, 10lSaaty建议用19及其倒数共17个数作为标度来确定aij的值，称为9标度法。其值由两两比较的心理习惯决定。 12.1 层次分析法的基本步骤 含义含义同重要同重要稍重要稍重要重要重要强重要强重要极重要极重要aij13579 2 4 6 8 l判断矩阵具有如下性质：(1) aij0(2) aij=1/aji(3) aii=1 l例如在例1中，准则层B对目

7、标层作因素两两比较，并可建立下面判断矩阵： B1：B2为3 B1：B3为1 即认为人才培养比另一项稍重要，另两项相同重要。由此可得如下判断矩阵：12.1 层次分析法的基本步骤 B1 B2 B3 B1 1 3 1 A= B2 1/3 1 1/3 B3 1 3 13.3.单层权重计算单层权重计算l采用特征根法，即采用判断矩阵最大特征根对应的采用特征根法，即采用判断矩阵最大特征根对应的归一化特征向量为权重向量。归一化特征向量为权重向量。(1) 求单一准则下元素两两比较的判断矩阵A(2) 求A的最大特征值max 及其对应的特征向量u u(3) 将u归一化，即12.1 层次分析法的基本步骤 niuuwn

8、iiii, 2 , 1,112.1 层次分析法的基本步骤 (4) 对判断矩阵进行一致性检验1) 计算判断矩阵A的最大特征值max 2) 求一致性指标3) 查表求相应的平均随机一致性指标R.I.4) 计算一致性比率C.R.= C.I./R.I.5) 判断：当C.R.0.1时，认为A有满意一致解，否则考虑修正判断矩阵A1.maxnnIC矩阵阶数矩阵阶数345678R.I.0.580.901.121.241.321.41矩阵阶数矩阵阶数910111213R.I.1.451.491.511.541.56例如 ， 对例1的判断矩阵 1 3 1 A= 1/3 1 1/3 1 3 1 (1) 计算出max=

9、3，(2) 归一化向量u u=(3/7，1/7，3/7)T ，(3) C.I.=(max-3)/(3-1)=0，(4) C.R.=0 是一致阵。12.1 层次分析法的基本步骤 如果 1 2 5 A= 1/2 1 7 1/5 1/7 1 (1) 计算出 max=3.1189，(2) u u=(0.5415，0.3816，0.0761)T(3) C.I.=（3.1189-3）/（3-1）=0.05945 (4) 查表得R.I.=0.52(5) C.R.=0.05945/0.52=0.11430.1，应修正判断矩阵。12.1 层次分析法的基本步骤 4.计算各层元素对目标层的总排序权重计算各层元素对目

10、标层的总排序权重l层次分析法的最终目的是求得底层，即方案层各元素关于目标层的排序权重。l层次总排序过程：计算同一层次所有因素对于最高层（总目标）相对重要性的排序权值。l从最高层到底层逐层进行：l设已算出第k-1层上nk-1个元素相对于总目标的排序为 w(k-1)=(w1(k-1)，w2(k-1)，w n (k-1)T12.1 层次分析法的基本步骤 k-1l第k层nk个元素对于第k-1层上第j个元素为准则的单排序向量l u uj(k)=(u1j(k)，u2j(k)，un j(k)T l其中不受第j个元素支配的元素权重取零，于是可得到nknk-1阶矩阵 u11(k) u12(k) u1n (k)

11、U(k)= u21(k) u22(k) u2n (k) un 1(k) un 2(k) un n (k)12.1 层次分析法的基本步骤 k kkkk-1k-1k-1l第k层上各元素对总目标的总排序w(k)为 w(k)=U(k)w(k-1) w(k)=U(k)U(k-1) U(3)w(2)w(2)为第二层上元素对目标的排序（即是单层排序）l整体一致性检验l由高层向下逐层进行检验C.I.的计算公式为：R .I.的计算公式为：一致性比率为：12.1 层次分析法的基本步骤 k11)()1()(.knjkjkjkICwIC11)()1()(.knjkjkjkIRwIR)()()(.kkkIRICRC1.

12、某工厂有一笔企业留成利润，要决 定如何使用。 供选择方案： 作奖金，集体福利设施，引入设备技术 建立如下层次分析模型：12.2 应用举例目标层：准则层C：方案层P：合理使用留成利润 A改善职工生活条件C3提高技术水平C2调动职工积极性C1引进设备技术P3福利P2奖金P112.2 应用举例A-C判断矩阵: A C1 C2 C3 w(2) C1 1 1/5 1/3 0.105 C2 5 1 3 0.637 C3 3 1/3 1 0.258 max=3.038 ，归一化特征向量w(2) C.I.=0.019 ， C.R.=0.032760.1 满意的一致性12.2 应用举例C1-P: C1 P1 P

13、2 U1(3) P1 1 1/3 0.25 P2 3 1 0.75 max=2 C.I.=0 12.2 应用举例C2-P: C2 P2 P3 U2(3) P2 1 1/5 0.167 P3 5 1 0.833max=2 C.I.=012.2 应用举例C3-P: C3 P1 P3 U3(3) P1 1 2 0.667 P2 1/2 1 0.333 max=2 C.I.=0 12.2 应用举例 0.25 0 0.667 U(3)= 0.75 0.167 0.333 0 0.833 0w(3)=U(3)w(2)=(0.198，0.271，0.531)T得到P3优于P2又优于P1，从分配上可以用53.1%来引进新设备、新技术；用19.8%来发奖金；用27.1%来改善福利。12.2 应用举例2.2.层次分析法对于下面几种情况的优化问题特别适用：问题中除可计量的量外，还存在不可计量的量时，可用AHP通过对不可计量的量与可计量的量的相对比较，而获得相对的量测；当优化问题的结构难以事