随机变量的数字特征

1、第四章随机变量的数字特征讨论随机变量数字特征的原因(1)在实际问题中，有的随机变量的概率分布难确定，有的不可能知道，而它的一些数字特征较易确定。(2)实际应用中，人们更关心概率分布的数字特征。(3) 一些常用的重要分布，如二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等，只要知道了它们的某些数字特征，就能完全确定其具体 的分布。4.1 数学期望一、数学期望的概念1 .离散性随机变量的数学期望例4. 1:大学一年级某班有32名同学，年龄情况如下：年龄171819202122人数2710841求该班同学的平均年龄解:17 2 18 7 19 10 20 8 21 4 22 12 7 10 8 4 1把上式

2、改写为:设X为从该班任选一名同学的年龄，其概率分布为X171819202122P2/327/3210/328/324/321/32定义4.1:设离散型随机变量 X的分布列为:x1X2X3.Xk.P1P2P3.Pk.若xkPk绝对收敛(IPxkPkxk Pk)则称它为kkkX的数学期望或均值(此时，也称 X的数学期望存在)，记为E(X)，即xk Pk发散，则称X的数学期望不存在。说明:(1)随机变量的数学期望是一个实数，它体现了随机变量取值的平均；(2) 要注意数学期望存在的条件：xk Pk绝对k收敛；(3) 当X服从某一分布时，也称某分布的数学期望为EX 。例4. 2:设X服从参数为p的两点分

3、布，求EXEX=p例 4. 3:设 X?B(n,p),求 EXEX=np例4. 4:设X服从参数为？勺泊松分布，求EXEX=2 .连续型随机变量的数学期望定义 4.2:设连续型随机变量 X 的概率密度为f(x).若积分xf (x)dx绝对收敛，(即f (x)dx则称它为X的数学期望或均值(此时，也称 X的数学期望存在)，记为E(X)，即E (X ) xf (x)dx则称X的数学期x f(x)dx望不存在。例 4.5设 X 服从 Ua,b,求 E(X)。a bEX=2例4.6设X服从参数为？勺指数分布，求EXEX=2例 4.7: X N(,)，求 EXEX=下面分析书上P101-P104例。例

4、1P101P101例3P102-103解：注意由于8:009:00, 9:0010:00者B恰有一辆车至IJ站，所以(i)8:00到车站的旅客在8:50前一定会上车，而(ii)8:20到车站的旅客则可以直到9:50才会上车。例 4 P1033 .随机变量函数得数学期望定理4.1设随机变量X的函数为Y =g(X),1) 若离散型随机变量X 的分布律为/ P(XXk),k =1,2,g(xk)pk 绝对收敛，则Y 的数学期k望存在，且E(Y) Eg(X)g(xk) pkk2) ) 若连续型随机变量X 的概率密度为f(x), Y =g(X)也是连续型随机变量,g(x) f (x)dx绝对收敛，则Y

5、的数学期望存在，且定理4.2:设二维随机变量(X ,Y )的函数Z=g(x,y)(1)若二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律且有i,jg(xi,yj)pij绝对收敛，则Z 的数学期望存在，且(2)若二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度 为 f (x,y),Z=g(X,Y) 也 是 连 续 型 随 机 变 量 g(x, y) f (x, y)dxdy 绝对收敛，则 Z 的数学期望存在，且例 5 P106例 6 P107例 7 P107以下为第一版例。并且例 4.8:设 X?U?0,?，? Y=sin X,求 E(Y )例 8 P109中,n,例4.9设(X,Y)的联合分布律为 其/、0

6、;0 p 1; n 0, 1, 2, ;m 0,1,求 E(XY)。二 .数学期望的性质性质1:若c为常数，则E(c)=c。性质2:若c为常数，随机变量X的数学期望存在，则:cX的数学期望存在，且E(cX尸cE(X)性质3:若二维随机变量(X,Y)的分量X,Y的数学期望都存在，则X+Y的数学期望存在，且E(X+Y)=E(X)+E(Y)推论:若 n 维随机变量(X1,X2,.,Xn )的分量X1,X2,.,Xn 的数学期望都存在，则X1 + X2+.+ Xn的数学期望存在，且性质4:若随机变量X,Y相互独立，它们的数学期望都存在，则 X?Y的数学期望存在，且推论:若随机变量Xl,X2，.X相互独

7、立，它们的数学期望都存在，则 XlX23Xn的数学期望存在,且性质5:若随机变量只取非负值，又 E(X)存在，则E(X)?0。若 X Y 对任何 S ， E(X), E(Y) 存在，则E(X) E(Y)。特 别 地 ， 若 a X b,a,b 为 常 数 ， E(X) 存 在 ， 则a E(X) b。例 9 P110第一版例例4.14:设一批同类型的产品共有 N件，其中次品有M件。今从中任取n (假定n& N-M )件，记这n件中所含次品数为X,求E (X)。三.综合性的例题(第一版)例:设X的概率密度为 .2f (x)a bx 0 x 10其它 ，3其中a,b为常数，且E (X)=。求a,b

8、的值。5注意：f(x)中有几个未知数要建几个方程来求之。例：射击比赛规定：每位射手向目标独立重复射击四法子弹， 全未中的0分，仅中一发得 15分，恰中两发得30分，恰中三发得55分，全中得100分。若某射手的命中率为0.6, 求他得分的数学期望。例:某水果商店，冬季每周购进一批苹果。已知该店一周苹果销售量X(单位:kg)服从U1000,2000购进的苹果在一周内售出，1kg获纯利1.5元；一周内没售出，1kg需付耗损、储藏等费用0.3元。问一周应购进多少千克苹果，商店才能获得最大的平均利润。 4-2方差一.方差的概念1、定义4.3设 随机变量X的数学期望为E(X)，若E(X-E(X)2存在，则

9、称它为X的方差(此 时，也称X的方差存在)，记为D(X)或Var(X)，即D(X)=E(X-E(X) 2称D(X)的算术平方根 Jd (X)为X的标准差或均方差，记为 (X )，即由数学期望的性质5知，若随机变量X的方差D(X)存在，则D(X)?0o简言之，方差 是一个非负实数。当X服从某分布时，我们也称某分布的方差为 D(X)02、计算方差(1)若X是离散型随机变量，其分布律为 pi=P(X=Xi),i=1,2,旦D(X)存在,则(2)若X是连续型随机变量，其概率密度为 f(x)，且D(X)存在，则(第一版)例 1:设 X?B(1,p),求 D(X)例 2:设 X?N(?,?),求 D(X)

10、例 3:设 X?Ua,b,求 D(X)(3)D(X)=E(X 2)-(EX)2证明： P112.例 1P112例 2P112(第一版)例 4:设 X?(?)求 D(X)例 5：已知X N (10,22),Y (3)，求 E(X2 2Y2)二 .方差的性质性质1:若 C 为常数，则D(C)=0性质2:若 C 为常数,随机变量X 的方差存在，则CX 的方差存在，且D(CX)=C 2D(X)证明由自己完成性质3:若随机变量X,Y相互独立，它们的方差都存在，则 X?Y的方差也存在，且D(X?Y)=D(X)+D(Y)证明： P113推论:若随机变量Xi,X2，,Xn相互独立，它们的方差都存在，则Xi+X

11、2 + .+Xn的方差存在, 且性质4:若随机变量X的方差存在，对任意的常数 C?E(X)则D(X)= E(X EX )? E(X-C)2即函数g(C)=E(X-C)2在C=E(X)处达到最小值 D(X)。性质5若D(X)存在，则D(X)=0的充要条件是：P(X=E(X)=1例 3 P113第一版例：例 6: X 服从 B(n,p),求 D(X).例 7：某种商品每件表面上的疵点数X 服从泊松分布，平均每件上有0.8个疵点。若规定表面不超过一个疵点的为一等品，价值十元，表面疵点数大于1 不多于 4 的为二等品，价值 8 元。某件表面疵点数是4 个以上着为废品，求产品价值的均值和方差。已知 X

12、(0.8)设产品价值为R.V.YY取值0810X(X4)(1X 4)(X 1)P( Y=k)P(X4=p(1X4)P(X 1)1-0.8088=P(X 4)-=1-0.1898P(X 1)p(x 2)=i-p(X 5)=0.8088-i-p(X 2)=0.1898E(X) 8 0.1898 10 0.8088 9.6 元X E(X )v D (X )，其中E(X)是X的数学期望，求E(X )和 D(X例：设随机变量X的方差D(X)存在，且D(X)?0令.契比雪夫不等式(Chebyshev)契比雪夫不等式：设随机变量 X的方差D(X)存在，则对任意的？?0均有D ( X )P?X-E(X)? ?

13、2或等价地D(X)P?X-E(X)?1-2例：P?X-E(X)?3斗0.8889P?X-E(X)?4 斗0.93752解：P?X-E(X)?3(?1-(3 )21=1 -91P?X-E(X)?4(?1-16Data;A=8/9; put a=;A=15/16; put a=;Run;A=0.9375 4.3几种生要随机变量的数学期望与方差P115这部分结果很重要，要牢记。P117,关于正态随机变量的三个重要数据:SAS勺两种计算公式：datap1=PROBNORM(1)-PROBNORM(-1); put p1=;p2= PROBNORM(2)-PROBNORM(-2); put p2=;p3

14、= PROBNORM(3)-PROBNORM(-3); put p3=; run;datap1=2*PROBNORM(1)-1; put p1=;p2=2*PROBNORM(2)-1; put p2=;p3=2*PROBNORM(3)-1; put p3=;run;也可以验证数据，即以为中心，需要几倍的标准差距离所构成的区间，其区间内的概率为上述所示。Data;q1=abs(probit(1-)/ 2);put q1=;q2=abs(probit(1-)/ 2);put q2=;q3=abs(probit(1-)/ 2);put q3=;run;q2=2dataq1=probit(1-(1 -

15、)/ 2);put q1=;q2=probit(1-(1 -)/ 2);put q2=;q3=probit(1-(1 -)/ 2);put q3=;run;q2=2注意：为中心，概率为90%,95%, 98%, 99%的区间，需要几倍的标准差距离Data;q1=abs(probit(1-0.9)/2);put q1=;q2=abs(probit(1-0.95)/2);put q2=;q3=abs(probit(1-0.98)/2);put q3=;q3=abs(probit(1-0.99)/2);put q3=;run;比如，P 1.96 X 1.96=0.95=0.9等的结论也是常用的。几乎

16、都成常识了。书示附表1中列出了多种常用的随机变量的数据期望和方差。4.4协方差及相关系数一.协方差与相关系数的概念1定义定义4.4:设二维随机变量(X,Y),它的分量的数学期望为E(X),E(Y),若E(X-E(X)(Y-E(Y)存在，则称它为X,Y的协方差，记为Cov(X,Y),即Cov(X,Y)=E(X-E(X)(Y-E(Y)2.计算(1)用定义计算若 二 维 离 散 型 随 机 变 量 (X,Y) 的 联 合 概 率 分 布 律pijP(Xxi,Yyj 3=1,2?且 Cov(X,Y)存在，则E(Y)pijCov(X,Y)= i,j (xiE(X)(yj若二维连续型随机变量(X,Y)的联

17、合概率密度为f(x,y)H Cov(X,Y)存在，则2) 、公式在计算Cov(X,Y)时，除用定义外，有时用下述公式较方便:Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)第一版例：不讲。例：设(X,Y)在圆域上服从均匀分布，判断 X,Y是否不相关。并求Cov(X,Y)。例：设(X,Y)的联合分布律为0,0 p 1,n 0,1,2 ,m 0,1,2, ,n求Cov(X,Y),并讨论X,Y的相关性。说明：(1)Cov(X,Y)能反映X与Y之间某种联系的程度 (2)Cov(X,Y)是有量纲的量，其值与(X,Y)的取值单位有关。3相关系数定义4.5若二维随机变量(X,Y)的分量的方差D(X),D(Y)

18、都存在，且D(X)?0,D(Y)?0则称Cov(X,Y)vD(X)x/D(Y)为X,Y的相关系数，记为？XY,即Cov ( X , Y ) 廿、/d ( X )、/d (Y )定义4.6:若？y=0则称X,Y不相关；若 XY 0称X,Y正相关；若 XY则称X,Y负相关4.随机变量X,Y独立性与不相关的关系(1)一般情况下，设xy存在，若X,Y相互独立,则 xy 0 ，即 X,Y 不相关。22y r 上均匀分布。可知X， Y 不X,Y不相关。反之,X,Y不相关，但X,Y不一定独立。2如例 ： (书4.31) ( X， Y) 在 D : x相关，但X， Y 不独立。(2的别，对于二维正态分布(X,

19、Y)服从X,Y相互独立二 协方差与相关系数的性质1.性质性质1:若X,Y的协方差Cov(X,Y)存在，则E(XY)=E(X)E(Y)+Cov(X,Y)性质2:若(X,Y)两个分量的方差都存在，则D(X?Y)=D(X)+D(Y)?2Cov(X,Y)推论:若(Xi,X2,Xn)各分量的方差都存在，则 性质3：设下述各式所出现的协方差都存在，则有Cov(X,Y)=Cov(Y,X)Cov(aX,Y)=a Cov(X,Y)Cov(X,X)=D(X)X2 y22 2Cov(a,X)=0 其中a为常数例3(第一版)：设(X, Y) f (x,y)例 1 P121Cov(2X+Y, X2Y)性质4:若X,Y的相关系数 XY存在，则？ XY ?1;的有Y=aX+b,即(2)? XY?=1的充要条件是：存在常数a,b且a?0得概率为1P(Y=aX+b)=1几点说明(1) 由性质的证明可见：1 xy 1 PY aX b 1，a0 ,这时称X与Y完全正相关；2 xy 1 PY aX b 1,a0这时称X与Y完全负相关。完全正相关和完全负相关统称为完全相关，当 X与Y完全相关时，(X,Y)可能取的值概