大一高数第一章--函数、极限与连续

1、X Xo XXo 为点 Xo 的 邻域，记作 U (Xo,.即 U X。， X X X X。 第一章 函数、极限与连续由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代,这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以 积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期 最突出的成就之一 微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性因此，本章内容是整个微积分学的基

2、础本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性 质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概 念和性质此外，还给出了两个极其重要的极限随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述第一节变量与函数、变量及其变化范围的常用表示法在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变， 它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则

3、是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一 个数变量取值范围常用区间来表示 满足不等式a X b的实数的全体组成的集合叫做闭区间， 记为a,b ,即a,b x | a X b；满足不等式a X b的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为（a,b）,即(a,b) X |a X b；满足不等式a X b （或a Xb ）的实数的全体组成的集合叫做左（右）开右（左）闭区间，记为a,b(或 a,b )，即a,b x |a X b（或 a,b xa X b），左开右闭区间与右开左闭区间统称为半开半闭区间，实数a，b称为区间的端点以上这些区间都称为有限区间数b a称为区间的长度此外还有无限区

4、间：(，)x IX R，,bxXb，(,b)x IXb，a,x IaX，(a,)x IaX，等等这里记号“”与“”分别表示“负无穷大”与“正无穷大邻域也是常用的一类区间设Xo是一个给定的实数，是某一正数，称数集称点Xo为该邻域的中心，为该邻域的半径(见图1-1).称U (Xo, Xo为Xo的去心邻域,o记作U (Xo, ，即U (Xo, X | o X Xo -Q* Jfiq 应 Jh H图1-1下面两个数集U Xo, X|Xo X Xo ，oU(Xo)，U(Xo)分别表U Xo, X |Xo X Xo ,分别称为Xo的左邻域和右邻域.当不需要指出邻域的半径时，我们用o示Xo的某邻域和Xo的某

5、去心邻域，U Xo, ，U Xo , 分别表示Xo的某左邻域和Xo的某右邻域.二、函数的概念在高等数学中除了考察变量的取值范围之外，我们还要研究在同一个过程中出现的各种彼 此相互依赖的变量，例如质点的移动距离与移动时间.曲线上点的纵坐标与该点的横坐标，弹簧的恢复力与它的形变，等等.我们关心的是变量与变量之间的相互依赖关系，最常见的一类依赖 关系，称为函数关系.定义1设A，B是两个实数集，如果有某一法则f ,使得对于每个数 X A ,均有一个确定的数y B与之对应，则称f是从A到B内的函数.习惯上，就说y是X的函数，记作y f X (X A)其中，X称为自变量，y称为因变量，f X表示函数f在X

6、处的函数值.数集A称为函数f的 定义域，记为D f ；数集f (A) y |y f (x),x A B称为函数f的值域，记作R f .从上述概念可知，通常函数是指对应法则 f ,但习惯上用“y f X , X A ”表示函数， 此时应理解为“由对应关系y f X所确定的函数f ” .确定一个函数有两个基本要素，即定义域和对应法则.如果没有特别规定，我们约定：定义域表示使函数有意义的范围，即自变量的取 值范围.在实际问题中，定义域可根据函数的实际意义来确定.例如，在时间t的函数ft中，t通常取非负实数.在理论研究中，若函数关系由数学公式给出，函数的定义域就是使数学表达式有 意义的自变量X的所有可

7、以取得的值构成的数集.对应法则是函数的具体表现，它表示两个变量 之间的一种对应关系.例如，气温曲线给出了气温与时间的对应关系，三角函数表列出了角度与 三角函数值的对应关系.因此，气温曲线和三角函数表表示的都是函数关系.这种用曲线和列表给出函数的方法，分别称为图示法和列表法.但在理论研究中，所遇到的函数多数由数学公式给出， 称为公式法 例如，初等数学中所学过的幕函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数 都是用公式法表示的函数.从几何上看，在平面直角坐标系中，点集(x,y)y f X ,x D f 称为函数y f X的图像(如图1-2所示)函数y f x的图像通常是一条曲线，y f称为这条曲

8、线的方程这样，函数的一些特性常常可借助于几何直观来发现；相反，一些几何问 题，有时也可借助于函数来作理论探讨现在我们举一个具体函数的例子图1-2例1求函数y X7 r1的定义域JX 1解要使数学式子有意义，X必须满足4 X20,X 10 ,即由此有1 X2 ,因此函数的定义域为1 ,2.X 2, x1.有时一个函数在其定义域的不同子集上要用不同的表达式来表示对应法则，称这种函数为 分段函数.下面给出一些今后常用的分段函数 .绝对值函数.X ,X 0,X ,X 0.的定义域例3D符号函数),值域R f 0,),如图1-所示.I5-I图1-4X1,x0,值域R f 1 ,0,1,如图1-4所示.例

9、4最大取整函数y X ,其中X表示不超过X的最大整数.例如，21，02 1 , 3等等函数y X的定义域Df (,),值域Rf 整数 .一般地,y X n， n Xn在函数的定义中，对每个D f ,对应的函数值y总是唯一的，这样定义的函数称为单值函数若给定一个对应法则 g ,对每个XDg ,总有确定的y值与之对应，但这个 y不总 是唯一的，我们称这种法则 g确定了一个多值函数例如，设变量X与y之间的对应法则由方程2 2 2 2X y 25给出，显然，对每个X 5,5，由方程X y 25可确定出对应的y值，当X 5 或5时，对应y O 个值；当X ( 5,5)时，对应的y有两个值所以这个方程确定

10、了一个多 值函数对于多值函数，往往只要附加一些条件，就可以将它化为单值函数，这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支例如，由方程X2 y225给出的对应法则中，附加“ y 0”的条件，即以X2 y2 25且y 0 作为对应法则，就可以得到一个单值分支 y g1 x 25 X2 ； 附加“ y 0”的条件，即以“ X2 y2 25且y 0”作为对应法则，就可以得到一个单值分支y g2() V25 X2 在有些实际问题中，函数的自变量与因变量是通过另外一些变量才建立起它们之间的对应 关系的，如高度为一定值的圆柱体的体积与其底面圆半径r的关系，就是通过另外一个变量其底面圆面积S建立起来的对应关系这就

11、得到复合函数的概念定义2 设函数y f u的定义域为D f ,函数U g X在D上有定义，且g D D f 则由下式确定的函数y f g X ，X D称为由函数y f U与函数U g X构成的复合函数，记作y f g X f g X ， X D，它的定义域为D ,变量U称为中间变量这里值得注意的是，D不一定是函数UgX的定义域D g ,但D Dg.D是D g中 所有使得g X D f的实数X的全体的集合例如，y f u u, UgX 1 X2 显然， U的定义域为，而D f (0, )因此，D= 1,1 ,而此时R(f g) 0,1 两个函数的复合也可推广到多个函数复合的情形例如，y XU a

12、 ”ogaX a 0且a 1可看成由指数函数 y aU与Uog X复合而成又形如y U(X)V(X) av(X)IOgaU(X) U X 0 a 0且a 1的函数称为幕指函数，它可看成由y aw与W V(X)IOgaU(X)复合而成.而ysinx2可看成由y . U , U Sinv , V 2复合而成.例 5 设 f(x) X 1 ,求 fffx X 1f U，U fX,则ff fXUXXX1U1 X12x12WX2x1XX1W1 X13x1 ,3XXX1,113x 1，23.解令y f w , W合而成的复合函数，因为W f Uy f W所以f f f是通过两个中间变量 W和U复定义3设给

13、定函数yX ，其值域为R f 如果对于R f中的每一个y值，都有只从关系式y f X中唯一确定的X值与之对应，则得到一个定义在 R f上的以y为自变量，X为 因变量的函数，称为函数 y f X的反函数，记为X f 1 y .从几何上看，函数y f X与其反函数X f 1 y有同一图像但人们习惯上用X表示自变 量，y表示因变量，因此反函数 Xfy常改写成y f X 今后，我们称 y f X为y f X的反函数.此时，由于对应关系 f 1未变，只是自变量与因变量交换了记号，因此反 函数y1X与直接函数y2例如函数1 -6 所示.值得注意的是，并不是所有函数都存在反函数,域为，但0， 对每一个y 0

14、, ,有两个 是y的函数，从而y X2不存在反函数.事实上, 的一一映射，则f才存在反函数f 1 .X值即XIy X.y 和 X2由逆映射存在定理知,的定义域为. y与之对应，若f是从D f,值因此X不例6设函数f(x1)XX1 ,求 fX 1解函数y f X1可看成由y f U ，U可看成由1y f U ，UX 1复合而成.因为XU 1f UX 1U即yU-,从而，Uy1 1，U 1 1，U1 yX 1 .X1复合而成.所求的反函数y f 1 X 1U 0，所以f 1 1y f u 1 u，因此f 1 X 111, X 0.1 (X 1)X三、函数的几种特性1.函数的有界性设函数f X在数集

15、D上有定义，若存在某个常数 L ,使得对任一 X D有f X L （或 f X L），则称函数f X在D上有上界（或有下界），常数L称为f X在D上的一个上界（或下界）； 否则，称f X在D上无上界（或无下界）若函数f X在D上既有上界又有下界，则称 f X在D上有界；否则，称f X在D上无 界若f X在其定义域D（f）上有界，则称f X为有界函数容易看出，函数f X在D上有界 的充要条件是：存在常数 M：0 ,使得对任一 X D ,都有f X M .例如，函数y Sinx在其定义域，内是有界的，因为对任一X ， 都有1SinX 1 ,函数y 在0,1内无上界，但有下界.X从几何上看，有界函数

16、的图像界于直线y M之间.2.函数的单调性设函数f X在数集D上有定义，若对 DXl中的任意两数x1,x2 （x1 x2）,恒有或 f X1的若上述不等式中的不等号为严格不等号,x2 ，X2则称函数f X在D上是单调增加（或单调减少）WWWwwwwwwww则称为严格单调增加（或严格单调减少）的在定义域上单调增加或单调减少的函数统称为单调函数；严格单调增加或严格单调减少的函数统称为严格单调函数如图1-7所示.例如，函数f图1-内是严格单调增加的；函数X CoSX 在（0, 内是严格单调减少的.从几何上看，若y f X是严格单调函数，则任意一条平行于 交于一点，因此y f X有反函数.X轴的直线与

17、它的图像最多3.函数的奇偶性设函数f X的定义域D f关于原点对称(即若的X D f ,都有f X 或 f X则称f X是D f上的奇函数(或偶函数).,D f ,则必有 X D f.若对任意1例X7讨论函数f X InX2的奇偶性函数f的定义域是对称区间，因为所以,In X 11 X2In X 1 X2， 上的奇函数4.函数的周期性In1X * 1 X2设函数f X的定义域为D f ,若存在一个不为零的常数T ,使得对任意X(X T) D(f),且f (X T)f(X),则称f X为周期函数，其中使上式成立的常数f X的周期，通常，函数的周期是指它的最小正周期，即：使上式成立的最小正数 果存

18、在的话)例如，函数f (X) Sinx的周期为2; f Xtanx的周期是.并不是所有函数都有最小正周期，例如，狄利克雷(DiriChIet )函数D f ,有T称为T T (如D(X)1, X为有理数,0, X为无理数.任意正有理数都是它的周期，但此函数没有最小正周期四、函数应用举例下面通过几个具体的问题，说明如何建立函数关系式例8火车站收取行李费的规定如下： 当行李不超过50千克时，按基本运费计算如从上海 到某地每千克以0.15元计算基本运费，当超过 50千克时，超重部分按每千克 0.25元收费试求 上海到该地的行李费 y （元）与重量X （千克）之间的函数关系式，并画出函数的图像解当OX

19、 50时，所以函数关系式为：y 0.15x ;当 X 50 时，y 0.15 50 0.25(X 50).0.15 X,0X 50;y 7.5 0.25(X 50), X 50.这是一个分段函数，其图像如图1 9所示.图1-9例9某人每天上午到培训基地 A学习，下午到超市B工作，晚饭后再到酒店 C服务，早、 晚饭在宿舍吃，中午带饭在学习或工作的地方吃 .A, B, C位于一条平直的马路一侧，且酒店在基地与超市之间，基地与酒店相距3km ,酒店与超市相距 5km ,问该打工者在这条马路的A与B之间何处找一宿舍（设随处可找到），才能使每天往返的路程最短.解 如图1-10所示，设所找宿舍 D距基地A

20、为X （km）,用f （x）表示每天往返的路程函 数.3 km5 kmIt:KJV kmD (D/ITkm图 1-10当D位于A与C之间，即0X 3时，易知f XX 8 (8 x)2 3 X 22 2x ,当D位于C与B之间，即3X 8时，则f XX 8 (8 X) 2(x3)10 2x.所以f (X)2 2x ,0 X 3;10 2x ,3 X 8.这是一个分段函数，如图1-11所示，在0,3上，f X是单调减少，在 3,8上，f X是单调增加.从图像可知，在X 3处，函数值最小.这说明，打工者在酒店 C处找宿舍，每天走的 路程最短.图 1-11五、基本初等函数初等数学里已详细介绍了幕函数、

21、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，以上我 们统称为基本初等函数它们是研究各种函数的基础为了读者学习的方便，下面我们再对这几类 函数作一简单介绍1.幕函数函数幂函数y X0时，称为幕函数.的定义域随的不同而异，但无论为何值，函数在0,内总是有定义的其图像过点（0,0）及点1,1 ,图1-12列出X 在0，上是单调增加的，2时幕函数在第一象限的图像0时,y X 在0,上是单调减少的, 2时幕函数在第一象限的图像 其图像通过点1,11,图1-13列出了 -，2.指数函数函数Xy a （a是常数且a 0, a 1）指数函数yaX的反函数，记作ylog aX（a是常数且a 0, a 1），称为对

22、数函数对数函数ylog aX的定义域为0,图像过点1,0 .当a 1时，y当0 a 1时，ylog aX单调减少,如图1-15 所示.科学技术中常用以e为底的对数函数3.对数函数IOgaX单调增加;称为指数函数指数函数y ax的定义域是,图像通过点0,1 ,且总在X轴上方当时a 1，y ax是单调增加的；当0 a 1时，y以常数e 271828182L为底的指数函数Xa是单调减少的，如图1- 14所示.是科技中常用的指数函数y In X y log 10X，I gx 也是常用的对数函数，简记作y它被称为自然对数函数，简记作另外以10为底的对数函数4.三角函数常用的三角函数有正弦函数ySin X

23、余弦函数-L L 丄r F f =yCOSX正切函数ytan X余切函数yCOtX其中自变量X以弧度作单位来表示它们的图形如图1-16,图1- 7,图1- 8和图1-19所示，分别称为正弦曲线，余弦曲线,WMwwWWWMWW,WMIWWWMW正切曲线和余切曲线它们的定义域都为正弦函数和余弦函数都是以 2为周期的周期函数,值域都为1,1正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数就获得余Iy=3IJI 厶4fNBt-I弦曲线y cosX .正切函数y tan XSnjL的定义域为COSXDx | X R， X(2n1), n为整数.余切函数y cotx cosx的定义域为SIn XD fx X正切函数和余

24、切函数的值域都是 另外，常用的三角函数还有正割函数y SeCX ;X n,n为整数.，且它们都是以为周期的函数，且都是奇函数余割函数y CSCX .5.反三角函数常用的反三角函数有（如图 1-20）；（如图 1-21）；反正弦函数 反余弦函数yyarcsin X arccos X反正切函数yarctan X（如图1-22)；反余切函数yarccot X（如图1-23).它们分别称为三角函数y SinX ，y cosx， y tan X 和 y cotx 的反函数它们都是以2 为周期的周期函数，且SeCX1COSXCSCX1Sin X这四个函数都是多值函数严格来说，根据反函数的概念，三角函数y

25、Sin X , y cosx ,y tanx和y COtX在其定义域内不存在反函数，因为对每一个值域中的数y ,有多个X与之对应但这些函数在其定义域的每一个单调增加 （或减少）的子区间上存在反函数例如，y Sinxarcsin X的主值,在闭区间 ,上单调增加，从而存在反函数，称此反函数为反正弦函数2 2记作y arcsinx.通常我们称y arcsin X为反正弦函数其定义域为1,1 ，值域为 -, 反正2 2弦函数y arcsi nx在 1,1上是单调增加的，它的图像如图1-20中实线部分所示.类似地，可以定义其他三个反三角函数的主值y arccosx, y arcta nx和y arcc

26、ot X，它们分别简称为反余弦函数，反正切函数和反余切函数反余弦函数y arccos X的定义域为1,1其图像如图1-21中实线部分所示.反正切函数y arctan X的定义域为，加的，其图像如图1-22中实线部分所示.反余切函数y arccot X的定义域为，的，其图像如图1-23中实线部分所示.,值域为0, ，在 1,1上是单调减少的,值域为 在2 2上是单调增,值域为（0, ，在，上是单调减少图 1-#图 1-21I 1W HWW-I.-.Ky r tv ”I-2arc Im JEo i；-一一-F图 1-22六、初等函数由常数和基本初等函数经有限次四则运算和复合运算得到并且能用一个式子

27、表示的函数,称为初等函数例如，y 3x2 Sin4x，y ln . 1 x2 ，y arctan2 3 . g( 1)snXX 1 等等都是初等函数分段函数是按照定义域的不同子集用不同表达式来表示对应关系的，有些分段函数也可以不分段而表示出来，分段只是为了更加明确函数关系而已例如，绝对值函数也可以表示成y X JX2;函数f(x) 1， X a，也可表示成f()丄1埜(X一-L .这两个函0, Xa2Xa数也是初等函数七、双曲函数与反双曲函数1.双曲函数双曲函数是工程和物理问题中很有用的一类初等函数定义如下:双曲正弦双曲余弦双曲正切其图像如图ex eX-2-XXe e -2-ShX exChX

28、 ex e1-24和图1-25 所示ShXChXthx图 1-#图 1-25双曲正弦函数的定义域为 ( 称在(X )内单调增加双曲余弦函数的定义域为 ( 在 ,0内单调减少；在 0双曲正切函数的定义域为 (X ),它是奇函数，其图像通过原点0,0且关于原点对X ),它是偶函数，其图像通过点0,1且关于y轴对称,内单调增加.X ),它是奇函数，其图像通过原点0,0且关于原点对称在( X )内是单调增加的由双曲函数的定义，容易验证下列基本公式成立ShX yShXChy ChXShy，ChX yChXChy ShXShy，sh2x 2shxchx，ch2x Ch2X Sh2X 1 2sh2x 2ch

29、2X 1，2 2Ch X Sh X 1 .2.反双曲函数双曲函数的反函数称为反双曲函数, 反双曲正弦函数ShX，y ChX和y th X的反函数，依次记为反双曲余弦函数 反双曲正切函数yyyarsh X , arch X , arth X . 的定义域为反双曲正弦函数 y arsh X由y ShX的图像，根据反函数作图法，可得 的方法，不难得到,它是奇函数，在 ， 内单调增加， arsh X的图像，如图1-26 所示.利用求反函数y arsh X InX21 .反双曲余弦函数 利用求反函数的方法,y arch X的定义域为1,不难得到,在1, 上单调增加，如图 1-27所示,y arch Xl

30、nXx21(1 ,1),它在(1,1)内是单调增加的它是奇函数,反双曲正切函数其图像关于原点(0,0)对称，如图1-28 所示容易求得y arth X In -_1 X第二节数列的极限、数列极限的定义定义 1如果函数f的定义域Df N*1,2,3,L ,贝y函数f的值域f N* f n n N*中的元素按自变量增大的次序依次排列出来，就称之为一个无穷数列， 简称数列，即f 1 ,f 2，L , f n，L通常数列也写成xi，X2，L,xrL,并简记为Xn,其中数列中的每个数称为一项，而Xn f n称为一般项对于一个数列，我们感兴趣的是当n无限增大时，Xn的变化趋势我们看下列例子:数列,L的项随

31、n增大时，其值越来越接近1 ；数列2,4,6,L ,2n,L的项随n增大时，其值越来越大，且无限增大； 数列 1 ,0,1 ,L ,14 ,Ln的各项值交替地取1与0;n 1数列 1, 1,1 ,L ,二,L2 3 n的各项值在数O的两边跳动，且越来越接近O;数列 2,2,2,L ,2,L各项的值均相同在中学教材中，我们已知道极限的描述性定义,(1 2- 1)(1 2 2)(1 2 3)(1 2 4)(1 2 5)即“如果当项数n无限增大时，无穷数列Xn的一般项Xn无限地趋近于某一个常数a (即Xna无限地接近于0),那么就说a是数列Xn的极限” 于是我们用观察法可以判断数列(1)n12都有极

32、限，其极限分别为1,0,2.但什么叫做“ Xn无限地接近a”呢？在中学教材中没有进行理论上的说明.来度量在数轴我们知道，两个数a与b之间的接近程度可以用这两个数之差的绝对值b a例1证明Iim 10.上b a表示点a与点b之间的距离, 为Xn 1110000时无限接近于1的实质.图 1-29因两个不等式IXn a | , a Xn a 等价，所以当n N时，所有的点Xn都落在开区间（a aN个点）在这区间以外.为了以后叙述的方便，我们这里介绍几个符号，符号“内，而只有有限个点（至多只有”表示“对于任意的”、“对于所有的”或“对于每一个”守号“表示存在”；符号“ RBX X表示数集X中的最大数;

33、b a越小，则a与b就越接近，就数列（1-2-1）来说，因1n我们知道，当n越来越大时，1越来越小，从而Xn越来越接近1.因为只要n足够大，IXn 就可以小于任意给定的正数，如现在给出一个很小的正数100 ,只要n 100即可得1Xn 1 孟，n 101,102,L如果给定则从10001项起，都有下面不等式10000Xn 1成立.这就是数列Xn nF （n 1,2,L ）,当n 一般地，对数列Xn有以下定义.定义2设Xn为一数列，若存在常数 a对任意给定的正数 无论多么小），总存在正整数 N ,当n N时，有不等式Xn a 即Xn U （a, ,则称数列 Xn收敛，a称为数列Xn当n时的极限，

34、记为IimXn a 或 Xn annn若数列Xn不收敛，则称该数列发散.定义中的正整数 N与&有关，一般说来，N将随减小而增大，这样的 N也不是唯一的显然，如果已经证明了符合要求的N存在，则比这个N大的任何正整数均符合要求，在以后有关数列极限的叙述中，如无特殊声明，N均表示正整数.此外，由邻域的定义可知，Xn U a, 等价于IXn a .我们给“数列Xn的极限为a”一个几何解释:将常数a及数列X1,X2,X 3,L ,Xn,L在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a的邻域，即开区间（a a ,如图1-29 所示符号“ min X ”表示数集X中的最小数.数列极限Iim Xn a的定义

35、可表达为:nIim Xn a 0,正整数 N ,当 n N 时，有 Xn a.n因此,因此, 0(不防设0,取N1),In证明由于要使丄2n/In22n,则当nInimFIimn1 一CoS n1一-COS n 40,取N0.n cos4N时,只要 2n1 ,即 n (InN时，有2n0.要使1 cos一 n 4-)/In2 .由极限定义可知1.-COS n4,只要n由极限定义可知,即1 IIm cos n n 4用极限的定义来求极限是不太方便的，在本章的以后篇幅中，将逐步介绍其他求极限的方法.二、数列极限的性质定理1 (惟一性)若数列收敛，则其极限惟一 证 设数列Xn收敛，反设极限不惟一：即

36、Iim Xn a , Iim Xn b ,且a b ,不妨设a b ,nn由极限定义，取 bya ,贝y N10,当n N1时，Xn aby,即3a b , Xab2 V XnV Y，(1-2-6)b aN20,当 n N2 时，Xn bbya ,即a b / 3b a2V XnV Y- ,(1-2-7)取N ax N1,N2 ,则当n N时，(1-3-6), (1 - 3- 7)两式应同时成立，显然矛盾该矛盾证明 了收敛数列Xn的极限必惟一.定义3设有数列Xn ,若存在正数M ,使对一切n 1,2,L ,有Xn M ,则称数列Xn 是有界的，否则称它是无界的.对于数列Xn ,若存在常数M ,

37、使对n 1,2,L ,有Xn M ,则称数列Xn有上界；若 存在常数M ,使对n 1,2,L ,有Xn M ,则称数列 Xn有下界.显然，数列Xn有界的充要条件是Xn既有上界又有下界.例3 数列 二J 有界；数列 n2有下界而无上界；数列 n2有上界而无下界；数列n 1定理2 （有界性）若数列Xn收敛，则数列Xn有界证 设IimXn a ,由极限定义， O ,且 1 , N O ,当n N时，Xn a| 1 ,n从而 IXn a.取Mmax 1a,X1X 2 ，XN,则有XnM ,对一切1,2,3,L ,成立，即Xn有界定理2的逆命题不成立，例如数列(1)n有界,但它不收敛定理3（保号性）若I

38、imnXnaa 0(或 a0),则 N0,当n N时，Xn0 (或XnO ) 证由极限定义,对2 o，N 0,当nN 时，Xn J即a X n32a,故当nN时，Xn 2 O.类似可证a O的情形推论设有数列XnN 0 ,当nN时，Xn 0 (或 Xn0),若 Iim Xnn11a ,则必有a O （或 a O ）.在推论中，我们只能推出a O （或a 0），而不能由Xn 0 （或Xn 0）推出其极限（若存在）也大于O（或小于O）.例如Xn丄O ,但Iim Xn Iim 1 O .nnn 门下面我们给出数列的子列的概念定义4 在数列Xn中保持原有的次序自左向右任意选取无穷多个项构成一个新的数列

39、， 称它为Xn的一个子列.在选出的子列中，记第 1项为Xn1 ,第2项为Xn2,第k项为Xnk ,，则数列 Xn的 子列可记为Xnk.k表示Xnk在子列Xnk中是第k项，k表示Xnk在原数列Xn中是第k项显然，对每一个k ,有m k ；对任意正整数h , k ,如果h k ,则帀 m ;若m nk ,则h k由于在子列Xnk中的下标是k而不是nk ,因此Xnk收敛于a的定义是： O , K O, 当k K时，有Xnk a.这时，记为im Xnk a .定理4 Iimxl a的充要条件是：Xn的任何子列Xnk 都收敛，且都以a为极限kk证 先证充分性由于Xn本身也可看成是它的一个子列，故由条件得

40、证下面证明必要性由Iim Xn a， O， N O ,当n N时，有kXn a .今取K N ,则当k K时，有nk k nN ,于是Xnk a 故有Iim Xna kk定理4用来判别数列Xn发散有时是很方便的如果在数列Xn中有一个子列发散，或者 有两个子列不收敛于同一极限值，则可断言Xn是发散的例4判别数列Xn Sin N的收敛性.8解在Xn中选取两个子列：SininkN8 16 ,即 Sin,sin88Sin 鄂;16k4 SinZ, kN*，即 SinSin16k 4 8显然，第一个子列收敛于而第二个子列收敛于因此原数列Sinnn发散.三、收敛准则定义5 数列若满足Xl X2 立时，则分

41、别称收敛准则Xn 1 L ,则称数列Xn为单调增加数列； 为单调减少数列当上述不等式中等号都不成 是严格单调增加和严格单调减少数列XnXn的项若满足X1 X 2 LXn 1 L ,则称数列 XXn单调增加有上界的数列必有极限；单调减少有下界的数列必有极限该准则的证明涉及较多的基础理论，在此略去证明n例5证明数列1 1 收敛.n证根据收敛准则，只需证明n1 单调增加且有上界（或单调减少且有下界）n由二项式定理，我们知道1 1 n1、 1 n1Xn(1 n 11 1 (12!Xn 1(I n1 1 2 1Cn Cn -2- nn)(11n二)G(I1 Cn 12)C2(I1n 1)(11)3Ii(

42、I2n)(1逐项比较-(1 (n 1)! n 1Xn与Xn 1的每一项,I) L2n有I)(1n 1Cn nL丄(1n!11 2(n 1)厲)1)nn(1XnXnI)，这说明数列xn单调增加，又Xn1 2)(1 L (11 11n 1(n 1)丄2!12 2213!1,2,L .丄n!12n专），11丄2：12即数列1-n有界，由收敛准则可知收敛.n我们将 1-的极限记为e ,即neIimn第三节函数的极限.它是从数量方面来描述这种关系，但在某些实际函数概念反映了客观事物相互依赖的关系问题中，仅仅知道函数关系是不够的，还必须考虑在自变量按照某种方式变化时，相应的函数n , nN ,.下面介绍函

43、数极限的一般类型值的变化趋势，即所谓的函数极限，才能使问题得到解决正如我们对数列极限的定义，数列X 可看做自变量为正整数 n的函数：Xn 1所以，数列的极限可视为函数极限的特殊类型时函数的极限当自变量X的绝对值无限增大时，函数值无限地接近一个常数的情形与数列极限类似，所不同的只是自变量的变化可以是连续的定义1设函数f X在区间a,）上有定义，如果存在常数 A ,对于任意给定的正数 （无 论它多么小），总存在正数X ,使得当X满足不等式X X时，对应的函数值f X都满足不等 式f X A &，那么，称函数f X当X趋于+时极限存在并以 A为极限，记作Iim f （x） A 或 f（X） A （X

44、 ）.在定义中正数X的作用与数列极限定义中的正整数 N类似，说明X足够大的程度，所不同 的是，这里考虑的是比 X大的所有实数X ,而不仅仅是自然数 n,因此，当X时，函数f X以A为极限意味着：A的任何邻域必含有f在某个区间 X, 的所有函数值定义1的几何意义如图1-30所示，作直线y A &和y A ,则总有一个正数 X存在， 使得当X X时，函数y f X图形位于这两条直线之间区间(类似于定义1 ,我们定义X趋于,a上有定义，如果存在常数则称f时极限存在并以时函数的极限的概念,A， 0， X 0， f X A 8，A为极限，记作我们简述如下：设函数f X在使得当X X时，总有证明IimXC

45、OSXX由于COSX 0要使因此， 0,可取则当时,证明即有10x0 0,Iim coSxX10x0.， 只要IimXIg 因此可取X Ilg 1 ,当X X时,10x0.当X充分大时有定义，:X ,使得当X满足不等式如果存在常数 A,对于任意给定的正数 (不 :X X时，对应的函数值f X都满足不等f (X) AA就称为函数f X当X时的极限,r r 、 * 1 ,Ii *r * *r r 记作Iim f (x) A 或 f(X) A (X ).X由定义1、定义2及绝对值性质可得下面的定理.定理1 Iim f (x) A的充要条件是Iim f (x) Iim f (x) AXXX211X2X

46、1O ,要使1证明Iim X X X,只需X13 而 X 1 X1,故只需X13即X 1因此， O，可取X 1 3 ,则当XX时，有X 21X 1,故由定义2得XimX Xo时函数的极限对一般函数而言，除了考察自变量X的绝对值无限增大时，函数值的变化趋势问题，还可研究X无限接近Xo时，函数值f X的变化趋势问题它与X时函数的极限类似，只是 X的趋向不同，因此只需对 X无限接近Xo时f X的情形作出确切的描述即可.定义3设函数f X在点Xo的某个去心邻域内有定义，A为常数，若对于任意给定的正数(无论它多么小)，总存在正数,使得当X满足不等式O X Xo时，对应的函数值f X都满足f (X) A

47、,则称函数f X当XXo时的极限存在并以 A为极限，记作Iim f (X) A ,或 f X A ( X Xo 时).XXo上述定义称为X Xo时函数极限的分析定义或 X Xo时函数极限的“ ”定义.研究f X当 X Xo的极限时，我们关心的是X无限趋近Xo时f X的变化趋势，而不关心f X在X Xo处 有无定义、其值的大小如何，因此定义中使用了去心邻域.这就是说f X在X X O处有无极限与函数在该点有没有定义无关 .函数f X当X Xo时的极限为 A的几何解释如下：任意给定一正数,作平行于X轴的两条直线y A 和y A ,介于这两条直线之间是一横条区域.根据定义，对于给定的,存在着点Xo的一个邻域(Xo, X。 ),当y f X的图形上的点的横坐标 X在邻域(X。 ,Xo )内，但X Xo时，这些点的纵坐标f(x)满足不等式f (X) A ,或 A f (X) A.亦即这些点落在上面所作的横条区域内，如图1-31所示.例4证明IXmlX2.证函数f(x) X 1在X 1处无定义. X 1因此,由定义X 1 时,I X 1 l 成立 0,据上可取 ,则当X证 因为X01 得 IimX 12 .X 1 X 1 证明 Iim Sin X Sin X0.X00时,由于Sin XISin X Sin X01,CoSX2 cosX1 ,所以2