高等数学大学 7-习题

1、编辑ppt第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学习题课习题课 编辑ppt一一 基本要求基本要求1 理解二元函数的概念，会求定义域。理解二元函数的概念，会求定义域。2 了解二元函数的极限和连续的概念。了解二元函数的极限和连续的概念。3 理解偏导数的概念，掌握偏导数及高阶偏导数理解偏导数的概念，掌握偏导数及高阶偏导数的求法。的求法。4 掌握多元复合函数的微分法。掌握多元复合函数的微分法。5 了解全微分形式的不变性。了解全微分形式的不变性。6 掌握隐函数的求导法。掌握隐函数的求导法。编辑ppt7 会求曲线的切线及法平面，曲面的切平面及法会求曲线的切线及法平面，曲面的切平面及法线。线。8 了解方向

2、导数的概念和计算公式。了解方向导数的概念和计算公式。9 了解梯度的概念和计算方法以及梯度与方向导了解梯度的概念和计算方法以及梯度与方向导数之间的关系。数之间的关系。 10 掌握多元函数无条件极值和条件极值的求法及掌握多元函数无条件极值和条件极值的求法及最大（小）值的求法。最大（小）值的求法。编辑ppt定义定义 设函数设函数),(yxfz 的定义域为的定义域为,D),(000yxP是其聚点，如果对于任意给定的正数是其聚点，如果对于任意给定的正数 ，总存在，总存在正 数正 数 ， 使 得 对 于 适 合 不 等 式， 使 得 对 于 适 合 不 等 式 20200)()(|0yyxxPP的 一 切

3、的 一 切点，都有点，都有 |),(|Ayxf成立，则称成立，则称A为函数为函数),(yxfz 当当0 xx ，0yy 时的极限，时的极限，记为记为 Ayxfyyxx ),(lim00 （或（或)0(),( Ayxf这里这里|0PP ）. .1 1、多元函数的极限、多元函数的极限二二 基本概念基本概念编辑ppt注注 (1)二重极限存在二重极限存在, 是指是指P以任何方式趋于以任何方式趋于P0时时, 函数都无限接近于函数都无限接近于A . （2）确定极限）确定极限 不存在不存在的方法：的方法：),(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函

4、数类似编辑ppt2 2、多元函数的连续性、多元函数的连续性编辑ppt 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D上上至少取得它的最大值和最小值各一次至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介上取得介于这两值之间的任何值至少一次于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理3 3、多元连续函数的性质、多元连续函数的性质编辑ppt4 4、偏导数概念、偏导数概念编辑ppt同理可定义函数同理

5、可定义函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对y的偏导数，的偏导数， 为为yyxfyyxfy ),(),(lim00000 记为记为00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy.00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.编辑ppt5 5、高阶偏导数、高阶偏导数),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ).,(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏

6、二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数导数.编辑ppt 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示为可以表示为)( oyBxAz ，其中，其中 A,B 不依赖于不依赖于yx ,而仅与而仅与yx,有关，有关，22)()(yx ，则称函数则称函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分，可微分，yBxA 称为函数称为函数),(yxfz 在点在点),(yx的的全微分，记为全微分，记为dz，即，即 dz=yBxA .6 6、全微分概念、全微分概念编辑ppt多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续

7、函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导编辑ppt7 7、复合函数求导法则、复合函数求导法则 如如果果),(yxu 及及),(yxv 都都在在点点),(yx具具有有对对x和和y的的偏偏导导数数，且且函函数数),(vufz 在在对对应应点点),(vu具具有有连连续续偏偏导导数数，则则复复合合函函数数),(),(yxyxfz 在在对对应应点点),(yx的的两两个个偏偏导导数数存存在在，且且可可用用下下列列公公式式计计算算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .编辑ppt8 8、全微分形式不变性、全微分形式不变性 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，

8、它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、dvvzduuzdz .编辑ppt0),()1( yxF隐函数存在定理隐函数存在定理 1 1 设函数设函数),(yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内具有连续的偏导数，且某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，则方程，则方程0),( yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数导数的函数)(xfy ，它满足条件，它满足条件)(00 xfy ，并，并有有 yxFFdxdy . .隐函数的求导公式隐函数

9、的求导公式9 9、隐函数的求导法则、隐函数的求导法则编辑ppt0),()2( zyxF 0),(0),()3(vuyxGvuyxF,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu 编辑pptvuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv ),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu .),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv 编辑ppt1010、微分法在几何上的应用、微分法在几何上的应用切线方程为切线方程为.)()()(000000tzztyytxx 法平面方程为法平面方程为. 0)()()(000000 zztyytxxt (

10、1)空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面).(),(),(:tztytx 编辑ppt()曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线. 0),(: zyxF 切平面方程为切平面方程为0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为法线方程为.),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 编辑ppt1111、方向导数与梯度、方向导数与梯度,)(),(),(00000lPPUyxPyxf为为始始点点引引射射线线内内有有定定义义，以以的的某某领领域域在在点点设设函函数数若极限若极限即即且且上的另外一点，上

11、的另外一点，是直线是直线同方向的单位向量，点同方向的单位向量，点为与为与).0(),(00 te tPPPUPlPlltyxftytxft),()cos,cos(lim00000 .0lflP 数数，并并记记为为的的方方向向导导沿沿方方向向数数在在点点存存在在，则则称称这这极极限限为为函函cos,cos le记记编辑ppt编辑ppt定义定义 设函数设函数),(yxfz 在平面区域在平面区域 D 内具有内具有一阶连续偏导数，则对于每一点一阶连续偏导数，则对于每一点DyxP ),(，都可定出一个向量都可定出一个向量jyfixf ，这向量称为函数，这向量称为函数),(yxfz 在点在点),(yxP的

12、梯度，记为的梯度，记为 ),(yxgradfjyfixf .梯度的概念梯度的概念编辑ppt 函函数数在在某某点点的的梯梯度度是是这这样样一一个个向向量量，它它的的方方向向与与取取得得最最大大方方向向导导数数的的方方向向一一致致,而而它它的的模模为为方方向向导导数数的的最最大大值值梯梯度度的的模模为为 22| ),(| yfxfyxgradf.梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系编辑ppt定理定理 1 1（必要条件）（必要条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx具有偏导数，且具有偏导数，且在点在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必处有极值，则它在该点的偏导数必然为零

13、：然为零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. . 定义定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的驻点函数的驻点.极值点极值点注意注意驻点驻点1212、多元函数的极值、多元函数的极值编辑ppt定定理理 2 2（充充分分条条件件）设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某邻邻域域内内连连续续，有有一一阶阶及及二二阶阶连连续续偏偏导导数数，又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令Ayxfxx ),(00，Byxfxy ),(00，Cyxfyy ),(00，则则),(yxf在点在点),(00yx处是否取得极

14、值的条件如下：处是否取得极值的条件如下：（1 1）02 BAC时有极值，时有极值， 当当0 A时有极大值，时有极大值， 当当0 A时有极小值；时有极小值；（2 2）02 BAC时没有极值；时没有极值；（3 3）02 BAC时可能有极值时可能有极值. .编辑ppt求求函函数数),(yxfz 极极值值的的一一般般步步骤骤：第一步第一步 解方程组解方程组, 0),( yxfx0),( yxfy求求出出实实数数解解，得得驻驻点点.第第二二步步 对对于于每每一一个个驻驻点点),(00yx，求求出出二二阶阶偏偏导导数数的的值值CBA、.第三步第三步 定出定出2BAC 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定

15、是否是极值.编辑ppt拉拉格格朗朗日日乘乘数数法法 要要找找函函数数),(yxfz 在在条条件件0),( yx 下下的的可可能能极极值值点点，先先构构造造函函数数),(),(),(yxyxfyxF ，其其中中 为为某某一一常常数数，可可由由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解解出出 , yx，其其中中yx,就就是是可可能能的的极极值值点点的的坐坐标标.条件极值：对自变量有附加条件的极值条件极值：对自变量有附加条件的极值编辑ppt三、例题三、例题例例1 1解解.)(lim2200yxxxyyx 求求极极限限)0(,sin,cos yx令令. 0)

16、0 , 0(),( 等价于等价于则则yx cos)cos(sin)(0222 yxxxy cos)cos(sin ,2 . 0)(lim2200 yxxxyyx故故编辑ppt例例2 2解解.,)(),(2223yxzyzyzfxyxyfxz 求求，具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数设设)1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx 编辑pptxyzyxz 22)(2)(4222212221211413xyfyfxxfxyfyfxfx )(2214fxfxx .2422114213f yf yxfx

17、fx 编辑ppt例例3 3解解., 0),(,sin, 0),(),(2dxduzfxyzexzyxfuy求求且且，具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数设设 ,dxdzzfdxdyyfxfdxdu ,cosxdxdy 显显然然,dxdz求求得得的的导导数数两两边边求求对对,0),(2xzexy ,02321 dxdzdxdyexy 编辑ppt于是可得于是可得,),cos2(12sin13 xexdxdzx.)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux 故故编辑ppt解解?,),(0000222222模模此此方方向向导导数数等等于于梯梯度度的的具具有有什什么么关关系系时时的的方

18、方向向导导数数，问问的的向向径径处处沿沿点点在在点点求求cbarzyxMczbyaxu 例例4 4 ,20202000000zyxrzyxr .cos,cos,cos000000rzryrx 处的方向导数为处的方向导数为在点在点 M coscoscos0MMMMzuyuxuru 编辑ppt002000200020222rzczrybyrxax )(22222220000czbyaxr .),(2202020000zyxzyxu 处的梯度为处的梯度为在点在点 MkzujyuixugraduMMMM ,222202020kczjbyiax 编辑ppt,2424242000czbyaxgraduM

19、,时时当当cba ,22222000zyxagraduM ,2)(2202022202022222000000zyxazyxzyxaruM ,0MMgraduru .,模模此此方方向向导导数数等等于于梯梯度度的的相相等等时时故故当当cba编辑ppt之间的最短距离之间的最短距离与平面与平面求旋转抛物面求旋转抛物面2222 zyxyxz例例5 5解解.2261,022,),(22 zyxddzyxPyxzzyxP的距离为的距离为到平面到平面则则上任一点上任一点为抛物面为抛物面设设分析分析:最小最小即即且使且使满足满足，使得，使得本题变为求一点本题变为求一点)22(61(22610,),(2222 zyxdzyxdzyxzyxzyxP编辑ppt),()22(61),(222yxzzyxzyxF 令令 )4(,)3(, 0)2)(22(31)2(, 02)22(31)1(, 02)22(3122yxzzzyxFyzyxFxzyxFzyx .81,41,41 zyx解此方程组得解此方程组得得得编辑ppt.