高等数学D1习题课 函数与极限

1、二、二、 连续与间断连续与间断 一、一、 函数函数 三、三、 极限极限 习题课习题课函数与极限函数与极限 第一章 一、一、 函数函数1. 概念定义定义:Df :R)(DfDxxfyyDf, )()( 定义域 值域设,RD函数为特殊的映射:其中2. 特性有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性3. 反函数)(:DfDf设函数为单射, 反函数为其逆映射DDff)(:14. 复合函数给定函数链)(:11DfDf1)(:DDgDg则复合函数为 )(:DgfDgf5. 初等函数有限个常数及基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的一个表达式的函数.)(1DfD)(Dgg1Dfgf 思考与练习思考与练习1

2、. 下列各组函数是否相同 ? 为什么? )arccos2cos()() 1 (xxf 1 , 1, 12)(2xxx与axaaxxxf,)()2(2)(21)(xaxax与相同相同相同相同2. 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为什么?1sin1) 1 (xy, 0,cos,sinmax)2(2xxxy22,arcsin)3(xuuy不是不是40 x,cos x24 x,sin x是是不是不是提示提示: (2)y0 x0,10,1)()4(33xxxxxf0, 10, 1)()2(xxxf1,41,2)()3(xxxf,2xxxyO4211, 11, 13xx1) 1(32xx,

3、16xOxy111xRx3. 下列函数是否为初等函数 ? 为什么 ?0,0,)() 1 (xxxxxf2x以上各函数都是初等函数 .xy1O4. 设,0)(,1)(,e)(2xxxfxfx且求)(x及其定义域 .5. 已知8,)5(8,3)(xxffxxxf, 求. )5(f6. 设,coscsc)sin1(sin22xxxxf求. )(xf由)(2exx1得,)1ln()(xx0,(x,e)(fx2xf)(x4. 解解:e)(x2 f5. 已知8,)5(8,3)(xxffxxxf, 求. )5(f解解:)5(f)( f310)10(f)(7f f)12(f)( f312)(9f66. 设,c

4、oscsc)sin1(sin22xxxxf求. )(xf解解:1sinsin1)sin1(sin22xxxxf3)sin1(sin2xx3)(2xxf整理课件三、三、 极限极限1. 极限定义的等价形式 (以 为例 )0 xx Axfxx)(lim00)(lim0Axfxx(即 为无穷小)Axf)(Axfxf)()(002. 极限存在准则及极限运算法则整理课件3. 无穷小无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ;常用等价无穷小: 4. 两个重要极限 sin xxtanxxcos1x221xarctanxxarcsin xx)1ln(xx1e xx1xaaxln1sinlim) 1 (0(2)10lim(

5、1)e注注: 代表相同的表达式11nx,1xn整理课件例例7. 求下列极限：)sin1(sinlim) 1 (xxxxxxsin112lim)2(xxxxcot110lim)3(提示提示: xxsin1sin) 1 (21cos21sin2xxxx21cos)1(21sin2xxxx无穷小有界整理课件令1lim)2(x1 xt0limt) 1(sin)2(ttt0limttttsin)2( 0limtttt)2( 2xxsin12整理课件0lim)3(xxxxcot110limxxxxcot)121(exxxx1212)1(ln2e则有)()(1lim0 xvxxxu复习复习: 若,0)(li

6、m0 xuxx,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx)(lim12sincos0 xxxxx1整理课件 2. 求.sine1e2lim410 xxxxx解解:xxxxxsine1e2lim410 xxxxxxsin1ee2lim4340e1xxxxxsine1e2lim410 xxxxxsine1e2lim4101原式 = 1 (2000考研)注意此项含绝对值二、二、 连续与间断连续与间断1. 函数连续的等价形式)()(lim00 xfxfxx)()(,000 xfxxfyxxx0lim0yx)()()(000 xfxfxf,0,0,0时

7、当 xx有)()(0 xfxf2. 函数间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 .3. 闭区间上连续函数的性质例例2. 设函数)(xf,2)cos1 (xxa0 x,10 x, )(ln2xb0 x在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .提示提示:20)cos1 (lim)0(xxafx2a221cos1xx)(lnlim)0(20 xbfxblnbaln122e) 1)(e)(xaxbxfx有无穷间断点0 x及可去间断点, 1x解解:为无穷间断点,0 x) 1)(elim0 xaxbxx所以bxax

8、xxe) 1)(lim0ba101,0ba为可去间断点 ,1x) 1(elim1xxbxx极限存在0)(elim1bxxeelim1xxb例例3. 设函数试确定常数 a 及 b .证证:P74 题题*6. 证明: 若 令,)(limAxfx则给定,0,0X当Xx 时, 有AxfA)(又, ,)(XXCxf根据有界性定理,01M, 使,)(1XXxMxf取1,maxMAAM则),(,)(xMxf)(xf在),(内连续,)(limxfx存在, 则)(xf必在),(内有界.)(xfXXA1MOyx上连续, 且 a c d b ,例例6. 设)(xf在,ba必有一点证证:, ,ba使)()()()(fnmdfncfm, ,)(baCxfMbaxf上有最大值在,)()()(dfncfm)()()(fnmdfncfm即由介值定理,使