均匀实验设计2

1、均匀设计一、简述均匀设计，又称均匀设计试验法，或空间填充设计，是一种试验设计方法。它是只考 虑试验点在试验范围内均匀散布的一种试验设计方法。它由方开泰教授和数学家王元在 1978年共同提出，是数论方法中的 "伪蒙特卡罗方法"的一个应用。所有的试验设计方法本质上都是在试验的范围内给出挑选代表性点的方法，方开泰、王元完成的"均匀试验设计的理论、方法及其应用 "，首次创立了均匀设计理论与方法，揭 示了均匀设计与古典因子设计、近代最优设计、超饱和设计、组合设计深刻的内在联系， 证明了均匀设计比上述传统试验设计具有更好的稳健性。该项工作涉及数论、函数论、试 验设计

2、、随机优化、计算复杂性等领域，开创了一个新的研究方向，形成了中国人创立的 学派，并获得国际认可，已在国内外诸如航天、化工、制药、材料、汽车等领域得到广泛 应用。二、均匀设计表均匀设计表符号表示的意义如(64)表示要做次6试验，每个因素有 6个水平，该表有4列。1234236 J2246J36244I _5 155126654每个均匀设计表都附有一个使用表，它指示我们如何从设计表中选用适当的列，以及 由这些列所组成的试验方案的均匀度。下表U6(64)的使用表。它告诉我们，若有两个因素，应选用1 , 3两列来安排试验；若有三个因素，应选用1,2,3,三列，最后1列D表示刻划均匀度的偏差，偏差值越小

3、，表示均匀度越好。S列号D2I3U 1*7531231126564234U 2U¾K)均匀设计有其独特的布（试验）点方式：每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验。任两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每列有且仅有一个试验点。以上两个性质反应了均匀设计试验安排的“均衡性”，即对各因素，每个因素的每个 水平一视同仁。均匀设计表任两列组成的试验方案一般并不等价例如用U6（64）的1,3,和1,4列分别画图，得到下面的图（a）和图（b）。我们看到, （a）的点散布比较均匀，而（b）的点散布并不均匀。均匀设计表的这一性质和正交表有 很大的不同，因此，每个均匀设计表必须有一个附加的使用表。均

4、匀设计的结果没有整齐可比性，分析结果不能采用一般的方差分析方法，通常要用回归 分析或逐步回归分析的方法：y-+Al¾ +2+-6-tx令Xik代表因素Xi在第K次试验时取的值，yk表示响应值y在第k次试验的结果。 XiK-WX= Xl f = 1,2-h-1V = -Yyi回归方程组系数由下列正规方程组决定: +' '* + 2mr " Iy = J,-V/当各因素与响应值关系是非线性关系时2,或存在因素的交互作用时，可采用多项式回归分析的方法。例如各因素与响应值均为二次关系时的回归方程为：IMVJryb0 臥 + ¾rVi-Xf + 工r-/（=

5、C;）f" Jl>lIPl其中Xi Xj反映了因素间的多互效应，x2反映因素而此项，通过代换上式可化为多元线性方程求解。即令JCi = XIXJ （J = L12、桝;t/ 1）方程化为：I Ag TV = + blxi （T = C）在这种情况下，为了求得二次项和交互作用项，就不能选用试验次数等于因素数的均匀设计表，二必须选用试验次数大于或等于回归方程系数总数的U表。四、应用举例利用均匀设计表来安排试验的步骤：（1）根据试验的目的，选择合适的因素和相应的水平。（2）选择适合该试验的均匀设计表，然后根据该表的使用表从中选出列号，将因素分别安 排到这些列号上，并将这些因素的水平按

6、所在列的指示分别对号，则试验就安排好了。在阿魏酸的合成工艺考察中，为了提高产量，选取了原料配比（A）、吡啶量（B）和反应时间（C）三个因素，它们各取了7个水平如下：原料配比（A）： 1.0,14,18,22,26,30,34吡啶量（B）（ ml）: 10,13,16,19,22,25,28反应时间（C）（ h）： 0.5，10,15,2.0,25,30,357个水平，需要安排 7次试验，根据因素和水平，我们可以选用U7（76）完成该试验。UTlT)t旳使用表列号2133123412365123466123斗565(76)共有6列，现在有3个因素，根据其使用表，应该取 1,2,3列安排试验。 制

7、备阿魏酸的试验方案 5(7 3)和结果配比(A)(B)收率CY)II(Xt)B(2)L5(3)0.330214(2)19(4)工UW0331电25LCX 2)0,29442.2f4)10U)2.5047652.6(5 J16(3)(K5U)0.2093,0(6)即),2-tK4)0 45173.4(7)28(7)3.5OM2根据试验方案进行试验，其收率(Y)列于表的最后一列，其中以第7号试验为最好。其工艺条件为配比 3.4 ,吡啶量28ml ,反应时间3.5h。我们可以用线性回归模型来拟合上表的试验数据解：这时 n=7.7 组观测值为(0.330,10,13,15,)( 0.336,1.4,1

8、9,3.0)(0.482,3.4,29,3.5),它们的均值 Lij 为：1l =4.4S由于 Lij= Lji.v2 = I9 XJ = 2 J) V = 0.3683/2 =16.8/1: =1.4L1,= 0.2404= 252,0 LJI=Io,5L =0.5640= 7.0 Lir =0.5245,故不必全部列出，将它们代入方程组中可以解得:¼- 0,037, = -0.0034IAJ = 0.077从而：a = 03683 - 0.037 x2.2 + 0.00343 x 19 - 0.077 x2,0 = 0.201勺估计（T= 0.07,于是回归方程为：Y = 0.2

9、01+0037Xl -OJoO343X1 +）077X1进一步对它做方差分析，其方差分析表如下：方自由以平方和均方F冋归3OtO4S77(0.0162573293 W0.0148380.00494660.0636H8当= 0.05时F表的临界值：F阿二怙（0.05） = 9加:>F"29回归方程不可信。现在用逐步回归分析的方法来筛选变量：逐步回归是回归分析中的一种筛选变量的技术。开始它将贡献最大的一个变量选入回归方程，并且预先确定两个 阈值Fin和FoUt ,用于决定变量能否入选或剔除。逐步回归在 每一步有三种可能的功能：将一个新变量引进回归模型，这时相应的F统计量必须大于Fi

10、n将一个变量从回归模型中剔除，这时相应的F统计量必须小于 FoUt将回归模型内的一个变量和回归模型外的一个变量交换位置。设先用后退法来选变量。所谓后退法，就是开始将所以的变量全部采用，然后逐步剔除对方程没有显著贡献的变量，直到方程中所有的变量都有显著贡献为止。仍考虑线性模型，开始三个因素全部进入方程，得（2.12 ）。统计包通常还会提供每个变量的t值，t值越大（按绝对值计）表示该因素越重要。本例有：t0=0204,t1=096,t2=-0.67,t3=277这表明三个因素中以X3（反应时间）对得率（Y）影响最大，配比次之，吡啶量最小。这些t值都是随机变量，它们遵从tn-m-1分布。若取。=0.

11、05，这时n=7,m=3, tn-m-1 =的临界值t3 (0.05 ) =3.18。t值大于该值 的因素表示对方程有显著贡献，否则表示不显著。今均小于(0.05)=3.18 ，说明回归方程(2.18)的三个变量至少有一个不起显著作用。于是我们将贡献最小的X2删去，重新建立 Y和Xi及X3的线性回归方程得：Y=0.169+0.0251X i + 0.0742X 3= 0.06526 2 ,三个t值分别为t o=2.12，11=0.79,t 3=2.91,这时这三个t值遵从含四 个自山度的t分布，临界值为t4(0.05)=2.78 ,从而X应从方程中剔除，然后对Y和X3建立回归方程：r = 0.

12、2141+ O,O79X这里t3=3.34 > t5(0.05)=2.57, =0.063。因此，上述回归方程并非典正的最终模刚，而是在线性框架下的最终产物。上述的分析只发现 X3对Y有显著作用，其它两个因素均没有显著作用，该结论与实际 经验不温和，因此猜想用线性模型不一定符合实际。于是进一步考虑二次回归模型r = +X.+ 仇 X： + 峡 XJ上丨i = 这时方程中有9项。利用逐步回归技术求得回归方程如下：Y = 0.06232 + 0.251X3 - (106 X； +0.0235 XrlXl其响应的 = 0.0217,ei =97.77显然上述回归方程效果更优。该方程表明因素X3

13、和交互作用 X1 × X2对Y有显著的影响。上述方程要求我们在配比1.0-3.4 ,吡啶量10-28 ,反应时间0.5-3.5 时，求方程中 Y的极大值。此处我们可以用简单的微积分求得极值。由于X在试验范围内极大值 3.4 ,将X=3.4代入得：Y = 0.06232 + 03309XA - 0.06Xj炉卩 /EX, = O解得：(K 3309- 0,12X3 = OtXi = 2,7575这时Y的极大值为51.85%o这时收率大于前面所讲的用U表安排的7号试验的结果48.2%,达到了优化的目的。例：均匀设计法在全光亮镀镍研究中的应用1、均匀设计表的选取本实验的目的是提高镀层光亮性

14、。经初步研究，取其固定组成为硫酸镍25gL ,次磷酸钠25g/L ,醋酸钠25g/L。考察因素为稳定剂，主光亮剂，辅助光亮剂，润湿剂4个因素，每个因素取值范围为t个水平(t为实验次数)，4个因素的一次项及二次项各有4项，4项因素间的两两交互作用设有6项，共14项，实验数不能小于14,本实验选用U17(178)表。均匀Uj7 C17)»试验-J123456G1I46910IIH152£B'13511133IJ1211013160114416"F2P6105g5&3】311IG42r6 6? 23915165FVITI11812291338315144

15、】2>109Jl93511l161010e9515S斗11nIL10511Q2I121212Ui611316IQ131311015H*12eHM56P59615159516H126416Tm1311863rZ17111?17r171?JTIrUp <農的使用表LlM 数列号 J11631S8I I百IF85145761 _35 t8712315本实验为4因素，这4个因素安排在均匀表的1, 5, 7,8列，去掉Ui7(178)的最后行，将实验方案及结果见下表。i号第:煜剂第5列1.Jt-OjH标水平号水平号 mgT水平号CL水平号C meWZL 110.2105117.5153707

16、9.1529'Q I32.011&.Q1331087.5033LGB7.084. S1127-086.954A0,861553.0922.990.9555LO16乩52L5717,091.5866L 2954168.512.087.10Ji1.421.5137.037.087.55S8I丄& I12& 510J 6J12.090, SS99Le53,0i4,01639*580.9210102.0158,042.5】31578. 101119 9i t 4H8怖11.01229.569.9512 122.41158.01021566. 10I 13132氐0126.5819.548.131112.812.5g5.011560.5015153,07.563.549.535.70L 163.2iID32.02JU4.530. IS2、指标的选择和优化指标是回归方程中的响应函数，在本实验中即是镀件质量。根据我们对镀件的要求，定义一个综合指标 Z Z的分值由外观评分 R沉积速度评分 V,耐腐蚀性评分 Q乘以不同 的权重构成，z=0.5R+02V+03Q。 R V，Q的分值分别为 0-100。3、实验方法试样为0cm × 5cm×