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文档简介
1、样本及抽样分布,、填空题 1 ?设来自总体 X的一个样本观察值为:2.1, 5.4, 3.2, 9.8, 3.5,则样本均值=4.8,样本方差 =2.716 2 ;2. 在总体XN(5,16)中随机地抽取一个容量为36的样本,则均值X落在4与6之间的概率=0.9332 ;3. 设某厂生产的灯泡的使用寿命XN(1000,二2)仲位:小时),抽取一容量为9 的样本,得到 殳二 940,s =100,贝U P(X : 940) =;74. 设 X1,X2,., X 为总体 X N(0,0.5 2)的一个样本,则 PL Xi2 4)= 0.025 :i=15. 设X1,X2,.,X6为总体XN(0,1
2、)的一个样本,且CY服从2分布,这里,丫 =(X1 X2 X3)2 (X4 X5 X6)2 ,贝U;6?设随机变量 X,Y相互独立,均服从N(0,32)分布且X1,X2,.,X9与丫,丫 2,., 丫 9分+ X别是来自总体X,Y的简单随机样本,则统计量 U二入1入9服从参数为 一9曲+丫 2 的_L_分布。7. 设X1,X2,X3,X4是取自XN(0,22)正态总体的简单随机样本且丫 =a(X-2X2)2,b(3X3 -4X4)2,贝U a = 0 , b 二 QM 时,统计量 丫服从2分布,其自由度为一 2_;8. 设总体X服从正态分布XN(0,2 2),而X1,X2,.,X15是来自总体
3、的简单随机样本,则随机变量丫 x77利服从E分布,参数为105;19. 设随机变量 Xt(n)(n 1),Y2,则丫X110. 设随机变量 xE(n,n)且 P(X|A) = 0.3 , A 为常数,则 P(X a )= 0.7A2(X11+.+X15)2 - 1n11若1,是取自正态总体N (,;2 )的一个样本,则i服从n挡12样本(Xi, Xn)的函数f (Xi, ,X n)称为,其中f (X1,,Xn)不含未知参数。13设总体X服从N (匚2), X和S2分别为来自总体 X的样本容量为n的样本均值和方I则i-(Xi -X )2 差,2(n - 1)S2Cr14设随机变量X和Y相互独立且
4、都服从正态分布N (0,32 ),而X1,,X9和第,丫 9分别Y +V是来自总体X和丫间单随机样本,则统计量U = X曲十二+丫 92x9服从分布。t (9)15设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N (0,32 ),而X1,,X9和第,丫 9分别是来自总体X和丫的简单随机样本,则统计量7 = XY + 算服从 +丫 9分布。F(9,9)1、选择题1?设总体 X服从正态分布N (j二2),其中二为未知参数,是取自总体 X的一个容量为3的样本,下列不是统计量的是X3) D. (X1X2 X3)41 16则3XXi ,CT16 yD. N(0,1)1 n个样本,XXi,n i#1A. X1
5、X2 X3 B. maxX1,X2,X3 C. (XX22.设X1,X2,X16是来自正态总体 N (2,;2)的一个样本,).2A. t(15)B. t(16)C.2(15)设X1,X2/ ,Xn是取自正态总体X? NC-2)的(Xj -X) 2,则丫 = n-1仪)服从的分布是(n i iA. t(n _1)B. t(n)C.2(n-1)D.4.设X1,X2,.,Xn是来自总体N (字2)的简单随机样本,X是样本均值,记s2诂肿”4匕Xi-X) 2,亠我-听n11A.是分布函数B.依概率收敛于F(X)c.是一个统计量D .其数学期望是F(X)6.设总体X服从O 1分布,人公2,X5是来自总
6、体X的样本,X是样本均值,则下列各选项中的量不是统计量的是(A. min X!,X2,X3,X4,X5B. X DXC. maxMXXXXD. X5-5X7.设X-X2,Xn是正态总体N(? ; 2)的一个样本,其中已知而匚2未知,则下列各选项中的量不是统计量的是(C )。nA.、(Xi 72tn11 謠B . (XiX) n i 吕一i吕nXi 2C. Q)2i 1、D. min Xi1s:二 (Xj ? i)2,则服从自由度n 1的t分布的随机变量是T二(A ); n i AA. X 二B . _X 二c.S、n -1S . n -15.设Fn(X)是经验分布函数,基于来自总体F (X)是
7、X总体的分布函数,贝U下列命题错误的为,对于每个给定的X,Fn(x)S3、n-1X - 1S4n-1X的样本,而8.设XX2,Xn和分别来自两个正态总体N(-1,22)和N(2,5)的样本,且相互独立,S2,S2分别为两个样本的样本方差,则服从F(7,9)的统计量是(B )B9. 设XX2, Xn是正态总体N(,2)的一个样本, 和样本方差,则下面结论不成立的有(X和S2分别为样本均值A. X,S相互独立;B . X与(n - 1)S2相互独立;C. X与一(Xi -X)相互独立D ?CT i 410.是正态总体N(f2)的一个样本,S2X与r V (Xj )相互独立CT _i1 n _ 设
8、XX2,Xn(X-X)2,n -1 丄则D(S2)等于()12.设Xi,X2,Xn是正态总体N(r; 值和样本方差,则(C)XA.孑卩(1, n-1)C.答F(1,n 1)S13?设随机变量 X,Y都服从标准正态分布,则(A) X + Y服从正态分布。(C)X 2和Y2都服从2分布。14?设总体2)的一个样本,X和S2分别为样本均2 2(n-1)XB.sF(1, n)2 2D. 4-gx ? F (1, n 1)X服从N(1,9) , X1,X9为X的样本,则有(S)。(B) X2 + Y2服从2分布2 2(D) X / 丫服从F分布X J(A)? N(0,1)1X 1(B)? N (0,1)
9、3X 一 1 K. / A(C).? N(0,1)9X(D )N(0,1)A 石XSnxC. nXnXs14 a4 CT2 二 4A.B.C.D.nnn 1n-111 .设 X1,X2,. .,Xn是正态总体N (怙2)的一个样本,X和S2分别为样本均值和样本方差,则服从自由度为 n 1的t分布的随机变量是(C )X和S分别为样本的均值和标15?设X1 Xn是来自正态总体 N(0,1)的简单随机样本,准差,则有(A )n X ? N (0,1)( B )X ? N(0,1)( C) X ? t (n-1)(D 八 X:? 2 (n)S y2 216 . 设 X , Y 相互独立 ,X ? N(
10、r,6 ), Y ? N02f2 ) ,Xi,Xni为X 的样本 ,Yi/ Yn2为Y的样本,则有()。2 2 2 2 1C 2iC 2(A )X - Y ? NGV2, 1-) (B )X - Y ? N(r2, 1-)n1 n2n1n22 2(C ) X Y ? WJ,12) ( D ) X Y ?n1n2N( ,厂 1 V) mn2三、解答题1. 设 X1,X2,X3 是总体 NOf 2)的一个样本,其中已知而二 0 未知,则以下 的函数中哪些为统计量?为什么?(1) X1 X2 X3 ;是(2) X3 31 ; 是(3) X1 ; 是(4) X;; 是;Xi/(5) 72 ;不是/ C
11、T(6) maxX j; 是(7) 二 X3; 不是2. 在总体 N(52,6.3 2)中随机地抽取一个容量为 36 的样本,求样本均值 X 落在50.8 与 53.8 之间的概率。解 : X N (52,垃)361_ X _ 52P 50.8 : X : 53& = Pf 1.142 1.714 /6.3/ 6对下列两种X 与样本方差= G ( 1.714 ) _:. :( 1.142) =0.82933.情形中的样本观测值,分别求出样本均值的观测值的观测值S2 ,由此你能得到什么结论? 2 2(1) 5, 2, 3, 5, 8: x=4.6 S -2.059(2) 105, 102, 10
12、3, 105, 108 X =104.6 S2 = 2.0594.设Xl,X2,Xn是取自总体X的一个样本.在下列三种情形下,分别写出样 本Xi , X2, ,Xn的概率函数或密度函数:(1)X B(1,p) ; X Exp( -);n7X二 px-p1 i1)ii=1(3) X U (0, 力门 0。P(X1=X1X 2= X 2;Xn =Xn_,X,x 0x nhe*- -i|n he*ni,Xi 0(i =1,2,n)iT! cO,0X (i=1,2,,n)f( X) 0Z0f(Xl,X2, ,Xn)二二 f(X) =im解:(1) P(X 二 Xi) =pX(1-p)J,i =0,1I
13、 1 0 f(x)二 J0, 心 0f (X1,X2,,Xn)= 口 f (Xi) = Wn 0 牛兰日(i =1,2 ,n)Qo.w5.设Xi,X2,Xn是取自总体X的一个样本?在下列三种情形下,分别求出E(X),D(X),E(S 2).(1) X B(1,P) ;E(X )= p D X=)P( 1- P ) oE,S2(詡n-p(1 )(2) X Exp( ) ;E(X) ,D(X)2,E(S ) XU(0,R,r 0 。E(X) ,D(X),E(S 2) =12n126设Xi,X2,.,Xn是独立同分布的随机变量,且都服从N (0,二 2),试证:(1)n1V Xi2 2(n); 口
14、i =1(2)nn3i)2 2解:(1)Xi,X2,Xn是独立同分布的随机变量,且都服从N(0f 2)CTXN (0,1), L(i =1,2n)独立,CTn n X4 Xi2 八(纠 2? fn)(2)、Xi、Xi N(0, nJ, 7 N(0,1)gn丸 XJ22(1)7?设X1,X2是取自总体X的一个样本.试证:Xi-X与X2-X相关系数等于-1.解:(XXi +X21 rCoV(X 1, X) =CoV(X 1, 12)= cov(X1,X1)covX X 2)2 2 2 2 二 2 11 2(二 0)1 212I 2-CTD( X1 X)=D(X 1)D(X)-2cov( X 11X
15、)r_ 1 _ 1同理 cov(X2,X)2,D(X2-X)二2cov(X 1 -X,X2 -X)2 CF -0 -2 22CT CT二 cov(X1,X2) cov(X 1 ,X) cov(X,X 2) cov(X,X)2CXI (LL eX NLSCXlOCXIrSQ0bCXI)XOb(X I 2X2 )2 .(3X3- 4X4) 2 ? 2(2)、20 . 1001 2 1 2 2(Xi -2X2) E(Xi Xn i -2X)2 =E(X i Xni -2X) 2 D(Xi X., -2 天)=0 2;=2 二(3X3-4X4) 2 2(2)20 1001 . 1a , b =20 10012.设X,X2,Xn,Xn1是取自正态总体 N(T2)的一个样本,记X ;丄 XiS :丄 (Xi X)2n yn i 二试证:统计量,XnH t(门);13.设总体X服从正态分布N(,2)
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