等腰三角形典型例题练习(含答案)

1、等腰三角形典型例题练习等腰三角形典型例题练习1 .选择题（共2小题）1 .如图，/ C=90°, AD平分/ BAC交BC于D,若BC=5cm , BD=3cm ,则点 D到AB的距离为（）A . 5cmB . 3cmC. 2cmD.不能确定2 .如图，已知 C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在 AB的同一侧作等边 ACD 和等边ABCE,连接AE交CD于M,连接BD交CE于N.给出以下三个结论： AE=BD CN=CM MN / ABA. 0B. 1C. 2D. 32 .填空题（共1小题）3 .如图，在正三角形 ABC中，D, E, F分别是 BC, A

2、C, AB上的点，DEAC, EFXAB , FDXBC,贝U DEF 的面积与4ABC的面积之比等于.三.解答题（共15小题）4.在4ABC中，AD是/ BAC的平分线，E、F分别为 AB、AC上的点，且/ EDF+/ EAF=180 °,求证DE=DF5 .在ABC中，/ ABC、/ ACB的平分线相交于点 O,过点。作DE / BC,分别交 AB、AC于点D、E.请说明 DE=BD+EC .BC6 . 已知：如图，D是ABC的BC边上的中点，DE，AB, DFXAC ,垂足分别为 E, F,且DE=DF .请判断ABC 是什么三角形？并说明理由.7 .如图，4ABC是等边三角形

3、，BD是AC边上的高，延长 BC至E,使CE=CD .连接DE.(1) / E等于多少度？(2) ADBE是什么三角形？为什么？8 .如图，在 4ABC 中，/ ACB=90 °, CD 是 AB 边上的高，/ A=30°.求证：AB=4BD .9 .如图，4ABC中，AB=AC，点D、E分别在 AB、AC的延长线上，且 BD=CE , DE与BC相交于点F.求证: DF=EF .10 .已知等腰直角三角形 ABC , BC是斜边./ B的角平分线交 AC于D,过C作CE与BD垂直且交BD延长线 于E,求证：BD=2CE .11 . (2012?牡丹江)如图 ，4ABC中.

4、AB=AC , P为底边BC上一点，PE± AB , PF± AC, CH LAB ,垂足分 别为E、F、H.易证PE+PF=CH .证明过程如下：如图，连接AP. PEXAB , PF± AC, CH LAB, Saabp=-AB ?PE, Saacp=-AC?PF, Saabc=-AB?CH .222又 saabp+Saacp=Saabc ,工AB ?PE+2aC ?PF=1aB ?CH .222 AB=AC ,PE+PF=CH .(1)如图，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：(2)填空：若/

5、 A=30 °, AABC的面积为49,点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF,当PF=3时，则 AB边上的高 CH=.点P到AB边的距离 PE=.AA图 图12 .数学课上，李老师出示了如下的题目：在等边三角形 ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且 ED=EC ,如图，试确定线段 AE与DB的大小 关系，并说明理由小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：(1)特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1,确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB (填 法”,之”或=").(2)特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE

6、DB (填 法"，之"或=").理由如下：如图2,过点E作EF/ BC,交AC于点F.(请你完成以下解答过程)(3)拓展结论，设计新题在等边三角形 ABC中，点E在直线 AB上，点D在直线BC上，且ED=EC .若4ABC的边长为1, AE=2 ,求CD的长(请你直接写出结果).图1图213 .已知：如图， AF平分/ BAC , BCLAF于点E,点D在AF上，ED=EA ,点P在CF上，连接 PB交AF于点 M .若/ BAC=2 / MPC,请你判断/ F与/ MCD的数量关系，并说明理由.14 .如图，已知 4ABC是等边三角形，点 D、E分别在BC、AC

7、边上，且 AE=CD , AD与BE相交于点 F.(1)线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论.(2)求/ BFD的度数.BD C15 .如图，在 4ABC中，AB=BC , / ABC=90 °, F为AB延长线上一点，点 E在BC上，BE=BF ,连接 AE、EF 和CF, 求证：AE=CF .16 .已知：如图，在 4OAB 中，/ AOB=90 °, OA=OB ,在 EOF 中，/ EOF=90 °, OE=OF,连接 AE、BF.问线 段AE与BF之间有什么关系？请说明理由.17 . （2006?郴州）如图，在 4ABC中，AB=AC , D是BC上

8、任意一点，过 D分别向AB , AC引垂线，垂足分别为 巳F, CG是AB边上的高.（1） DE, DF, CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由.18.如图甲所示，在 4ABC中，AB=AC ,在底边BC上有任意一点P,则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上 的高），即PD+PE=CF,若P点在BC的延长线上，那么请你猜想 PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你 的猜想并加以证明.甲j等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析一.选择题（共2小题）1 .如图，/ 0=90°, AD

9、平分/ BAC交BC于D,若BC=5cm , BD=3cm ,则点 D到AB的距离为（）c D 5A . 5cmB . 3cmC. 2cmD.不能确定考点：角平分线的性质.分析：由已知条件进行思考，结合利用角平分线的性质可得点D到AB的距离等于 D到AC的距离即CD的长，问题可解.解答：解：C=90°, AD平分/ BAC交BC于D. D到AB的距离即为 CD长CD=5 - 3=2故选C.2.如图，已知 C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在 AB的同一侧作等边 ACD 和等边BCE,连接AE交CD于M,连接BD交CE于N,给出以下三个结论：AE=BDCN=

10、CMMN / AB其中正确结论的个数是（）DEAC BA . 0B . 1C. 2D. 3考点：平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.分析：由4ACD和ABCE是等边三角形，根据 SAS易证得ACEA DCB ,即可得 正确；由 ACE DCB ,可得/ EAC=/NDC,又由/ ACD= / MCN=60 °,利用 ASA ,可证得 ACM DCN ,即可得 正确；又可证得 4CMN是等边三角形，即可证得 正确.解答：解：. ACD 和 ABCE 是等边三角形，ACD= Z BCE=60 °, AC=DC , EC=BC , . / ACD+ /

11、DCE= / DCE+/ ECB ,即/ACE=/DCB, /. ACEA DCB (SAS),.AE=BD ,故正确；/ EAC= / NDC , / ACD= / BCE=60 °,/ DCE=60 °,/ ACD= / MCN=60 °, . AC=DC , ACM DCN (ASA),CM=CN ,故正确；又/ MCN=180 - / MCA - / NCB=180 - 60 - 60 =60°,CMN是等边三角形，NMC= ZACD=60 °,MN /AB ,故 正确.故选 D.二.填空题(共1小题)3.如图，在正三角形 ABC中，D

12、, E, F分别是 BC, AC, AB上的点，DEAC, EFXAB , FDXBC,贝U DEF 的面积与4ABC的面积之比等于1 : 3 .考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.分析：首先根据题意求得： / DFE=Z FED=Z EDF=60 °,即可证得 DEF是正三角形，又由直角三角形中，30。所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得DF: AB=1 : V5,又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果.解答:解：. ABC 是正三角形，B=/C=/A=60°, . DEXAC , EFXAB , FDXBC,

13、 . / AFE= / CED= / BDF=90 °, ./ BFD= / CDE=/AEF=30/ DFE= Z FED= Z EDF=60 °, 图J,BF 2 .DEF 是正三角形，BD : DF=1 : 加,BD: AB=1 : 3 ,ADEFA ABC ,+，=V3, .DF: AB=1 : V3,DEF的面积与ABC的面积之比等于1: 3.DF故答案为：1: 3.三.解答题（共15小题）4.在4ABC中，AD是/ BAC的平分线,E、F分别为 AB、AC上的点，且/ EDF+ ZEAF=180 °,求证考点： 分析：解答:即/ EMD= / FND=

14、90 °,全等三角形的判定与性质；角平分线的定义.过D作DM ±AB ,于M , DN，AC于N ,根据角平分线性质求出 DN=DM ,根据四边形的内角和定 理和平角定义求出/ AED= ZCFD,根据全等三角形的判定 AAS推出EMDA FND即可.证明：过D作DM ±AB，于M , DN ±AC于N,. AD 平分/ BAC , DM ±AB , DN ±AC,DM=DN （角平分线性质），/ DME= / DNF=90 °, . / EAF+/ EDF=180 °, . . / MED+ / AFD=360

15、T80 =180 °, . /AFD+ /NFD=180 °, . . / MED= / NFD ,在 EMD和4FND中 fZMED=ZDFN“ /DME=NDNF， EMDA FND , . DE=DF . 眸DM5 .在ABC中，/ ABC、Z ACB的平分线相交于点 O,过点O作DE / BC,分别交 AB、AC于点D、E.请说明 DE=BD+EC .BC考点：等腰三角形的判定与性质一；平行线的性质.分析：根据OB和OC分别平分/ ABC和/ ACB ,和DE / BC ,利用两直线平行， 内错角相等和等量代换， 求证出DB=DO , OE=EC .然后即可得出答案

16、.解答：解：在 4ABC中，OB和OC分别平分/ ABC和/ACB,/ DBO= / OBC , / ECO= / OCB , . DE / BC ,/ DOB= / OBC= / DBO , / EOC= / OCB= / ECO ,.DB=DO , OE=EC , DE=DO+OE ,DE=BD+EC .6 . 已知：如图，D是ABC的BC边上的中点，DE LAB, DFXAC ,垂足分别为 E, F,且DE=DF .请判断ABC 是什么三角形？并说明理由.考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质.。析:用（HL）证明EBD0FCD,从而得出/ EBD= Z FCD ,即可证明 AB

17、C是等腰三角形.解答：4ABC是等腰三角形.证明：连接 AD , DEXAB , DFXAC , . / BED= / CFD=90 °,且 DE=DF ,. D是4ABC 的BC边上的中点，BD=DC ,RtA EBDRtAFCD (HL), . / EBD= / FCD , .ABC 是等腰三角形.7 .如图，4ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长 BC至E,使CE=CD .连接DE.(1) / E等于多少度？ ( 2) ADBE是什么三角形？为什么?考点：忤边三角形的性质；等腰三角形的判定.1分析：(1)由题意可推出/ ACB=60 °,/E=/CDE,然后根

18、据三角形外角的性质可知：/ ACB= / E+/ CDE ,即可推出/ E的度数；(2)根据等边二角形的性质可知，BD不但为AC边上的高，也是/ ABC的角平分线，即得：Z DBC=30 °,然后再结合(1)中求得的结论，即可推出 4DBE是等腰三角形.解答：:解：(1)ABC是等边三角形，/ ACB=60°,CD=CE,E=/CDE, . / ACB=/E+/CDE, ZEZACB=-X 60"= 30” ，2 u(2) ABC 是等边三角形，BDXAC, . / ABC=60 °, ZDBC="ZABC=30"，2/E=30

19、76;,，/DBC=/E,DBE 是等腰三角形.8 .如图，在 4ABC 中，/ ACB=90 °, CD 是 AB 边上的高，/ A=30°.求证：AB=4BD .考点：含30度角的直角三角形.分析：由4ABC中，/ ACB=90 °, / A=30 °可以推出AB=2BC ,同理可得 BC=2BD ,则结论即可证明.解答：解：. / ACB=90 °, /A=30 °, AB=2BC , /B=60°.又 CDAB, DCB=30 °, . . BC=2BD . . . AB=2BC=4BD .9 .如图，AB

20、C中，AB=AC，点D、E分别在 AB、AC的延长线上，且 BD=CE , DE与BC相交于点F.求证: DF=EF .考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.1分析：过D点作DG / AE交BC于G点，由平行线的性质得/ 1 = 72, / 4=73,再根据等腰三角形的性 质可得/ B=/2,则/ B=/1,于是有DB=DG ,根据全等三角形的判定易得 DFGEFC,即可 得到结论.解答：证明：过D点作DG / AE交BC于G点，如图，1 = 7 2, /4=/3,. AB=AC , . B=/2, . B=/1, DB=DG ,而 BD=CE , . . DG=CE ,在 DFG和

21、4EFC中rZ4=Z3/DFG :/EFC，1 DFG EFC, DF=EF .ldg=ce£10 .已知等腰直角三角形 ABC , BC是斜边./ B的角平分线交 AC于D,过C作CE与BD垂直且交BD延长线 于E,求证：BD=2CE .B考点：全等三角形的判定与性质.分析:解答:延长CE, BA交于一点F,由已知条件可证得 4BFE全且 BEC,所以FE=EC ,即CF=2CE ,再通 过证明 ADB FAC 可得 FC=BD ,所以 BD=2CE .证明：如图，分别延长 CE, BA交于一点F. BE XEC, ./ FEB= ZCEB=90 °, BE 平分/ AB

22、C , . / FBE= Z CBE ,又,.BE=BE, BFEA BCE (ASA). . FE=CE . . CF=2CE .AB=AC , / BAC=90 °, / ABD+ / ADB=90 °, / ADB= / EDC, . / ABD+ Z EDC=90 °.又. / DEC=90 °, / EDC+ / ECD=90 °, . . / FCA= / DBC= / ABD .ADBA AFC. FC=DB ,BD=2EC .11 . (2012?牡丹江)如图 ，4ABC中.AB=AC , P为底边BC上一点，PE±A

23、B , PF±AC , CH LAB ,垂足分别为E、F、H.易证PE+PF=CH .证明过程如下：如图，连接AP., PEXAB , PF± AC , CHAB, . Szxabp=aB?PE, SaACP=AC?PF, Sa abc=aB ?CH . 乙£乙又Saabp+Saacp=Saabc,JaB?PE+AC?PF=JaB?CH.wqw AB=AC , PE+PF=CH .(1)如图，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：(2)填空：若/ A=30 °, AABC的面积为49,点P在

24、直线BC上，且P到直线AC的距离为PF,当PF=3时，则 AB边上的高 CH= 7 ,点P到AB边的距离 PE= 4或10 .图 图等腰三角形的性质；三角形的面积.(1)连接AP .先根据二角形的面积公式分别表不'出Saabp S/xacp，Saabc ,再由Saabp=Saacp+Saabc 即可得出 PE=PF+PH ；(2)先根据直角三角形的性质得出 AC=2CH ,再由4ABC的面积为49,求出CH=7 ,由于CH >PF： 则可分两种情况进行讨论： P为底边BC上一点，运用结论 PE+PF=CH;P为BC延长线上的 火时，运用结论 PE=PF+CH .解：(1)如图,P

25、E=PF+CH .证明如下： PEXAB , PF±AC , CHXAB, Saabp=-AB ?PE, Saacp=AC?PF, Saabc=4AB?CH ,2221'Saabp=Saacp+Saabc, AB?PEAC?PF+3aB?CH,又AB=AC , PE=PF+CH ;一一 222(2) .在 AACH 中，/ A=30 °, AC=2CH .CH=7.- SaABC=-AB ?CH , AB=AC , . . ,X2CH?CH=49 , .分两种情况：P为底边BC上一点，如图. PE+PF=CH , .1. PE=CH - PF=7 - 3=4;P为B

26、C延长线上的点时，如图. PE=PF+CH,PE=3+7=10 .故答案为 7; 4 或 10.12.数学课上，李老师出示了如下的题目：在等边三角形 ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且 ED=EC ,如图，试确定线段 AE与DB的大小关系，并说明理由小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：(1)特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1,确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE = DB (填 法”，之或=").(2)特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE = DB (填 多"，之"或=").理由如下：如图

27、2,过点E作EF/ BC , 交AC于点F.(请你完成以下解答过程)(3)拓展结论，设计新题在等边三角形 ABC中，点E在直线 AB上，点D在直线BC上，且ED=EC .若4ABC的边长为1, AE=2 ,求CD考点：等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.分析：(1)根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出/D=/ ECB=30 °,求出/ DEB=30 °,求出BD=BE即可；(2)过E作EF/ BC交AC于F,求出等边三角形 AEF ,证4DEB和 ECF全等，求出 BD=EF即 可；(3)当D在CB的延长线上，E在AB的延

28、长线式时， 由(2)求出CD=3 ,当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出 CD=1 .的长(请你直接写出结果)解答：解：(1)故答案为：=.(2)过 E 作 EF/ BC 交 AC 于 F,.等边三角形 ABC , ABC= Z ACB= Z A=60 °, AB=AC=BC ,/ AEF= / ABC=60 °, / AFE= / ACB=60，即/ AEF= / AFE= / A=60 °, AEF是等边三角形，AE=EF=AF ,/ ABC= / ACB= / AFE=60 °, . . / DBE= / EFC=120 °,

29、 / D+ / BED= / FCE+ / ECD=60 °, ,. DE=EC, D= /ECD, . / BED= Z ECF, 在 DEB和AECF中j Zdeb=Zecf“ ZDBE=ZEFC , DEBAECF, BD=EF=AE ,即 AE=BD ,故答案为：=.lde=ce(3)解：CD=1 或 3,理由是：分为两种情况：如图1E 图1过 A 作 AM，BC 于 M ,过 E 作 EN，BC 于 N ,则 AM / EM , .ABC 是等边三角形，AB=BC=AC=1 , AM ±BC, BM=CM= -BC=-, DE=CE , ENXBC, 二 CD=2

30、CN ,1.AM /EN, AMB ENB , .空_1_=2_,BE BN 2-1 BN.BN= 1,CN=1 + 1=.?, . . CD=2CN=3 ;22 2£图二如图2,作AM，BC于M ,过E作EN，BC于N ,贝U AM / EM ,.ABC 是等边三角形，AB=BC=AC=1 ,-. AM ±BC, BM=CM= -BC=-, DE=CE , ENXBC, 二 CD=2CN ,221.AM / EN ,，迪二网，=工，MN=1 , CN=1 -1=1, . CD=2CN=1AE MN 2 MN2 213.已知：如图， AF平分/ BAC , BCAF于点E,

31、点D在AF上，ED=EA ,点P在CF上，连接 PB交AF于点 M ,若/ BAC=2 / MPC,请你判断/ F与/ MCD的数量关系，并说明理由.考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.卜析：根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=CD ,推出/ CDA= / CAD= / CPM ,求出 / MPF= / CDM , / PMF= / BMA= / CMD ,在 DCM 和 PMF 中 根据三角形的内角和定理求出即可.卜答：解：/ F= /MCD ,理由是： AF 平分/ BAC , BCXAF , . / CAE= / BAE , Z AEC= ZAEB=

32、90 °, 在 ACE AABE 中Irj ZAEC=ZAEB . AE=AE , ACEA ABE (ASA) . AB=AC ,lzcae=zbae ,/ CAE= /CDE. .AM 是 BC 的垂直平分线，CM=BM , CE=BE , . . / CMA= Z BMA , . AE=ED , CEXAD , . AC=CD , . . / CAD= / CDA , / BAC=2 / MPC ,又,：乙 BAC=2 / CAD , . / MPC= / CAD , ./ MPC=/CDA, . / MPF= / CDM ,，/MPF=/CDM (等角的补角相等)， / DC

33、M+ / CMD+ / CDM=180 °, / F+/ MPF+ / PMF=180 °, 又. / PMF= / BMA= / CMD ,. / MCD= / F.14 .如图，已知 4ABC是等边三角形，点 D、E分别在BC、AC边上，且 AE=CD , AD与BE相交于点 F. (1)线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论.(2)求/ BFD的度数.BD C考点：等边三角形胸性质；全等三角形的判定与性加分析：(1)根据等边三角形的性质可知/BAC= / C=60°, AB=CA ,结合AE=CD ,可证明ABEA CAD ,从而证得结论；(2)根据/ B

34、FD= / ABE+ / BAD , / ABE= / CAD，可知/ BFD= / CAD+ / BAD= / BAC=60 °.卜答：(1)证明：. ABC 为等边三角形，/ BAC=/C=60°, AB=CA .在 ABE和ACAD中， fAB=AC，ZBAE=ZC ABE CAD AD=BE .kAE=CD(2)解：. / BFD= ZABE+ Z BAD ,又. ABECAD , ./ ABE= Z CAD ,，BFD= / CAD+ / BAD= / BAC=60 °.15 .如图，在 4ABC中，AB=BC , / ABC=90 °, F为

35、AB延长线上一点，点 E在BC上，BE=BF ,连接 AE、EF 和CF, 求证：AE=CF .考点：全等三角形的判定与性质.分析：根据已知利用SAS即可判定ABECBF,根据全等三角形的对应边相等即可得到AE=CF .解答：证明：ABC=90 °, ./ ABE= ZCBF=90 °,又. AB=BC, BE=BF , /.A ABE ACBF (SAS). . . AE=CF .16 .已知：如图，在 4OAB 中，/ AOB=90 °, OA=OB ,在 EOF 中，/ EOF=90 °, OE=OF,连接 AE、BF.问线 段AE与BF之间有什么关系？请说明理由.考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.分析：可以把要证明相等的线段 AE, CF放到AEO, BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO , OE=OF,再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去/BOE的结果，当然相等了，由此可以证明 AEOBFO;延长BF交AE于D,交OA于C,可证明/ BDA= / AOB=90。，则AEBF.解答：解：AE与BF相等且垂直，理由：在AEO