202X届高考数学一轮复习第十一章计数原理11.1排列与组合课件

1、高考高考数学数学 (山东专用)第十一章 计数原理11.1排列与组合A A组山东省卷、课标组山东省卷、课标卷题组卷题组考点排列、组合考点排列、组合五年高考1.(2019课标全国理,6,5分)我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“ ”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A. B. C. D. 516113221321116答案答案 A 本题以数学文化为背景考查排列与组合;考查学生的数据处理能力和应用意识;考查的核心素养是数学建模与数学运算.重卦是由从下到上排列的6个爻组成,而爻有“阳爻”和“阴爻

2、”两种,故所有的重卦共有26=64种.重卦中恰有3个“阳爻”的共有=20种.故所求概率P=,故选A.36C33C2064516审题指导审题指导 本题渗透了中国传统文化,以周易中的“卦”为背景,考查排列、组合,组成所有重卦的情况是“可重复排列”问题,从下到上的每个爻都有两种选择;而其中恰有3个阳爻的重卦,只需从6个爻中选出3个作为阳爻,其余均为阴爻,本题是一个标准的组合问题.2.(2013山东,10,5分)用0,1,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()A.243 B.252 C.261 D.279答案答案 B由分步乘法计数原理知:用0,1,9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个数

3、为91010=900,组成没有重复数字的三位数的个数为 =648,则组成有重复数字的三位数的个数为900-648=252,故选B.19A29A3.(2018课标全国,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有 种.(用数字填写答案)答案答案16解析解析本题主要考查组合问题.解法一:从2位女生,4位男生中选3人,且至少有1位女生入选的情况有以下2种:2女1男:有=4种选法;1女2男:有=12种选法,故至少有1位女生入选的选法有4+12=16种.解法二:从2位女生,4位男生中选3人有=20种选法,其中选出的3人都是男生的选法有=4种,所以至少有1位

4、女生入选的选法有20-4=16种.22C14C12C24C36C34CB B组课标卷、其他自主命题省组课标卷、其他自主命题省( (区、市区、市) )卷题组卷题组考考点排列、组合点排列、组合1.(2017课标全国,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()A.12种 B.18种 C.24种 D.36种答案答案 D本题主要考查排列、组合.第一步:将4项工作分成3组,共有种分法.第二步:将3组工作分配给3名志愿者,共有种分配方法,故共有=36种安排方式,故选D.24C33A24C33A2.(2016课标全国,5,5分)如图,小明从街道的E处出

5、发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24 B.18 C.12 D.9答案答案 B分两步,第一步,从EF,有6条可以选择的最短路径;第二步,从FG,有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有63=18条可以选择的最短路径.故选B.思路分析思路分析小明到老年公寓,需分两步进行,先从E到F,再从F到G,分别求各步的最短路径条数,再利用分步乘法计数原理即可得结果.3.(2016课标全国,12,5分)定义“规范01数列”an如下:an共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k2m,a1,a2,ak中0的个数不少于1

6、的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有()A.18个 B.16个 C.14个 D.12个答案答案 C当m=4时,数列an共有8项,其中4项为0,4项为1,要满足对任意k8,a1,a2,ak中0的个数不少于1的个数,则必有a1=0,a8=1,a2可为0,也可为1.(1)当a2=0时,分以下3种情况:若a3=0,则a4,a5,a6,a7中任意一个为0均可,则有=4种情况;若a3=1,a4=0,则a5,a6,a7中任意一个为0均可,有=3种情况;若a3=1,a4=1,则a5必为0,a6,a7中任一个为0均可,有=2种情况;(2)当a2=1时,必有a3=0,分以下2种情况:若a4=0,则a5,

7、a6,a7中任一个为0均可,有=3种情况;若a4=1,则a5必为0,a6,a7中任一个为0均可,有=2种情况.综上所述,不同的“规范01数列”共有4+3+2+3+2=14个,故选C.14C13C12C13C12C思路分析思路分析根据题意可知a1=0,a8=1,进而对a2,a3,a4取不同值进行分类讨论(分类要做到不重不漏),从而利用分类加法计数原理求出不同的“规范01数列”的个数.4.(2015四川,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有()A.144个 B.120个 C.96个 D.72个答案答案 B数字0,1,2,3,4,5中仅有0,

8、2,4三个偶数,比40 000大的偶数为以4开头与以5开头的数.其中以4开头的偶数又分以0结尾与以2结尾,有2=48个;同理,以5开头的有3=72个.于是共有48+72=120个,故选B.34A34A评析评析 本题考查了分类与分步计数原理、排列数的知识.考查学生分析问题、解决问题的能力.5.(2019上海,10,5分)某三位数密码,每位数字可在09这10个数字中任选一个,则该三位数密码中,恰有两位数字相同的概率是 .答案答案 27100解析解析设恰有两位数字相同为事件A,解法一:P(A)=.解法二:P(A)=1-=.12110393CCC10271001310103CA1027100易错警示易

9、错警示 所有基本事件的个数为103,而非.310A6.(2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成 个没有重复数字的四位数.(用数字作答)答案答案1 260解析解析本小题考查排列、组合及其运用,考查分类讨论思想.含有数字0的没有重复数字的四位数共有 =540个,不含有数字0的没有重复数字的四位数共有=720个,故一共可以组成540+720=1 260个没有重复数字的四位数.25C13C13A33A25C23C44A易错警示易错警示 数字排成数时,容易出错的地方:(1)数字是否可以重复;(2)数字0不能排首位.7.(2017天津,1

10、4,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有 个.(用数字作答)答案答案1 080解析解析本题主要考查计数原理及排列、组合的应用.(1)有一个数字是偶数的四位数有=960个.(2)没有偶数的四位数有=120个.故这样的四位数一共有960+120=1 080个.14C35C44A45A思路分析思路分析分两种情况:有一个数字是偶数的四位数;没有偶数的四位数.8.(2017浙江,16,4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有 种不同的选法.(用数字作答)

11、答案答案660解析解析本题考查计数原理、排列、组合,排列数、组合数计算,利用间接法解决“至少”类的组合问题,考查推理运算能力.从8人中选出4人,且至少有1名女学生的选法种数为-=55.从4人中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人的选法为=12种.故总共有5512=660种选法.48C46C24A9.(2015广东,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了 条毕业留言.(用数字作答)答案答案1 560解析解析同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,且全班共有40人,全班共写了4039=1 560条毕业留言.C C组教师专用题组组教师专用题组考点排

12、列、组合考点排列、组合1.(2014四川,6,5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A.192种 B.216种 C.240种 D.288种答案答案 B若最左端排甲,其他位置共有=120种排法;若最左端排乙,最右端共有4种排法,其余4个位置有=24种排法,所以共有120+424=216种排法.55A44A2.(2014重庆,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72 B.120 C.144 D.168答案答案 B先不考虑小品类节目是否相邻,保证歌舞类节目不相邻的排法共

13、有=144种,再剔除小品类节目相邻的情况,共有=24种,于是符合题意的排法共有144-24=120种.33A34A33A22A22A3.(2014大纲全国,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有()A.60种 B.70种 C.75种 D.150种答案答案 C从6名男医生中选出2名有种选法,从5名女医生中选出1名有种选法,由分步乘法计数原理得不同的选法共有=75种.故选C.26C15C26C15C思路分析思路分析分两步,先选2名男医生,再选1名女医生,求出各步选法数,进而利用分步乘法计数原理得结果.4.(2014安徽,8,5分)从正方

14、体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60的共有()A.24对 B.30对 C.48对 D.60对答案答案 C利用正方体中两个独立的正四面体解题,如图,它们的棱是原正方体的12条面对角线.一个正四面体中两条棱成60角的有(-3)对,两个正四面体有(-3)2对.又正方体的面对角线中平行成对,所以共有(-3)22=48对.故选C. 26C26C26C5.(2014福建,10,5分)用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个

15、红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)答案答案 A从5个有区别的黑球中取k个的方法数为,故可用(1+c)5的展开式中ck的系数表示.所有的蓝球都取或都不取用1+b5表示,由乘法原理知,符合题

16、意的取法可由(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5表示.5CkA A组组2017201920172019年高考模拟年高考模拟考点基础题组考点基础题组考点排列、组合考点排列、组合三年模拟1.(2019河南南阳期末评估,3)把四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中,则不允许有空盒子的放法有()A.12种 B.24种 C.36种 D.48种答案答案 C根据题意得三个盒子中有1个盒子放2个球,剩下的2个盒子各放1个球.分2步进行分析:先将四个不同的小球分成3组,有=6种分组方法;将分好的3组放到3个盒子中,有=6种放法.则不允许有空盒子的放法有66=36种.故选C.24

17、C33A2.(2019河南洛阳第一次统一考试,5)4名大学生到三家企业应聘,每名大学生至多被一家企业录用,则每家企业至少录用一名大学生的情况有()A.24种 B.36种 C.48种 D.60种答案答案 D每家企业至少录用一名大学生的情况有两种:一种是一家企业只录用一名大学生,则有=24种;另一种是其中有一家企业录用了两名大学生,则有=36种.一共有24+36=60种,故选D.34C33A24C33A3.(2018河北唐山二模,6)用两个1,一个2,一个0可组成不同四位数的个数是()A.18 B.16 C.12 D.9答案答案 D根据题意,分3步进行分析:0不能放在千位,可以放在百位、十位和个位

18、,有3种情况,在剩下的3个数位中任选1个,安排2,有3种情况,在最后2个数位安排2个1,有1种情况.则可组成331=9个不同四位数,故选D.4.(2017福建漳州八校2月联考,8)有六人排成一排,其中甲只能在排头或排尾,乙、丙两人必须相邻,则满足要求的排法有()A.34种 B.48种 C.96种 D.144种答案答案 C特殊元素优先安排,先让甲从头、尾中选取一个位置,有种选法,乙、丙相邻,捆绑在一起看作一个元素,与其余三个元素全排列,最后乙、丙可以换位,故共有=96(种),故选C.12C12C44A22A5.(2018福建福州二模,8)福州西湖公园花展期间,安排6位志愿者到4个展区提供服务,要

19、求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,不同的安排方案共有()A.90种 B.180种 C.270种 D.360种答案答案 B 根据题意,分3步进行分析:在6位志愿者中任选1个,安排到甲展区,有=6种情况;在剩下的5个志愿者中任选1个,安排到乙展区,有=5种情况;将剩下的4个志愿者平均分成2组,然后安排到剩下的2个展区,有=6种情况.则一共有656=180种不同的安排方案,故选B.16C15C224222C CA22A6.(2017豫南九校2月联考,10)某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队,平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊,其中每个分队都必须有

20、内科医生、外科医生和护士,则不同的分配方案有()A.72种 B.36种 C.24种 D.18种答案答案 B (+)=36(种).12A23C13C13C23C7.(2018河南商丘二模,8)高考结束后6名同学游览我市包括日月湖在内的6个景区,每名同学任选一个景区游览,则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有()A.种 B.54种 C.种 D.54种26A45A26A26C45A26C答案答案 D根据题意,分2步进行分析:先从6名同学中任选2人,去日月湖景区旅游,有种方案,对于剩下的4名同学,每人都有5种选择,则这4人有5555=54种方案.则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有54种,故选D

21、.26C26C思路分析思路分析 根据题意,分2步进行分析:先从6名同学中任选2人,去日月湖景区旅游,分析剩下的4个同学,由分步计数原理可得4人的方案数目.最后由分步计数原理计算可得答案.方法总结方法总结常见的排列、组合问题的处理方法:相邻问题捆绑处理.不相邻问题插空处理.有限制条件问题优先处理.8.(2017江西八所重点中学联合模拟,13)摄像师要对已坐定一排照相的5位小朋友的座位顺序进行调整,要求其中恰有2人座位不调整,则不同的调整方案的种数为 .(用数字作答)答案答案20解析解析从5人中任选3人有种,将3人位置全部进行调整,有种,故有N=20种调整方案.35C12C11C11C35C12C

22、11C11C思路分析思路分析先考虑从5人中任选3人的方法数,再考虑3人位置全调的方法数,进而利用分步计数原理得结果.B B组组2017201920172019年高考模拟年高考模拟专题综合题组专题综合题组 时间:20分钟分值:30分一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2018河北保定一模,9)甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A、B、C三个不同社区进行帮扶活动,每人只能去一个社区,每个社区至少一人.其中甲必须去A社区,乙不去B社区,则不同的安排方法种数为()A.8 B.7 C.6 D.5答案答案 B根据题意,分2种情况讨论:乙和甲一起去A社区,此时将丙、丁二人安排到B、C社区即可,有=2种

23、情况,乙不去A社区,则乙必须去C社区,若丙、丁都去B社区,有1种情况,若丙、丁中有1人去B社区,则先在丙、丁中选出1人,安排到B社区,剩下1人安排到A或C社区,有22=4种情况.则不同的安排方法有2+1+4=7种,故选B.22A思路分析思路分析根据题意,分2种情况讨论:乙和甲一起去A社区,此时将丙、丁二人安排到B、C社区即可,乙不去A社区,则乙必须去C社区,分别求出每种情况的安排方法数目,由加法原理计算可得答案.方法总结方法总结利用分类计数原理解决实际问题时应做到分类标准统一,且不重不漏.2.(2018河南豫北名校联考,9)2018年元旦假期,高三的8名同学准备拼车去旅游,其中(1)班、(2)

24、班、(3)班、(4)班每班各两名,分乘甲乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中(1)班两位同学是孪生姐妹,需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有()A.18种 B.24种 C.48种 D.36种答案答案 B由题意,有两类:第一类,一班的2名同学在甲车上,甲车上剩下两个要来自不同的班级,从三个班级中选两个,有=3种,然后分别从选择的班级中再选择一个学生,有=4种,故有34=12种.第二类,一班的2名同学不在甲车上,则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上,有=3种,然后从剩下的两个班级中分别选择一人,有=4种,这时共有

25、34=12种,根据分类计数原理得,共有12+12=24种不同的乘车方式,故选B.23C12C12C13C12C12C3.(2019河南中原名校第一次质量考评,9)甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借A、B、C、D四类课外书(每类课外书均有若干本),已知每人只借阅一本,每类课外书均有人借阅,且甲只借阅A类课外书,则不同的借阅方案种数为()A.48 B.54 C.60 D.72答案答案 C当除甲外的四位同学每人借阅一类课外书,且各不相同时,有=24种借阅方案,当除甲外的四位同学借阅除A类外的三类课外书时,有=36种借阅方案,所以共有24+36=60种不同的借阅方案,故选C.44A24C33

26、A二、填空题(每小题5分,共15分)4.(2019湖北仙桃、天门、潜江期末,15)在学校国庆文艺晚会上,有三对教师夫妇参加表演节目,要求每人只能参加一个单项表演节目,按节目组节目编排要求,男教师的节目不能相邻,且夫妻教师的节目也不能相邻,则该6名教师表演的节目的不同编排顺序共有 种.(用数字填写答案)答案答案24解析解析把6个节目按照先后出场顺序依次记为编号1,2,3,4,5,6,则3名男教师只有(1,3,5),(1,3,6),(1,4,6),(2,4,6),4种位置,由夫妻教师的节目不能相邻,可得以上4种安排的每种安排里,3名女教师的安排均是1种,故该6名教师表演的节目的不同编排顺序共有4=

27、24种.33A5.(2019河北衡水中学第一次联考,15)由数字0,1组成的一串数字代码,其中恰好有7个1,3个0,则这样的不同数字代码共有 个.答案答案120解析解析10个元素进行全排列共有 种结果,这样前面的全排列就出现了重复,共重复了 次,故得到不同的数字代码共有=120个.1010A77A33A10107373AA A6.(2019广东汕头质检,14)把分别写有1,2,3,4,5的五张卡片全部分给甲、乙、丙三个人,每人至少一张,且若分得的卡片超过一张,则必须是连号,那么不同的分法种数为 (用数字作答).答案答案36解析解析先将卡片分为符合条件的3份,由题意,3人分5张卡片,且每人至少一

28、张,至多三张,若分得的卡片超过一张,则必须是连号,相当于将1、2、3、4、5这5个数用2个板子隔开,在4个空位插2个板子,共有=6种情况,再对应到3个人,有=6种情况,则共有66=36种分法.24C33AC C组组2017201920172019年高考模拟年高考模拟应用创新题组应用创新题组1.(2019安徽合肥质检,10)某商场进行购物摸奖活动,规则是:在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个小球,每次摸奖需要同时取出两个球,每位顾客最多有两次摸奖机会.并规定:若第一次取出的两个球号码连号,则中奖,摸奖结束;若第一次未中奖,则将这两个小球放回后进行第二次摸球.若与第一次取出的两个小球号码相同,则为中奖.按照这样的规则摸奖,中奖的概率为()A. B. C. D. 451925235041100答案答案 C分两种情况,第一种情况是第一次摸到连号,则概率为P(A)=,第二种情况对应概率为P(B)=,所以中奖的概率为P(A)+P(B