高中数学函数极点与极线探秘

1、精选优质文档-倾情为你奉上 极点与极线探秘第一讲 极点和极线的定义及极点与极线的作图极点与极线是高等几何中的重要概念，虽然不是高中数学课程标准规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律.一 极点和极线的定义和性质在圆锥曲线方程中，以替换，以替换，以替换 ，以替换，即可得到点的极线方程已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.从定

2、义我们共同思考和讨论几个问题:1若点在椭圆上，则其对应的极线是什么?椭圆的两个焦点对应的极线分别是什么?（1）对于椭圆，与点对应的极线方程为；当为其焦点时，极线变成，恰是椭圆的右准线（2）对于双曲线，与点对应的极线方程为；当为其焦点时，极线变成，恰是双曲线的右准线（3）对于抛物线，与点对应的极线方程为当为其焦点时，极线变为，恰为抛物线的准线2.过椭圆上（外、内）任意一点，如何作出相应的极线？（1）当点在圆锥曲线上时，其极线时曲线在点点处的切线；（2） 当点在外时，其极线时曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在的直线）；（3） 当点在内时，其极线时曲线过点的任一割线两端点处的切线交

3、点的轨迹为了表达方便，我们给出圆锥曲线内部和外部的定义圆、椭圆是封闭图形其内部和外部很好界定，抛物线、双曲线不是封闭的是开的，对双曲线和抛物线的内部和外部给出如下定义：焦点所在的平面区域称为该曲线的内部，不含焦点的平面区域称为曲线的外部，曲线上的点既不在内部也不在外部注意：证明书写过程请参考下一讲抛物线切线与阿基米德三角形中的“导、差、代、联”即可，这里不作详述。二 极点与极线的作图（几何意义） 如图1，设是不在圆锥曲线上的一点，过点引两条割线依次交圆锥曲线于四点，连接交于，连接交于，则直线为点对应的极线.若为圆锥曲线上的点，则过点的切线即为极线.由图1同理可知， 为点对应的极线，为点所对应的

4、极线.因而将称为自极三点形.设直线交圆锥曲线于点两点，则恰为圆锥曲线的两条切线. 如图2，设点关于圆锥曲线的极线为，过点任作一割线交于，交于，则 ；反之，若有成立，则称点调和分割线段，或称点与关于调和共轭，或称点(或点)关于圆锥曲线的调和共轭点为点(或点).点关于圆锥曲线的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点的极线.注意：关于分割和调和分割问题，在秒1的定比点差法破解极点与极线中有阐述，可以参考。 图3配极原则：点关于圆锥曲线的极线过点点关于的极线经过点;直线关于的极点在直线上直线关于的极点在直线由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线极点极线垂直定理:如图3，设圆锥曲线的一个焦点为，

5、与相应的准线为（1） 若过点的直线与圆锥曲线相交于两点，则在两点处的切线的交点在准线上，且;（2） 若过准线上一点作圆锥曲线的两条切线，切点分别为，则直线过焦点，且；（3） 若过焦点的直线与圆锥曲线相交于两点，过作交准线于，则连线是圆锥曲线的两条切线 注意：极点与极线一般在小题中直接用很爽，但是在大题中，由于不在中学的课本范围内，基本上都无法直接使用，那么解答题中我们只给出思路，很多书写过程还是参考之后提到的切线部分的阿基米德三角形写法，曲线系写法或者定比点差写法3 极点极线的应用1.求切线和切点弦方程问题【例1】（2013山东）过点作圆的两条切线，切点分别为、则直线的方程为（ ）A BCD【

6、解析】法一：因为过点作圆的两条切线，切点分别为，所以圆的一条切线方程为，切点之一为，显然、选项不过，、不满足题意；另一个切点的坐标在的右侧，所以切线的斜率为负，选项不满足，满足故选：法二：切点弦所在的直线就是点对应的极线，故其方程为，即故选A【例2】（2019武汉模拟）过椭圆内一点，做直线与椭圆交于点，作直线与椭圆交于点，过分别作椭圆的切线交于点，过分别作椭圆的切线交于点，求所在的直线方程【解析】过点、的切线方程为分别为，因点，在，上，则，这表明，在直线上，同理所在的直线方程为，因为直线，相交于点，所以，所以、所在的直线方程为本题实质就是求椭圆内一点对应的极线方程，、所在的直线方程为2.讨论直

7、线与圆锥曲线的位置关系【例3】（2010湖北）已知椭圆的两个焦点，点满足，则的取值范围为 ，直线与椭圆的公共点个数是 【解析】依题意知，点在椭圆内部且与原点不重合画出图形，由椭圆方程得，由数形结合可得，当点在线段上除原点时，当在椭圆上时，故的取值范围为由题意知，点和直线恰好是椭圆的一对极点和极线，因为点在椭圆内，所以极线与椭圆相离，故极线与椭圆公共点的个数为零【例4】（2009安徽）已知点在椭圆，直线与直线垂直，为坐标原点，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为证明：点是椭圆与直线的唯一交点【解析】（）由，得，代入椭圆，得，将，代入上式，得，从而，有唯一解，即直线与椭圆有唯一交点易知与直线是椭圆的一对

8、极点极线，点在椭圆上所以直线与椭圆相切与点，即点是椭圆与直线唯一交点（），的斜率为，由此得，构成等比数列3 .最值问题【例5】（2018安徽期末）已知椭圆的方程为，过直线上任意一点，作椭圆的两条切线，切点分别为，则原点到直线距离的最大值为 【解析】法一：设，由椭圆在，处的切线方程为：，则直线的方程：，直线的方程：，由直线，直线过，将代入直线，直线方程得，则，分别为方程的解，直线的方程为，令，则，直线恒过定点，当直线的斜率不存时，直线的方程，到直线的距离，当直线的斜率不存在时，则直线的方程，则原点到直线距离为1，故答案为：1法二：切点弦是点对应的极线，设点Q的坐标为，则可知直线的方程为，即，因为

9、直线过椭圆焦点，所以原点到直线的距离的最大值为1【例6】（2018诸暨市期末）已知椭圆的左顶点和右焦点分别为，右准线为直线，圆（1）若点在圆上，且椭圆的离心率为，求椭圆的方程；（2）若直线上存在点，使为等腰三角形，求椭圆的离心率的取值范围；（3）若点在（1）中的椭圆上，且过点可作圆的两条切线，切点分别为、，求弦长的取值范围【解析】（1）对，令，则所以，又因为，所以，椭圆的方程为：（2）由图知为等腰三角形，所以，又，所以，即椭圆离心率取值范围为（3）法一：连交于，连，则由圆的几何性质知：为的中点，设，则且，所以，法二思路（切点弦方程请自己证明完成）：点为椭圆上一点，则点对应的极线（即切点弦）方程

10、为，由于圆的圆心为，半径为，弦心距，显然，所以，4 直线过定点和定直线问题【例7】（2019武汉期末）设是直线上的任一点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则直线恒过定点 【解析】法一：因为是直线上的任一点，所以设，由于圆的两条切线、，切点分别为、，所以，则点、在以为直径的圆上，即是圆和圆的公共弦，则圆心的坐标是，且半径的平方是，所以圆的方程是，又，得，即公共弦所在的直线方程是：，即，由得，所以直线恒过定点，故答案为：法二：设点的坐标为，因为点对应的极线为直线，其方程为，整理得，令，可见直线过定点故答案为：【例8】（2019江西模拟）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点与两个焦点，构成的三角形的最

11、大面积为1，（1）求椭圆的方程；（2）若点为直线上的任意一点，过点作椭圆的两条切线、（切点分别为、，试证明动直线恒过一定点，并求出该定点的坐标【解析】（1）解：椭圆的离心率为，椭圆上的点与两个焦点，构成的三角形的最大面积为1，解得，椭圆的方程为（2）证明：设切点为，则切线方程为，两条切线都过上任意一点，得到，都在直线上，而对任意的，直线始终经过定点动直线恒过一定点【例9】（2018福建十校联考）已知椭圆的长轴长为，离心率为，点是椭圆上异于顶点的任意一点，过点做椭圆的切线，交轴于点，直线过点且垂直于，交轴于点（1） 求椭圆的方程；（2） 试判断以为直径的圆能否过定点？若能，求出定点坐标；若不能，

12、请说明理由【解析】（1），椭圆的方程为（2）设点，直线的方程为，代入，整理，得是方程的两个相等实根，解得直线的方程为令，得点的坐标为又，点的坐标为又直线的方程为，令，得点的坐标为以为直径的圆的方程为整理，得令，得，以为直径的圆恒过定点和利用极点极线整理一下思路：点，根据切线方程可知直线的方程为，所以点的坐标为又直线的方程为，令，得点坐标为，所以以为直径的圆方程为（圆的直径方程，其中和为圆的一条直径的两个端点），整理得，令，得，所以以为直径的圆恒过定点和5.证明直线交点在定直线上【例10】（2015南开区一模）已知椭圆与y轴的交点为，（点位于点的上方）， 为左焦点，原点到直线的距离为（1）求椭圆

13、的离心率；（2）设，直线与椭圆交于不同的两点，求证：直线与直线的交点在定直线上【解析】（1）由题意设F的坐标为，依题意有，椭圆的离心率 （2）法一：若，由（）得，椭圆方程为联立方程组化简得：，由，解得：由韦达定理得：，设，方程为：，方程为：，由解得：即，直线与直线的交点在定直线上法二：曲线系法，若，由（1）得，椭圆方程为设，以AMBN四点曲线系方程为xy的系数为0， ；x的系数为0， ；，相加可以得到，2y= ，相减可以得到 联立可得，即点在定直线上极点极线原理：椭圆方程为直线（）与直线（轴）的交点为，直线与直线的交点为，则构成椭圆的自极三点形，故点一定在点对应的极线上，其方程为，即，就是说直

14、线与直线的交点在定直线上【例11】（2018太原模拟）已知椭圆的左、右顶点分别为，右焦点为，点在椭圆上（1）求椭圆方程；（2）若直线与椭圆交于，两点，已知直线与相交于点，证明：点在定直线上，并求出定直线的方程【解析】（1），由题目已知条件知，椭圆的方程为：；（2）法一：由椭圆对称性知在上，假设直线过椭圆上顶点，则，所以在定直线上当不在椭圆顶点时，设，整理得，所以，当时，得，所以，所以在定直线上法二：曲线系法，设，以A1MA2N四点曲线系方程为xy的系数为0， ；y的系数为0， ；，相加可以得到，2x= ，相减可以得到 联立可得，即点在定直线上极点极线原理：由于直线经过，设直线与相交于点，则直线

15、在点所对应的极线上，点对应的极线方程，即，故点在顶点上达标训练1（2018兰州月考）过点作圆的两条切线，切点分别为，则所在直线的方程为（ ）A BCD2（2018蚌埠二模）已知，为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆在轴上方相切与于点，则直线的斜率为（ ）A BCD3（2014辽宁）已知点在抛物线的准线上，过点的直线与在第一象限相切与点，记得焦点，则直线的斜率为（ ）A BCD4若过点作圆的切线，则两点所在直线方程为_ 5（2018深圳期末）对于抛物线，我们称满足的点在抛物线的内部，则直线与抛物线（ ）A恰有1个公共点 B恰有2个公共点C可能有1个公共也可能有2个公共点D没有公共点6已知点为上一动点

16、过点作椭圆的两条切线，切点分别，当点运动时，直线过定点，该定点的坐标是 7（2011希望杯）从直线上的任意一点作圆的两条切线，切点为，则弦长度的最小值为 8（2019通州区期中）已知点是抛物线上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则线段长度的最小值为 9.点，在椭圆上，且，直线与直线垂直，为坐标原点，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为（1）证明：点是椭圆与直线的唯一公共点；（2）证明：，构成等比数列10（2011福建卷）已知直线，（1）若以点为圆心的圆与直线相切于点，且点在轴上，求该圆的方程；（2）若直线关于轴对称的直线为，问直线与抛物线是否相切？说明理由11（2018徐州期中）已知圆有以下

17、性质：过圆上一点，的圆的切线方程是若，为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为；若不在坐标轴上的点，为圆外一点，国作圆的两条切线，切点分别为，则垂直，即，且平分线段（1）类比上述有关结论，猜想过椭圆上一点，的切线方程（不要证明），（2）过椭圆外一点，作两直线，与椭圆相切于，两点，求过，两点的直线方程，（3）若过椭圆外一点，不在坐标轴上）作两直线，与椭圆相切与，两点，求证为定值，且平分线段12（2010江苏）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点为、，右焦点为设过点的直线、与椭圆分别交于点,、,，其中，（1）设动点满足，求点的轨迹；（2）设，求点的坐标；（3）设，求证：直线必过

18、轴上的一定点（其坐标与无关）13（2018咸阳二模）已知,点是动点，且直线和直线的斜率之积为（1） 求动点的轨迹方程；（2） 设至直线与（1）中轨迹相切于点,与直线相较于点,判断以为直径的圆是否过轴上一定点.14（2019常德期末）已知点是圆内一点，直线（1）若圆的弦恰好被点平分，求弦所在直线的方程；（2）若过点作圆的两条互相垂直的弦，求四边形的面积的最大值；（3）若，是上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，证明：直线过定点15（2011四川）椭圆有两顶点、，过其焦点的直线与椭圆交于、两点，并与轴交于点直线与直线交于点（1）当时，求直线的方程；（2）当点异于、两点时，求证：为定值16（201

19、7南平一模）左、右焦点分别为、的椭圆经过点，为椭圆上一点，的重心为，内心为，（1）求椭圆的方程；（2）为直线上一点，过点作椭圆的两条切线、，、为切点，问直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由17（2018深圳二模）已知实数,且过点的直线与曲线交于两点（1） 设为坐标原点，直线的斜率分别为，若，求的值；（2） 设直线与曲线分别相切于点，点为直线与弦的交点，且,证明：为定值18（2008安徽）设椭圆过点，且左焦点为（1）求椭圆的方程；（2）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点，时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上19.（2019浦东新区校级月考）教材曾有介绍：圆上

20、的点，处的切线方程为我们将其结论推广：椭圆上的点，处的切线方程为，在解本题时可以直接应用已知，直线与椭圆有且只有一个公共点（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，过椭圆上的两点、分别作该椭圆的两条切线、，且与交于点当变化时，求面积的最大值；（3）若，是椭圆上不同的两点，轴，圆过，且椭圆上任意一点都不在圆内，则称圆为该椭圆的一个内切圆试问：椭圆是否存在过左焦点的内切圆？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由1【解析】点所对应的极线方程，故选B2【解析】设过点椭圆的另一条切线与椭圆在轴上方相切于点，故点对应的极线，即直线经过右焦点，所以直线的斜率为3【解析】由已知得，则抛物线方程为，设过点作

21、直线与抛物线相切与另一点，则经过这两个切点的连线就是点对应的极线，其方程是，由于点在抛物线的准线上，则焦点在点的极线上，三点共线，故选D4【解析】切点弦即为点对应的极线，其方程为，即5【解析】对于抛物线，点对应的极线是直线，当极点 在在抛物线的内部时，极线与抛物线相离，故选D6【解析】设点的坐标是，则切点弦的方程为，化简得，令，可得，故直线过定点7【解析】设，易知的极线方程为，即可得弦必过，易得圆上，过的最短的弦长为8【解析】圆的圆心，半径设，故方程为弦心距，当时，取得最大值，则取得最小值9【解析】证明：（1）直线，得：，代入椭圆，得将代入上式，得：，方程组有唯一解，点是椭圆与直线的唯一公共点

22、（2），的斜率为，的斜率为，构成等比数列10【解析】（1）设所求圆的半径为，则圆的方程可设为由题意，所求圆与直线相切于点，则有，解得，所以圆的方程为（2）由于直线的方程为，所以直线的方程为，由消去得到，当时，即时，直线与抛物线相切；当时，即时，直线与抛物线不相切综上，当时，直线与抛物线相切；当时，直线与抛物线不相切11【解析】（1）过椭圆上一点，的切线方程为；（2）过椭圆外一点，作两直线，与椭圆相切于，两点，设，由（1）的结论可得处的切线方程为，处的切线方程为，又两切线都过，可得，由过，两点确定一条直线可得，过的直线方程为；（3）证明：由（2）可得过的直线方程为，可得，则；由，都在椭圆上，可得

23、，相减可得，设的中点为，可得，则，又，可得，则过的中点，即平分线段12【解析】（1）设点，则：、由，得，化简得故所求点的轨迹为直线（2）将分别代入椭圆方程，以及，得、，直线方程为：，即，直线方程为：，即联立方程组，解得：，所以点的坐标为（3）曲线系法，详细过程参考上一讲，这里介绍极点极线原理：点的坐标为当时，点的坐标为，连接交于点，由极点极线的定义可知，点对应的极线经过点，而点的对应的极线方程为，该直线即为与直线交点的轨迹，当，得，故直线必经过轴上的定点13【解析】（1）设，则依题意得，又，所以有，整理得，故动点的轨迹方程为（2）法一：设直线，与联立，得，即，依题意，即，设直线与动点的轨迹交于

24、点，则，得，而，得，又，设为以为直线的圆上一点，则由，得，整理得，由的任意性得且，解得，综上知，以为直径的圆过轴上一定点法二：设，则曲线在点处切线，令，得，设，则由，得，即，由的任意性得且，解得，综上知，以为直径的圆过轴上一定点14【解析】（1）由题意知，因此弦所在直线方程为，即；（2）如图，设点到直线、的距离分别为，则，当时取等号四边形面积的最大值为11；（3）证明：由题意可知、两点均在以为直径的圆上，设，则该圆的方程为，即：又、在圆上，直线的方程为，即，由，得，直线过定点15【解析】（1）椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程为，由已知得，所以，椭圆的方程为，当直线与轴垂直时与题意不符，设直线的方程为，将直线的方程代入椭圆的方程化简得，则，解得直线的方程为；（2