高数大一复习总结

1、高等数学（本科少学时类型）第一章函数与极限第一节函数O函数基础（高中函数部分相关知识） （）。邻域（去心邻域）（）第二节数列的极限。数列极限的证明（）【题型示例】已知数列W ,证明!吧代卜"【证明示例】E-N语言1 .山|怎一< £化简得,g（£）,N=g（£）2 .即对 Ve>0, mN = g（g）,当 ”N 时，始终有不等式|玉-|<£成立，/. lim x = aXf 8第三节函数的极限Ox-4时函数极限的证明（）【题型示例】已知函数/（A）,证明 lim f（x）= A【证明示例】£-6语言1 .由 |/（

2、A-）-A|<£-化简得O<X-X<S（£），J 5 = g（£）2 .即对 Ve>0 ,m（5 = g（£）,当0<卜一小|<6时，始终有不等式- A|ve 成立，lim f（x）= A XT.”OX78时函数极限的证明（）【题型示例】已知函数/（X）,证明lim f（x） = Ax->x【证明示例】£-X语言i.由 |/(x)-<£ 化简得 N>g(&),X =g(e)2.即对 V£>0, 3X = g(s),当忖,X 时, 始终有不等式成立，/. li

3、m f(x)= AX->X第四节无穷小与无究大O无穷小与无穷大的本质()函数/(A)无穷小O lim f(x) = O函数/(a)无穷大O lim f(x)=oo。无穷小与无穷大的相关定理与推论 ()(定理三)假设/(X)为有界函数，gW 为无穷小，则 lim(X) g (x)=。(定理四)在自变量的某个变化过程 中，若为无穷大，贝IJ /7(力为 无穷小；反之，若力为无穷小， 且/(£)工0,则广Q)为无穷大【题型示例】计算：1叩(力气(力(或x-> X )L 1/ (x)| < /，函数0x)|在x =%的任一去心邻域6(如。)内是有界的；(|/(x)|WM,函

4、数|“可|在xe。上有界；)2 . lim g(x) = 0 即函数 g(x)是 x -> a-0时的 WX0无穷小；(lim g(x) = 0即函数g(x)是人一> 8时的 X>»无穷小；)3 .由定理可知limf (x)g(x) = 0(也/(x)g(x) =。)第五节极限运算法则O极限的四则运算法则()(定理一)加减法则(定理二)乘除法则关于多项式p（x）、4（x）商式的极限运算P W =g/ + J + + am l乂 ： <q（x） = boxn + btxn1 + . + bnsn < m则 lim，!'? = > - n =

5、mE q（x） 优 0n > m（特别地，当lim 3 = 9 （不定型）f g（x） 0时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值lim 13 厂 一9【求解示例】解：因为x f 3,从而可得-3, 所 以 原 式x-3x-31 I=Inn = lim - = lim=-13厂_9 z3（x + 3）（x_3） 13工 + 3 （其中x = 3为函数工）=三；的可去间-X 9断点二节）：能 r x-3 1（f 11解：lim = lim-= lim=-13 d - 9 人川（_ 9）' T 2x 6O连续函数穿越定理（复

6、合函数的极限 求解）（）（定理五）若函数/（五）是定义域上的 连续函数，那么， 粤/夕3 = /由y（x）【题型示例】求值：lim;二第六节极限存在准则及两个重要极限。夹迫准则（P53） （）第一个重要极限：lim皿=1丁 Vx e I 0, , sinx<x< tanx 工倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第 2sinx .lim= 1x（特别地，lim Sin（ V-Ao）= 1 ）。单调有界收敛准则（P57） （）第二个重要极限：Iinjl + U'=e（一 般 地， lim/（4T）=lim/（x）r,其中 lim/（x）>0）/ o a v+, 【题型示例】

7、求值：lim仝二 2X+ ）【求解示例】第七节无穷小量的阶（无穷小的比较）。等价无穷小（）1 .U - sin（7 - tanU arcsinU - arctanU ln（l + U） （T）2 . 1u21-cosU2（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：11nMi+、）+xin（i+.一° r +3x【求解示例】第八节函数的连续性。函数连续的定义（）。间断点的分类（P67） （）第一类间断点（左右榔艮存在乂跳越间断点（不等）可去间断点（相等）第二类间断编二装甑q f ”、无穷间断点（极限为0）（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）r < 0【题型示例】设函数/（x

8、）=， 应a + x x>0该怎样选择数”，使得成为在R上的连续函数【求解示例】/(0-)=产=J =eL 7<y(o+)=</+o+ = t/由连续函数定义八0)="lim f(x)= lim /(x)=/(0)=o-A->0第九节闭区间上连续函数的性质。零点定理()【题型示例】证明：方程f(x) = g(x)+C至 少有一个根介于与匕之间【证明示例】1 .(建立辅助函数)函数 (px) = fx)-g(x)-C 在 闭区间 上连续；2 . V (6/) (/?) <0 (端点异号)3 .，由零点定理，在开区间(“小)内至少 有一点g ,使得夕仁)=。

9、，即 /©-g(>)-c=0(0<<<1)4 .这等式说明方程f(x) = g(x) + C在开 区间(凡与内至少有一个根自第一节导数概念O高等数学中导数的定义及儿何意义(P83) ()X . 1【题型示例】已知函数/(x)=，ax + bx < 0在x = 0处可导，求，bx>0【求解示例】.(£(0) = °。=产1+。+ 1=2, (/；(0)= «，)(。»/(0) = e° + l = 22 . 由函数可导定义N(0)=£(0)=“ = i,/(0-) = /(0+) = /(0

10、) = /9 = 2: a = ,b = 2【题型示例】求,，=在X处的切线与法线方程(或：过y = /(x)图像上点",/()处的切线与法线方程)l y' = /'（x），y'ij=/'（"）2.切线方程：=法线方程：）,_/（a）= _1（x-a）第二节函数的和（差）、积与商的求导法则O函数和（差）、积与商的求导法则（ ）1 .线性组合（定理一）：（an ± pv）' = an1 + pv'特别地，当a = p = 时，有（M ± V）* = ltr± VZ2 .函数积的求导法则（定理二）：（

11、v）' = ，+ /3 .函数商的求导法则（定理三）：第三节反函数和复合函数的求导法则【题型示例】求函数/-（、）的导数【求解示例】山题可得/（x）为直接函数，其 在定于域。上单调、可导，且广（力,0;，"）。复合函数的求导法则（）【题型示例】设y = ln（*wng + JE）,求【求解示例】第四节高阶导数o*（x） = K）'（ 或2曰）（）dxn |_加”川_【题型示例】求函数y = ln（l + x）的阶导数【求解示例】y = =（i + a-）-1,。反函数的求导法则（）y" = （l + x） =（l）.（l + x 尸,2 . XV (O)=

12、/(O)sinO = O即 0(0) = 9(乃)=03 .，由罗尔定理知亚40,乃)，使 得f ()cos< + 广 sin4 = 0 成立O拉格朗日中值定理()【题型示例】证明不等式：当时，ex > ex【证明示例】1 .(建立辅助函数)令函数/(力=-， 则对Vx>l,显然函数/(x)在闭区间 1,同上连续，在开区间(1,力上可导, 并且 = ;2 .由拉格朗日中值定理可得,毛41,司 使得等式/ 一 J = (x-l) J成立，又 净,ex -e >(x-1)/ =e-xe ,化简得/即证得：当x>l时., ex >e x【题型示例】证明不等式：当x

13、>0时， ln(l + x)<x【证明示例】1 .(建立辅助函数)令函数 /(x) = ln(l + x),则对 Vx>0,函数 /(X)在闭区间0,x上连续，在开区间 (0,町上可导,并且广(力=占；2 .由拉格朗日中值定理可得，3e0,A- 使 得 等 式 ln(l + x)-ln(l + 0) = pJ-(x-0)成立，化简得ln(l + x) = -Lx ,又 e0,x», 广团号<1, Jln(l + x)< lx = x,即证得：当X>1时，第二节罗比达法则(一般地，lin产。(lnx)' =0 ,其中 a.p e /?)2.判

14、断极限不定型的所属类型及是否 满足运用罗比达法则的三个前提条 件A.属于两大基本不定型（2：） 0 6且满足条件， 则进行运算： r /W . /"）lim 7 = lim fg（x） fg'（x）（再进行1、2步骤，反复直到结果 得出）B. 不属于两大基本不定型（转化 为基本不定型）型（转乘为除，构造分式）【题型示例】求值：limxtf lnx.D【求解示例】【求解示例】0f0f储（x-sinx） v 1-cosx（1-cosx）. sinx 八=hm = hm= hm = lim= 0"t （djf 2x n （2x），i 2（3）0。型（对数求极限法）【题型示

15、例】求值：lim/【求解示例】解：设y = r两边取对数得：lny = lnx* =xInA- = -!-Xx/对对数取a->01时的极限：lim（In v） = lim华=lim f I11 U x-M> z :；（7）_=lim= "limjc = 0, 从而有limy = limelnv =e° = 1101 .DITO.XT（4）广型（对数求极限法）【题型示例】求值：lim（cos x + sin x）：【求解示例】8。型（对数求极限法）O运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（）1. *等价无穷小的替换（以简化运算）8-8型（通分构造分式，观察分母）【题

16、型示例】求值：出4一-xT01sinx x）（I lanx - X）【求解示例】O运用罗比达法则进行极限运算的基 本思路（）通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式 形式）取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节泰勒中值定理（不作要求）第四节函数的单调性和曲线的凹凸性。连续函数单调性（单调区间）（）【题型示例】试确定函数f （x） = 2/ _ 9/ + I2x - 3 的单调区间【求解示例】1 . 函数/(可在其定义域R上连续，且可导f,(x) = 6x2 18x+122 .令(x) = 6(xl)(x2) = 0,解得：X = 1,= 23.(三

17、行表)极大值极小值4 .函数/（x）的单调递增区间为单调递减区间为（1,2）【题型示例】证明：当x>0时，ex>x + 【证明示例】1 .(构建辅助函数)设o(x)=/xl, (x>0)2 .=( x>0 )夕(力>夕(0)= 03 .既证：当 x>0时，ex>x + 【题型示例】证明：当x>0时，ln(l+x)<x【证明示例】1.(构建辅助函数)设0(x) = ln(l+x)-x, (x>0)y = -3x d(x) = ! 1 <0 , ( x>0 )1 + x:.°(x)<9(0)= 0 +6x =

18、-3x(x-2) yff = -6x + 6 = -6(x-l)/ = -3x(x-2)= 0u"。解得:3 .(四行表)4 .函数丫 = 1 + 3/-/单调递增区间为 (0,1) , (1,2)单调递增区间为 (-oo,0), (2,+oo)；函数y = + 3x2-x3.既证：当x>0时，ln(l + x)<x。连续函数凹凸性()题型示例】试讨论函数y = 1 + 3/ -d的单 调性、极值、凹凸性及拐点的极小值在 x = 0时取到，为/(0) = 1,【证明示例】极大值在x = 2时取到，为"2) = 5；(3)函数)，=1+3/73在区间(-00,0)

19、 , (0,1)上凹，在区间(1,2), (2,)上凸；函数y = l + 3x2-%3的拐点坐标为(第五节函数的极值和最大、最小值。函数的极值与最值的关系()设函数“力的定义域为0,如果 天”的某个邻域U(4)u。，使得对VxeU(x”)，都适合不等式我们则称函数/(X)在点 如./(均)处有极大值/(%);令8/ XA/h XM2> XM3XMn 则函数力在闭区间心山上的最M =11乂次)，%|,%2，%3，/加，/(0) *设函数“X)的定义域为。，如果天,”的某个邻域U(/)uO,使得对VA-e(/(xw),都适合不等式“X)>/'(%)，我们则称函数/(X)在点%

20、/(%)处有极小值/(.%);令/e%，/2，/3，“，j则函数 X)在闭区间上的最小值?满足：/ = min / (a)，苍川，42，七”3,，加，f(b) 9【题型示例】求函数同=3工-丁在41,3上的最值【求解示例】1 .函数x)在其定义域卜1,3上连续，且可导大值"满足:f,(x) = -3x1 +32 .令尸(力=_3(1)(1+1) = 0,解得：x1 =-l,x2 = 13 .(三行表)极小值极大值4. XV /(-l) = -2,/(l) = 2,/(3)= -18/«=/（0 = 2，/（=/（3）= -18第六节函数图形的描绘（不作要求）第七节曲率（不作

21、要求）第八节方程的近似解（不作要求）第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质。原函数与不定积分的概念（）原函数的概念：假设在定义区间/上，可导函数 爪X）的导函数为k（x）,即当自变量 时，有 r（x） = /（x）或 dF（x） = / （x） 八成立，则称F（x）为 “X）的一个原函数原函数存在定理：（）如果函数“X）在定义区间/上连 续，则在/上必存在可导函数尸"）使 得9（x） = /（x）,也就是说：连续函数 一定存在原函数（可导必连续）不定积分的概念（）在定义区间/上，函数“X）的带 有任意常数项C的原函数称为/（“在 定义区间/上的不定积分，即表示为： J/（a-Xv=

22、F（a） + C（称为积分号，“X）称为被积函数,对于一次根式（"O,beH）：/（x）公称为积分表达式，x则称为积分变量）。基本积分表（）O不定积分的线性性质（分项积分公式）（）y/ax + h ： 令，=yjax + b , 于是r-ba则原式可化为，对于根号下平方和的形式（。>0）：第二节换元积分法yja2 +x2 ：令x = atanZ (),22O第一类换元法（凑微分）（）（4v=ra）wx的逆向应用）【题型示例】求一/xJ CT +k【求解示例】于是=arctan上，则原式可化为asec/； a对于根号下平方差的形式（a>0）：a. 4cr -x2 ：令x =

23、 asin/ （ <t< ）,22x于是r = arcsin-,则原式可化为acos/；于是f = arccos,则原式可化为atan/; x【求解示例】。第二类换元法（去根式）（）【题型示例】求一次根式）（dy = /'（X）,的正向应用）【求解示例】解小 , dx .产f , = /+c = "J 757+1 T* b ）山Ndl【题型示例】求J7777公（三角换元）【求解示例】第三节分部积分法o分部积分法（）设函数“ =/（力，y = g（x）具有连续 导数，则其分部积分公式可表示为: J udv = uv - j vdu分部积分法函数排序次序：“反、对、

24、塞、三、指”O运用分部积分法计算不定积分的基 本步骤：遵照分部积分法函数排序次序对被 积函数排序；就近凑微分：（火公=小）使用分部积分公式： j udv = mv - j vdu展开尾项J Mu =八udx ,判断+ 1+C a.若卜"公是容易求解的不定积 分，则直接计算出答案（容易表 示使用基本积分表、换元法与有 理函数积分可以轻易求解出结 果）:b.若JufNx依旧是相当复杂，无法 通过a中方法求解的不定积分， 则重复、（3）,直至出现容易求 解的不定积分；若重复过程中出 现循环，则联立方程求解，但是 最后要注意添上常数C【题型示例】求公【求解示例】题型示例】求J sin xdx

25、【求解示例】J ex - sin xdx = ex （sin x - cos x） + C2第四节有理函数的不定积分。有理函数()设P (%) p (x) = aoxm + qf+ + amQ(x) 9(x) = %x" +幻""+. + bn一般地：nix + ri = m x + 2,则参数 in )nin则参数p = -,q = a a对于有理函数3 。当P（x）的次数小于。（X）的次数时.，有理函数3U是 。3真分式；当P（x）的次数大于Q（x）的次数时，有理函数P(x) Q(x)是假分式则设有理函数理2的分拆和式为:。3其中参数 4,A2,： AiJM由

26、待定系数法（比较法）求出。有理函数（真分式）不定积分的求解 思路（）将有理函数 1 的分母Q（x）分拆成两个没有公因式的多项式的乘 积：其中一个多项式可以表示为一 次因式（X-而另一个多项式可 以表示为二次质因式（丁 +川+4'，（I）2 -4ty <0 ）；得到分拆式后分项积分即可求解【题型示例】求f二及（构造法）J X + 1【求解示例】第五节积分表的使用（不作要求）第五章定积分极其应用第一节定积分的概念与性质即：Q(x) = 0(x)Q(x)O定积分的定义（）（/（x）称为被积函数，/（工）公称为被 积表达式，X则称为积分变量，。称为 积分下限，b称为积分上限，四田称 为积分区间）O定积分的性质（） J： f（x