微积分试题集

1、微积分试题集一季、计算下列极限：（每题5分，共10分）5.设 f (x)sin bxx3,ax 1sin x4.若x0时,J1 k x2 1与xsinx是等价无穷小，求常数k的值.2xsin , x 0,xx 0,在x 0处连续，求a,b的值.二、导数与微分：（每题5分，共25分）sin x1 .设 y x ，求 dyx_.22 .求由方程xy ey ex所确定的曲线y y（x）在x 0处的切线方程3.利用微分近似计算，求3/8.024的近似值.2 .14.x sin , x 0,x设 f (x)求 f (x). ln(1 x ) x 05.求曲线f （x）3x35 2一x 的拐点.3三、计算

2、下列各题：（每小题8分，共16分）1 .设某商品的价格P与需求量Q的关系为Q 80 P2,（1）求P4时的需求弹性，并说明其经济意义.（2）求当价格P为何值时，总收益R最大？并求出此时的需求价格弹性Ed. 一一 F(x)2 .设 F(x)为 f (x)的原函数，且 f (x) L ')，已知 F(1) e2, F(x) 0,求 f(x). .x(1 x)四、证明题：（每小题5分，共10分）1 .当 x 0 时，证明：(1 x)ln(1 x) arctan x.f (x). 2 .设f (x)连续且lim 8 ,试证明x a是f (x)的极小值点。 x a x a二季、填空题（每小题 4

3、分，本题共20分）函数f(x)ln(x 2)的定义域是32.若函数f (x) xS x k,1,0,在x 0处连续，则k03 .曲线y 6 在点（1, 1）处的切线方程是4 (sinx) dx35.5 .微分万程（y ） 4xy y sin x的阶数为二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）1.设 f (x1)A. x(x1)C. x(x2)2)(x 1)2.若函数f （x）在点xo处可导,则（）是错误的.A .函数f （x）在点x0处有定义B.lim f (x) A,但 A f (x0) x x0C.函数f （x）在点xo处连续函数f （x）在点xo处可微3.函数y (x2,1）在区间（2

4、,2）是（A.单调增加C先增后减4.xf (x)dxA.xf (x) f (x)c B.xf(x) cC.12 r-x f (x) c2D.(x1)f (x)dy-x y; dxb. dy xy y dxdyon-xy sinx； dxD.dxx(yx)5.下列微分方程中为可分离变量方程的是（)A.C.三、计算题（本题共 44分，每小题11分）i.计算极限lim6x 85x 42 .设 y 2xsin 3x,求 dy.3 .计算不定积分xcosxdx4.计算定积分e1 5ln x dx1 x四、应用题（本题16分）欲做一个底为正方形，容积为 32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省?微积分

5、初步期末试题选(一)(1)函数 f(x)的定义域是ln(x 2)(2)函数 f(x)244 x 的定义域是ln(x 2)(3)函数 f(x 2)2x 4x 7,贝U f(x) (4)若函数f (x)xsin 1, x 0 Ax在x 0处连续，则kk, x 02 函数 f(x 1) x 2x,则 f(x) .一，,x2 2x 3(6)函数y 的间断点是x 11 lim xsin- .x xsin4x(8)右 lim 2 ,则 k .x 0 sin kx2.单项选择题、x xe e(1)设函数y ,则该函数是().2A.奇函数 B.偶函数C.非奇非偶函数 D .既奇又偶函数(2)下列函数中为奇函数

6、是().a. xsinxx xe e2b. c. ln(x V1 x )22D. x x(3)函数yA x 5 ln(x 5)的定义域为(x 4B x 4 C x 5且 x 0).D2(4)设 f (x 1) x 1 ,则 f (x)()2A. x(x 1) B . xC. x(x 2)D . (x 2)(x 1)微积分初步期末试题选(二)当k ()时，函数f (x)xe 2, xk, x0在x 0处连续.0A. 0 B. 1C. 2D. 3(6)当k ()时，函数f(x)2x 1, xk, xA 0B. 1函数f (x)A. x 1,x 2(1)C . 2 D ,1x 3二的间断点是()x2

7、 3x 2C. x 1, x 2, x 33.计算题x2 3x 2lim2x 2 x 4(2)3x2 9x2 2x 3(3)6x 85x 41 .填空题(1)曲线f(x)JX 1在(1,2)点的切斜率是(2)曲线f(x) ex在(0,1)点的切线方程是 .已知 f (x) X3 3x ,则 f (3) =(4)已知 f (x) ln x ,贝U f (x)=若 f (x) xe x,则 f (0)2 .单项选择题(1)若 f (x) e xcosx ,贝 u f (0)=().A. 2B. 1C.-1D.-2设 y lg2 x ,则 dy ().A.-dx b . -1dx C 2xx ln1

8、0(3)设y f(x)是可微函数，贝U df(cos2x)a . 2f (cos2x)dx bf (cos2x) sin 2xd2xc . 2f (cos2x)sin 2xdx df (cos2x)sin 2xd2xsin x d . cosx3(2)设 y sin 4x cos x ,求 y(4)若 f(x) sinx a3,其中 a是常数，则 f (x)().2A - cosx 3a b . sinx 6a c3 .计算题1(1)设 y x2ex ,求 y设y e、小?，求y(4)设 y x& ln cosx ,求 y微积分初步期末试题选（四）1.填空题2(1)函数y 3(x 1)

9、的单调增加区间是 .2 函数f (x) ax 1在区间(0,)内单调增加，则a应满足2 .单项选择题2(1)函数y (x 1)2在区间(2,2)是()A.单调增加B .单调减少C.先增后减D .先减后增(2)满足方程f (x)0的点一定是函数 y £葭)的().A极值点 B.最值点 C .驻点 D.间断点(3)下列结论中()不正确.A . f (x)在x x0处连续，则一定在 *0处可微.B . f (x)在x x0处不连续，则一定在 x0处不可导.C .可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D.函数的极值点一定发生在不可导点上.(4)下列函数在指定区间(，)上单调增加的是().x2a

10、 . sinx b . e c . x d . 3 x3 .应用题(1)欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省?3 (2)用钢板焊接一个谷积为 4m 的正方形的开口水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少?1.填空题(1)若f (x)的一个原函数为ln x2 ,则f (x) 若 f (x)dx sin2x c,则 f(x).若 cosxdx 2(4) dex . (sinx)dx (6)若 f (x)dx F (x) c ,贝U f (2x 3)dx(7)若 f (x)dx F (x) c ,贝U xf (

11、1 x1 2)dx12(8)(sinxcos2x x x)dx .(9)ddxeln(x21)dx0 2x(10)edx=2.单项选择题（1）下列等式成立的是（）.x .3 dxd3xln3a. d f (x)dx f (x)c f (x)dx f (x) dx(2)以下等式成立的是().1、A lnxdx d(-) b xC. dx d-.x D xB.f (x)dx f (x)D.df (x) f(x)sin xdx d(cosx)(3)xf (x)dx ()A. xf (x) f (x) c B.xf (x) c x x1 e e , dx12 x x1 e e , dx12C.(x3

12、cosx)dx(x2sin x)dx(5)设f (x)是连续的奇函数，则定积分f(x)dx0A. 0 B. f (x)dx(6)下列无穷积分收敛的是(f(x)dxD.0f-a(x)dxA.0 6nxdxB.-dxxC.3.1dx1 x计算题D.2x .e dx(1)(2x 1)10dx(2).1 sin- -2xdx x2 e xd x2e xln 20 ex(4ex)2dxe1 5lnx ,dxx(6)1 x , xe dx02 xsin xdx0微积分初步期末试题选(五)1.填空题， 1 (1)已知曲线 y f(x)在任意点 x处切线的斜率为_L ,且曲线过(4,5),则该曲线的方程x是

13、.(2)由定积分的几何意义知，aja2 x2dx=.o(3)微分方程y y, y(0)1的特解为 .(4)微分方程y 3y0的通解为 微分方程(y )3 4xy(4)y7 sin x的阶数为2.单项选择题).(1)在切线余率为2x的积分曲线族中，通过点(1,4 )的曲线为(A. y = x2 + 3 B . y = x2 + 422.C y x 2 D . y x 1(2)下列微分方程中,)是线性微分方程.2A . yx lny yB2 xy y xy eXd. y sin x ye y ln x(3)微分方程y 0的通解为().a . y Cx b . y x C C . y C下列微分方程

14、中为可分离变量方程的是(A.C.dy dx dy dxB.xy sinx；D.dydxdydxxy y ；x(y x)三季10分).选择题(选出每小题的正确选项，每小题2分，共计11 lim 2" 。 x 0(A ) -(B ) +(C) 0(D)不存在x x2 .当X 0时，f(x)的极限为。X(A ) 0(B )1(C) 23 ,下列极限存在，则成立的是 。f (a x) f (a)(A) lim - f (a)x 0xf(x。t) f(x。t)(C) jim 2f (%)t 0t(D) 不存在(B)limf(tx) f(0) tf (0)x 0 x(D)limf(x) f(a)

15、a xf (a)设f (x)有二阶连续导数，且f (x)f (0) 0,lim 一(-2 1,则f 0 是f(x)的x 0 V(A) 极小值(B )极大值(C )拐点(D)不是极值点也不是拐点5 .若f (x) g (x),则下列各式 成立(A) f (x)(x) 0(B) f(x) (x) C(C) df(x) d (x)d , d(D) f (x)dx (x)dx dxdx二、填空题(每小题3分，共18分)1 .设f(x)在x 0处可导，f(0) 0,且lim f(2x)1,那么曲线y f (x)在原点处的切x 0 sinx线方程是。2 .函数f(x) xj3 x在区间0, 3上满足罗尔定

16、理，则定理中的 =13 .设f(x)的一个原函数是，那么f (x)dx 。In x4 .设f (x) xe x,那么2阶导函数f (x)在x 点取得极 值。5.设某商品的需求量Q是价格P的函数Q 5 2 ,?,那么在p = 4的水平上，若价格下降1%,需求量将。6 .若 y f (u),u -，且 f (u) - , "dy x 1u dx三、计算题(每小题 6分，共42分)：11、求lim(inx)E x e12 lim (1 x)ex XX一 .一、.一113、设x 时，无分小重 一2，求吊数 a、b、c.ax 2x c 1 bx4、(x 2)、x1dx5、ln(ex 2)dx6

17、、xcosx , 3 dxsin xf (0) x 07、设函数f(x)具有二阶导数，且f (0) =0,又g(x) f (x)，求g (x)x 0x四、应用题（8分）1,假设某种商品的需求量 Q是单价P (单位元)的函数：Q=1200-8P;商品的总成本C是需求量Q的函数: C=2500+5Q。(1) 求边际收益函数和边际成本函数；(2) 求使销售利润最大的商品单价。 2x 1 五、(12分)作函数y 二的图形(x 1)六、证明题(每题 5分，共计10分)1、设函数f(x)在a,b上连续，且f (x)在(a,b)内是常数，证明f(x)在a,b上的表达式为,f(x) Ax B,其中A、B为常数

18、。2、设函数f(x)在0,)上可导，且f(x) k 0, f (0)0.证明f(x)在(0,)内仅有一个零点。四季、填空题(每小题 4分，本题共20分)1 . 一1 .函数f(x)的定义域是. 5 x一 12 11m xsin .x x3 .已知 f(x) 2x,则 f (x)=.4 .若 f (x)dx F(x) c,贝 U f (2x 3)dx 5 .微分方程xy (y )4 sin x ex y的阶数是二、单项选择题(每小题 4分，本题共20分)x xe e 1 .设函数 y ,则该函数是().2A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数2 .函数f (x)x 3x2 3

19、x 2的间断点是(A. x 1,x2 B. x 33 .下列结论中()正确.C. x 1,x 2,x 3D.无间断点A . f (x)在x x0处连续，则一定在 x0处可微.B .函数的极值点一定发生在其驻点上 .C . f (x)在x x0处不连续，则一定在 x0处不可导.D.函数的极值点一定发生在不可导点上.114 .如果等式f(x)exdxex c,则f (x)111A. B. -C. D.xxx5.下列微分方程中，()是线性微分方程.)12x.2A. yx cos y yb . y y yxC. y xy ln yd . y sin xsin xy ex y ln x三、计算题(本题共

20、 44分，每小题11分)i.计算极限limx 2X2 3x 2x2 42 .设 y e 2x xJX,求 dy.3.计算不定积分sin x% xdxi x4.计算定积分 2xe dx 0四、应用题（本题16分）3用钢板焊接一个谷积为 4 m 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水 箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少?五季、填空题（每小题 4分，本题共20分）-1L函数f(X)的定义域是4 X22 .若 lim sn44 2 ,则 k .x 0 kx3 .已知 f(x) ln x ,贝U f (x) =.4 .若 sinxdx 5 .微分方程xy （y ）

21、4 sin x ex y的阶数是、单项选择题（每小题 4分，本题共20分）1 .设函数y xsinx,则该函数是（）.A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数x 1 x 0_2 .当k=（）时，函数f（x），在x 0处连续.k x 0A. 1 B. 2C,1D, 03 .满足方程f （x）0的点一定是函数 “*）的（ ）。A.极值点 B.最值点C.驻点 D.间断点a4 .设f(x)是连续的奇函数，则定积分f(x)dx ()-a00aa. 2 f (x)dx b. f (x)dx c. f (x)dx d . 0-a-a05 .微分方程y y 1的通解是()Cx 1x12a.

22、y e ； b. y Ce 1 ； C. y x C ； d. y - x C3x 2 x2 4三、计算题(本题共 44分，每小题11分)2xl计算极限lim 一x 232 .设 y sin 5x cos x ,求 y-一 (1 x)2 .3 .计算不定积分 ' d dxxx4 .计算je积分一sinxdx0 2四、应用题(本题16分)欲用围墙围成面积为 216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的 长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？微积分习题集答案一季一、计算下列极限：（每题5分，共25分）1.x arctanxln(1x3)lxm0x arct

23、anxlim2.lim(1x2)1 cosxlim空x2)limx27723.limx 0x tan xlimx 0tanxxtan xlimx 04.0时,解：由于5.设 f (x)limx 0,2tan x2xlimx 02xtan x2 x3xlimx 02sec2x.x limx 0 20。k x2 1与xsin x是等价无穷小，求常数k的值.0时有Jisin bxx3,ax 1sin x解：由左连续与右连续分别得f(x)kx2xsinsin bx3 limx 0f(x)limax 1sin x所以得a3。二、导数与微分：（每题5分，共sin1.设 y xdyx.2解：两边去对数得ln

24、 yy , 一 cosx ln xy1 . sin x1: kx222 xsin 一xlimx 025分)11 x20,0,limx 0sin x ln x,再求导得x ,整理后得yxsinx0处连续，求a,b的值.ax ln a ln a ,cosxlnx 1sinxx当x 时有 y2sin2 cos In 一2222-sin -21,所以 dy x dx o2.求由方程xy ey ex所确定的曲线yy(x)在x 0处的切线方程解：易知x 0时有y 0。求导得 y xy ey yex，将x y0代入则有y x o线方程为 y x3.利用微分近似计算，求3 8.024的近似值.解：令 y f

25、(x) 3/x ,则 f(x)1c3 -23% x取Xo0.024,则有3 8.024 3 8dyy dx33E0.0240.002 ,所以3 8.0242.002 o4.设f(x)2 ch 1x sin ,x0,f (x).解：f(x)ln(1x2)limx 0limx 0f(x)xf(0)limx 0xsin1 0,xf(x) f(0)1 2xsin x05.求曲线f (x)解：求导得 f (x)显然，当x 0时flim2ln(1 x )limx 020,x1 cos x2x1 x253x3的拐点.0,即f(x)12xsin 一 x2x1 cos-x25x310一 x3与 f (x)10一

26、 x3103103(x)不存在；当x 1时f (x)1是潜在拐点。下面考察函数凹凸性的变化，不难看出所以，（0,0）与f (x)f (x) 0f (x) 0f (x) 04一1,-均为曲线的拐点。（每题6分，共24分）sin xcosxx arctan x12 x2 xdv /21 sin 2x2.3.xx令三、计算不定积分:2(sin x cosx), dxsin xcosx(sin xcosx)dx sin x cosx C。xdx2 xsint,arctan x1 x2dx21n(1x2)1,2一 arctan x C。2x2dx1 x2sin2 xdx1 cos2x, dx4. ln(

27、12、x )dx xln(12 ,2x dx1 x21 sin 2t42xln(1 x )1 arcsinx2xln(1 x2)2x2arctan x C 。四、计算下列各题：（每小题8分,共16分）21.设某商品的价格P与需求量Q的关系为Q 80 P ,求P 4时的需求弹性，并说明其经济意义.(2)求当价格P为何值时，总收益R最大？并求出此时的需求价格弹性PEd Q Q2P2广2，故 Ed P 480 P2P 4涨（下跌）1% ,则需求量近似减少（增加）（2）我们知道Ed 1时，总收益R最大。2.设F（x）为f （x）的原函数，且f （x）解：因为F（x） 0,所以给定条件等价于-xV1 x

28、2 C。2dx xE320.5,这说明当价格 P 4时，若价格上80 160.5%。由2P2-Vi5 ,所以当价格3280 P解彳导PF(x).x(1 x)f(x)，已知 F(1) e2, F(x) 0,求 f(x).F (x)、x(1 x),两边关于x求积分，则In F(x) 2arctan JX C ,从而 F(x) Ce2arctan (C 0)。将 F(1) e /2代入可得1,所以 F(x) e2arctaS,从而 f(x) F (x)x(1 x),2arctan .泛11分五、证明题：(每小题5分，共10分)2.当 x 0 时，证明：(1 x)ln(1 x) arctan x.x2

29、证明：令 f(x) (1 x)ln(1 x) arctan x ,则 f (x)ln(1 x) 2，当 x 0 时显然有1 xf (x) 0,并且只有在x 0时才有f (x)0 ,所以f(x)在x 0时为增函数。故当x 0时有f(x)f(0)0 ,也就是说当x 0时，(1x)ln(1 x) arctan x。f (x)2.设f (x)连续且lim 8，试证明xx a x aa是f (x)的极小值点。证明：由 lim -f-(xx a x af (x) f (a) lim x a x点o8 知 lim f (x) 0。 x af (a) f (x)lim a x a x a又f (x)连续，所以

30、f (a) 0。根据定义有8 0 ，由第二充分条件即可知 xa是f (x)的极小值二季一、填空题(每小题 4分，本题共20分)1 1.-1( 2, 1)( 1,22. 1 3. y - x - 4. Sinx c 5.32 2二、单项选择题(每小题 4分，本题共20分)1. C2, B 3. D 4. A 5. B三、(本题共44分，每小题11分)解:原式 lim (x4)(x2)lim1211 分x 4 (x4)(x1)x 4 x 132 .解：y2xln 2 3cos3x9 分x 一dy (2 ln 2 3cos3x)dx11 分3 .解：xcosxdx = xsin x sinxdx x

31、sin x cosx cel 51nx4解： dx1 x17(36 1)102四、应用题(本题16分)1 (1 51nx)d(1 51nx) (111分解：设底边的边长为x ,高为h ,用材料为y ,由已知22h 32,h32-2 x令y 2x12851nx)2x2 4xh x2 4x 3f x易知1284是函数的极小值点，此时有h32 -4222时用料最省.微积分初步期末试题选(一)1 .填空题(1)答案：x 2且x 3.(2)答案：(2, 1)( 1,2答案：f (x) x2 3(4)答案：k 12 .(5)答案：f (x) x 1(6)答案：x 1(7)答案：1(8)答案：k 22 .单

32、项选择题(1)答案：B (2)答案：C(3)答案：D(4)答案：C(5) 答案：D(6) 答案：B(7)答案：A3 .计算题2 一-一x 3x 21. (x 2)(x 1)(1) 解：lim2 lim x x2 6x 8 lim -x2 4 x 2(x 2)(x 2)2x 9 (x 3)(x 3) x 3(2) 斛：lim - lim limx x 4 x 5x 4 x22x 3 x 3 (x 3)(x 1) x 3 x 1(3)解:lim»x 4 x 1lim(x 4)(x 2) x 4 (x 4)(x 1)微积分初步期末试题选(二)“1(1)答案：_ 2(2)答案：y x 1(3

33、)答案：f (x) 3x2 3xln3f (3)=27(1 ln3)”.11(4)答案：f (x) f (x)= xx答案：f (x) 2e x xe x, f (0)2 .单项选择题(1)答案：C(2)答案：B(3)答案：D (4)答案：C3 .计算题(1)解：y11,1-2 一1-2xex x2ex( -2) ex(2x 1)x2222解：y 4cos4x 3cos x( sin x)24cos4x 3sin xcos x解：y e、R ,1 马2Jx 1 x-1,-1-3 n 1,、3 (4)斛：y x2 ( sin x) x2 tan x2 cosx2微积分初步期末试题选(三)1 .填

34、空题(1)答案：(1,)(2)答案：a 02 .单项选择题(1)答案：D (2)答案：C (3)答案：B(4)答案:3 .应用题解：设底边的边长为 x,高为h,用材料为y ,由已知x2h 108,hB1082 x21084xh x2 4x 2-x4324322x 0 ,解得 x x6是唯一驻点,c 2 43223 x6是函数的极小值点，所以当x 6, h1083用料最省.解：设水箱的底边长为 x,高为表面积为S ,且有h2所以 S(x) x2 4xh16S (x) 2x162 x令S (x) 0,2,因为本问题存在最小值,且函数的驻点唯一，所以，当 x2, h 1时水箱的面积最小.此时的费用为

35、S(2) 10 40 160 (元)微积分初步期末试题选(四)1.填空题,2(1)答案：一 x(3)答案：sin x c(2)答案：2cos2x(5)答案：sin x c“1 L2、(7)答案：-F(1 x2) c2(9)答案：02(4)答案：e x c,1(6)答案：一F(2x 3) c22(8)答案： 一31(10)答案：一22.单项选择题(1)答案：C(5)答案：A3.计算题(1)解：(2x 1)10dx.1sin 一解：-2xdxx(2)答案：D(6)答案：D1io-(2x 1)10d(2x 1)1 1 sin dcos- c(3)答案：A(4)答案：A1 (2x 221)11xdx

36、2 e、xdVx 2e、x c x1n 21n 2解：ex(4 ex)2dx(4 ex)2d(4 ex)oo1 X 3 1n211= -(4 ex)31(216 125) 303033(5)；e1 51n x , dx1 e(1 51n x)d(1 51nx)5 112(1 51n x)2101 (36 1)10(6)解:11-x7exxe dx xeooexdx01e ex10解：2 xsin xdx0xcosx/02cosxdx sinx信1微积分初步期末试题选(五)2答案：y 2 J7 1(2) 答案：a-4答案：y ex一 .3x.答案：y ce(5) 答案：42.单项选择题(1)答案

37、：A (2)答案：D (3)三季答案：C (4) 答案：B选择题(选出每小题的正确选项，每小题2分，共计 10分)1 . C;2. D;3.B C; 4.A;5.B C._1 x ln2 xdydx、填空题(每小题3分，共18分),11. y -x2.23.24. X=2,极小值 5.上升2%6三、计算题(每小题 6分，共42分)：11、求 1im(ln x)E x e1斛：令 y (ln x)1limln y limln(ln x)lim xlnx =-13 分x 0 x01lnxx 01x1lim y e 1 分x 0，贝U In y ln(ln x)2分1 In x13、 lim (1

38、x)ex XXJ-1解：原式=limx(1 )ex 1Xx1 1 1ex 1 -ex1lim+ Xim(1 e" 2Xx113、设x 时，无分小重 一2，求吊数a、b、c.ax2 2x c 1 bx解：由ax2 2x cbx 1得a=0, b=-2, c取任意实数。3分4解:dx1.11dx - 2 dvx 13 分 1 (x 1). x 12 1 ( . x 1)21arctgVx1 C3 分民ln(ex 2)5、解x-dxexx x xIln(e 2)de e ln(e 2)dxe 2xxx x 1 e 2 eexln(ex 2) - dx2_分2ex 211x xx_e ln(

39、e 2) -x ln(e 2) C221 x x 1(ex)ln(ex 2) -x C2 2xcosx ,1,13 dx-xd -2sin x2sin x2_分1.x2-kcsc xdx 2分2 sin2 x1 x2 sin2 x1 人-ctgx Cx 0xf (0) f(x)7、设函数f(x)具有二阶连续导数，且 f (0) =0,又g(x)求 g (x)xf (x) f (x)解：当x 0时,g (x) 一二一LU ,这时g (x)连续 2 分xf (x) xf (0) f (x)f (0)1 r 小八当x 0时，g (0) lim 2-lim-一 f (0)3 分x 0 x2 x 0 2

40、x 2xf (x) f (x)02, x 0,所以g (x)x1 分1 .-f (0), x 0.2四、(8分)假设某种商品的需求量Q是单价P (单位元)的函数：Q=1200-8P;商品的总成本 C是需求量Q 的函数：C=2500+5Q。(3) 求边际收益函数 MR和边际成本函数 MC ;(4) 求使销售利润最大的商品单价。2.解：(1) MR PQ 1200P 8P , MC 5;3 分(2)利润函数L(P) PQ C 8P2 1240P 8500,1 分155令 L(P) 16P 1240 0得 P=空-, 唯一驻点，又L(p) 16 0,2 分P=155/2时利润最大。2分 2x1 五、(12分)作函数 y 的图形(x 1)2答案：(1)定义域是,11, ,x 1是间断点(2)渐近线因limx2x 1(x 1)20,故y=0为水平渐近线因limx 12x 1(x 1)2，故x=1为垂直渐近线(3)单调性、极值、凹凸及拐点 2x "y 3,令 y 0,得 x=0(x 1) 4x 2y 4,令 y 0,得 x(x 1)再列表x1(,2)121("。)0(0