高中新课程概率中若干易错点分析及应对之策

1、精选优质文档-倾情为你奉上高中新课程概率学习中几个易错点分析江苏省运河高等师范学校 彭玉忠概率历来是高中数学的一个难点，而新课程又增加了几何概型和条件概率，且在概率的必修部分学习时，还没有学习计数原理，这些，都又进一步增加了概率的难度。本文根据教学实践，对概率学习中的几个易错点加以剖析，供参考。一、逐个抽取和一次抽取例1 在一个盒子中有大小一样的20个球，其中10个红球，10个白球。（1）从中不放回地逐个抽取连抽两次，求先抽到红球后抽到白球的概率；（2）从中不放回地逐个抽取连抽两次，求所抽两球为一个红球一个白球的概率；（3）从中任意抽取两球，求所抽两球一个是红球一个是白球的概率。解 ：（1）所

2、进行的随机试验是“不放回连抽两次”，每抽一次是完成这件事的一个步骤，故适宜用乘法原理思考。第一次抽有20种可能，第二次抽有19种可能，故完成这件事共有种方法，即这一试验共有个等可能的结果（基本事件），其中事件A：“所抽两球先红后白”共含有基本事件 个，所以，（2）随机试验及所得的基本事件总数与（1）相同，其中事件B：“所抽两球一红一白”包括“先红后白”和“先白后红”两种情况，共含有基本事件 个，所以，（3）所进行的随机试验是“一次抽两球”，所抽两球与顺序无关，属组合问题。所有可能结果（基本事件）共有 种，其中，事件C：“所抽两球一红一白”含有的基本事件为种，所以，本例是古典概型中学生易错的一类

3、题型，错误的主要原因是对何时看成有序何时看成无序弄不清楚。上述解法是（1）、（2）都看作有序，（3）看作无序。但显然（2）与（3）的意义相同，因而（3）的解法也适用于（2），这说明（2）也可以看成无序来解。一般地，在涉及逐次抽取与一次抽取、有序与无序等概率问题时，可提醒学生参考这样的思路：逐次抽取（抽后不知结果，下同）按有序处理，一次抽取按无序处理；无论有序还是无序，计算总基本事件数与所论事件含有的基本事件数须持同一看法。二、事件积的概率与条件概率例2 在一个盒子中有大小一样的20个球，其中10个红球，10个白球。（1）从中不放回地逐个抽取连抽两次，求先抽到红球后抽到白球的概率；（2）从中不放

4、回地逐个抽取连抽两次，求先抽到红球的情况下后抽到白球的概率。解 ：本题（1）题和例1（1）相同，只是换一个角度思考：把一个事件的两个步骤看成两个事件的积。记“第一次抽到红球”为事件A，“第二次抽到白球”为事件B，则“先抽到红球后抽到白球”为事件积AB，（2）“先抽到红球的情况下后抽到白球”为条件事件，故本题为条件概率，事件积的概率和条件概率是学生学习的又一易错点，错误的主要原因是学生面对具体问题，往往分不清什么是事件积的概率？什么是条件概率？如本例，如把（1）和（2）放在一起比较，学生可能能够知道（1）是事件积的概率，（2）是条件概率。但若孤立地看（1），学生很可能也认为是条件概率。教学中，应

5、注意结合实例，使学生学会区别事件积的概率和条件概率。事实上，事件积表达的是两个事件同时并列共处情况，事件积中的两个事件都是随机事件，在用语言叙述时，这两个事件可能分先后用一句话连贯表述，也可能中间用逗号或顿号分开；而条件概率表达的是一个事件已发生的条件下另一个事件发生的情况，这两个事件不是平等的，一个是确定性事件，已发生，另一个是随第一个变化的随机事件。因此，区别事件积的概率和条件概率的方法主要是注意两点：一是看题目中是否有“发生的条件下”之类的词语；二是根据题意结合生活常识分析事件间的关系。例3（苏教版选修23习题2.4）在电路中，电压超过额定值的概率为，在电压超过额定值的情况下，电气设备被

6、烧坏的概率为。求由于电压超过额定值而使电气设备被烧坏的概率。解：设“电压超过额定值”为事件A，“电气设备被烧坏”为事件B，则根据题目的文字表述可知，是条件概率，“由于电压超过额定值而使电气设备被烧坏”是事件积AB，所以有，。例4（苏教版选修42习题2.3）假设某市的天气分为晴和阴两种状态，若今天晴，则明天晴的概率为，阴的概率为；若今天阴，则明天晴的概率为，阴的概率为。如果清晨天气预报报告今天阴的概率为，那么明天的天气预报会是什么？后天呢？解 ：记“今天晴”为事件A，“明天晴”为事件B，则“今天阴”为，“明天阴”为。根据题意和生活常识可知均为条件概率，。所以，同法求得。一般地，利用条件概率构成天

7、气变化趋势的转移矩阵，利用矩阵乘法，可依次推算以后每天天气晴、阴的概率。三、超几何分布和二项分布例5 有一批产品共100件，其中有5件不合格品。（1）从中一次任取50件，求所取50件中有两件不合格品的概率。（2）从中每次任取一件，取后不放回，连取50件，求所取50件中有两件不合格品的概率。（3）从中每次任取一件，取后放回，连取50件，求所取50件中有两件不合格品的概率。解：（1）是超几何分布问题。设X为抽取的50件中不合格品的个数，则XH(50,5,100)，；（2）是无放回逐个抽取，可按乘法原理思考，由此可见，（2）与（1）虽取法不同，但实际意义相同。（3）是有放回抽取，各次抽取相互独立且每

8、次抽取都只有互相对立的两种结果，故是二项分布问题，设X为抽取的50件中不合格品的个数，则XB(50,0.05)，本题的几个小题涉及超几何分布和二项分布，也是学生的一个易错点。错误的主要原因是对一次抽取与逐次抽取的区别和联系、独立重复试验的特征、超几何分布与二项分布的主要区别等问题认识不清。教学中，应结合实例，使学生弄清如下问题：超几何分布，是指N件产品中有M件次品，从中任取n件，其中次品件数X的概率分布，。其中，抽取的n件一般是指一次性抽取。若是无放回逐个抽取，则由乘法原理，结果与一次性抽取相同。故在超几何分布中，抽取的n件也可认为是逐个无放回抽取。但无放回逐个抽取与一次抽取也并不完全相同，前

9、者常表示有序，产生的可能结果较复杂，而后者表示无序，产生的可能结果相对较简单。如本题（2）题，可以研究“所取50件中第40、45两件是次品”的概率，而一次性抽取的（1）题则不能研究这类似的问题。二项分布须具备两个条件：一是n次试验相互独立；二是每次试验都只有两个结果，。无放回逐个抽取满足第二个条件，但不满足第一个条件。例如，若设“取到次品”为事件A，则无论是无放回抽取的（2）题还是有放回抽取的（3）题，每次抽取都只有两种可能，且都有。但（2）题的各次抽取不独立，因而不是二项分布，而（3）题是二项分布。当总量N很大且抽取的数量n相对较小时，无放回抽取与有放回抽取差别不大。此时，本来服从超几何分布

10、的，可近似看成服从二项分布。四、关于几何概型例6 在单位圆内任作一弦，求其长度大于圆内接正三角形边长的概率。设AB是任意一弦，记“”为事件A。则有：解法1 （如图1）作圆的直径PQ垂直于AB并和AB交于H，分别以P、Q为顶点作圆的内接等边三角形，这两个三角形的边分别交PQ于点M、N，则当点H在线段MN上时，有，否则，。而容易证明，所以，.解法2（如图2）以A为顶点作圆的内接正三角形AMN，则若点B落在所夹的之所以会出现不同的结果，是由于两种解法所依据的基本事件构成的点集不同，前者的点集是线段，后者的点集是圆弧。这也是学生在解几何概型问题时容易致错的主要原因。因此，教学中，应注意提醒学生，要根据

11、题意，弄清两个关键性的集合：一是所考查的基本事件构成的全集，二是事件A所对应的在全集中的子集。只要这两个集合搞清楚，那么用其测度比求概率就水到渠成了。例7 在等腰直角三角形ABC中，（1）在斜边AB上任取一点M，求AMAC的概率；（2）过直角顶点C在内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AMAC的概率。解：如图3，对（1）来说，变动的是点M，所构成的全集为线段AB，其中，满足AMAC的子集为线段（），故有；而对于（2）来说，变动的是射线CM，所构成的全集为，满足AMAC的子集为（），从而有本文的几点看法，不一定恰当，盼与老师们进一步研讨。参考文献：1、普通高中课程标准实验教科书.数学M.北京.人民教育出版社A版.20042、普通高中课程标准实验教科书.数学M.北京.人民教育出版社B版.20