小学五年级奥数第33讲包含与排除(容斥原理)后附答案

1、第 33 讲 包含与排除（容斥原理）一、专题简析：集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之 一。如某班全体学生可以看作是一个集合， 0、1、2、3、4、5、6、7、 8、 9 便组成一个数字集合。组成集合的每个事物称为这个集合的元素。如某 班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中 有 10 个元素。两个集合中可以做加法运算，把两个集合 A、B合并在一起，就组成了一个 新的集合C。计算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先 把 A、 B 的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除” A、 B 两集合的 公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：

2、C=ABAB。在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量 关系的逻辑关系。有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得 很直观、很清楚，因而容易进行计算。二、精讲精练例 1 五年级 96 名学生都订了报纸，有 64 人订了少年报，有 48 人订了小 学生报。两种报纸都订的有多少人？16练习1、一个班的 52 人都在做语文和数学作业。有 32 人做完了语文作业，有35 人做完了数学作业。语文、数学作业都做完的有多少人？2、五年级有 122 人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优。其中 语文得优的有 65 人，数学得优的有 87 人。语文、数学都得优的有多少人？例

3、2：某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。已知有 35 人懂英语，34 人懂日语，两种语言都懂的有 21人。这个学校共有多少名教师？练习二1、某校的每个学生至少爱体育和文娱中的一种活动。 已知有 900 人爱好体 育活动，有 850 人爱好文娱活动，其中 260 人两种活动都爱好。这个学校 共有学生多少人？2、某班在一次测验中有 26 人语文获优，有 30 人数学获优，其中语文、数 学双优的有 12 人，另外还有 8人语文、数学均未获优。这个班共有多少人？例 3：学校开展课外活动，共有 250 人参加。其中参加象棋组和乒乓球组 的同学不同时活动，参加象棋组的有 83 人，参加乒乓球组的有 8

4、6 人，这 两个小组都参加的有 25人。问这 250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参 加的有多少人？练习三1、五年级有 250人，其中参加象棋组的有 83人，参加乒乓球组的有 86 人， 这两个小组都参加的有 25 人。两个小组都不参加的有多少人？2、五（ 1）班有 50 人，在一次测试中，语文 90 分以上的有 30人，数学90 分以上的 35人，语文和数学都在 90分以上的有 20 人。两科都在 90分 以下的有多少人？例 4 实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有 20 人获奖，在获奖者中有 16 人不是四年级的，有 12 人不是五年级的。该校 书法比赛获奖的总人数是多

5、少人？练习四1、五一小学举行小学生田径运动会，其中 24 名运动员不是六年级的， 28 名运动员不是五年级的，已知五、六年级运动员共有 32 名，求五、六年级 和中低年级运动员各有多少名？2、少年乐团学生中有 170 人不是五年级的，有 135 人不是六年级的，已知五、六年级的共有 205 人，求少年乐团中五、六年级以外的学生共有多少 人？例 5 在 100个外语教师中，懂英语的有 75人，懂日语的有 45人，其中必然有既懂英语又懂日语的老师。问：只懂英语的老师有多少人？练习五1、 40 人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一题。已知做对第一题的有 30 人，做对第二题的有 21 人。只

6、做对第一题的有多少人？2、五年级 122 名同学参加语文、数学考试，每人至少有一门得优。已知语 文 65 人得优，数学 78 人得优，求只有语文一门得优的人数。三、课后作业1、某班有 50 名学生，在一次测验中有 26 人满分，在第二次测验中有 21 人满分。如果两次测验都没得过满分的学生有 17 人，那么，两次测验都得 满分的有多少人？2、第一小组的同学们都在做两道数学思考题，做对第一题的有15 人，做对第二题的有 10 人，两题都做对的有 7 人，两题都做错的有 2 人。第一小组共有多少人？3、老师在统计考试成绩，数学得 90 分以上的有 25人，语文得 90 分以上 的有 21 人，两科

7、中至少有一科在 90 分以上的有 38人。两科都在 90 分以 上的有多少人？4、六一儿童狼子野心同学们做小花，有 24 朵不是红色的，有 20朵不是黄 色的，已知红花和黄花一共有 18 朵，其他颜色的花一共做了多少朵？5、全班 46 名同学，仅会打乒乓球的有 28 人，会打乒乓球又会打羽毛球的 有 10 人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有 6 人。仅会打羽毛球的有多少 人？第 33 周 包含与排除（容斥原理）答案解析专题简析：集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一。如某班全体学生可以看作是一个集合，O、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数字集合。组成集合的每

8、个事物称为这个集合的元素。如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组成了一个新的集合C。计算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除” A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：C=A÷ B- ABO在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系的逻辑关系。有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算。例1五年级96名学生都订了报纸， 有64人订了少年报，有48

9、人订了小学生报。两种报纸都订的 有多少人？96人64人分析用左边的圆表示订少年报的64人，右边的圆表示订小学报的48人，中间重叠部分表示两种报刊都订的人数。显然，两种报刊都订的人数被统计了两次：64 + 48=112人，比总人数多112-96=161，一个班的52人都在做语文和数学作业。有 文、数学作业都做完的有多少人？答案32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业。语人，这16人就是两种报刊都订的人数。32 + 35 - 52= 67-5211 （人）答:语文、数学作业都做完的有 15人.解析因为每人至少做完一种作业，所以实际52人都参与了写作业，做完数学和语文作业的总人数为靛萬需（人）,

10、1工11（A）,超出了全班人数，超出的部分是两种作业都完成的人数2 ,五年级有122人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优。其中语文得优的有65人，数学得优的有87人。语文、数学都得优的有多少人？答案解roo - 亠 *2-112（人）答:两门功课都得优的有40人.解析根据 语文得优的有65人,数学得优的有87人'可得两者的总人,这其中把两门功课都得优的人数多计算了一次所以根据容斥原理可得两门功课都得优的人数是152-112 = 40（人）,据3,某班有50名学生，在一次测验中有26人满分，在第二次测验中有21人满分。如果两次测验都没得过满分的学生有17人，那么，两次测验都得满分

11、的有多少人？答案设定每个页码用去三个数字第一页就是001.这样估算大学400页,然后减去1-99补的多余的，就知道了，我没纸笔没法计算例2:某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人。这个学校共有多少名教师？分析 把懂英语和懂日语的人数加起来得35 + 34=69人，但是，两种语言都懂的21人被统计过两 次，应该从 69 里去掉一个 21 才能得出这个地区外语教师的总人数： 69 21=48 人。练习二1，某校的每个学生至少爱体育和文娱中的一种活动。已知有900 人爱好体育活动，有 850 人爱好文娱活动，其中 260 人两种活动都爱好。这

12、个学校共有学生多少人？ 答案解：900+ 850 260 = 1 490（人）两种都爱好的人被算了两次 .解析将爱好两种活动的学生求和， 因为两种活动都爱好的人被算了两次， 要去掉一次 .2，某班在一次测验中有 26人语文获优，有 30 人数学获优，其中语文、数学双优的有 12人，另外 还有 8 人语文、数学均未获优。这个班共有多少人？ 答案解：根据分析可得，26+30-12+8=52（人）；答：这个班有 52 个学生故答案为：52 人.解析根据“有26人语文获优，有 30人数学获优 ”可知：26+30=56人包括三部分，只 语文获优的人数、 只数学获优的人数、 数学、 语文都没有获优的人，

13、所以既语文、 数学获优的人数是： 30+26-12=44（人），然后再加上数学、语文都没有获优的 有 8 人，就是这个班的学生数；据此解答本题考查了同学们对容斥原理的理解和运用，注意：理解 52 人包括三部分的人数，知识点是：总人数=（A+B ）-既A又B ,是解题的关键.3，第一小组的同学们都在做两道数学思考题，做对第一题的有15 人，做对第二题的有 10 人，两题都做对的有 7人，两题都做错的有 2 人。第一小组共有多少人？ 答案解：15 + 10+ 2 7 = 20（人）两题都对的人数被算了两次 .解析将做对和做错的人数求和，减去两题都做对的人数例 3：学校开展课外活动，共有 250 人

14、参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加 象棋组的有 83 人，参加乒乓球组的有 86 人，这两个小组都参加的有 25 人。问这 250 名同学中， 象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？分析 两个小组都参加的有 25 人，因此，至少参加这两种小组的一个小组的人数是 84+ 8625=144 人，所以，这两个小组都不参加的人数是 250144=106 人。练习三1，五年级有 250 人，其中参加象棋组的有 83 人，参加乒乓球组的有 86 人，这两个小组都参加的 有 25 人。两个小组都不参加的有多少人？ 答案解： 83 + 86 25=144（人）250 144=106（人）答：象

15、棋组、乒乓球组都不参加的有 106人.故答案为：106 人解析根据题意可以知道， 参加两个小组的总人数=参加象棋组的人数+参加乒乓球组 的人数两个小组都参加的人数， 再将总人数减去参加两个小组的总人数就得到 象棋组、乒乓球组都不参加的人数 .2，五（ 1）班有 50 人，在一次测试中，语文 90 分以上的有 30 人，数学 90 分以上的 35 人，语文 和数学都在 90 分以上的有 20 人。两科都在 90 分以下的有多少人？ 答案解：30+ 35 20= 45（人）5045= 5（人）故答案为：略解析先算出 90 分以上的人数，再求 90 分一下的人数 语文、数学都在 90 分以上的被算了

16、两次 .3，老师在统计考试成绩，数学得90 分以上的有 25人，语文得 90分以上的有 21 人，两科中至少有一科在 90 分以上的有 38 人。两科都在 90 分以上的有多少人？ 答案解： 25+21=46 （人），46-38=8 （人）答；两科都在 90 分以上的有 8 人解析提示 1：先计算出语文、数学都得 90 分以上的人数： 25+21=46 （人），其中语 文、数学只一门上 90 的人数各数了一次，两科都在 90 分以上的人数数了两次； 38 人包括只有语文或数学一科上 90 的人数和两科都上 90 的人数，两科都在 90 分以上的只数了一次， 所以：46-38=8 （人），就是两

17、科都在 90 分以上的人数 提示 2：解决本题的关键是在25+21=46 （人）里，是语文、数学只一门上 90的人数各数了一次，包括两科都在 90 分以上的人数数了两次，而在 38 人中， 两科都在 90 分以上的只数了一次，所以二者相减就是两科都在 90 分以上的人 数解： 25+21=46 （人），46-38=8 （人）答；两科都在 90 分以上的有 8 人例 4 实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有 20 人获奖，在获奖者中有16 人不是四年级的，有 12 人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？分析 由“ 16人不是四年级的”可知： 16 人是五年级和其他

18、年级的；由“ 12人不是五年级的”可 知： 12 人是四年级和其它年级的。用1612 可算出四年级加五年级以及两个其它年级的人数和，再减去20就得两个其他年级的人数，这样其他年级的人数是：（16+ 12-20）÷ 2=4人，该校参加书法比赛获奖的总人数是 420=24 人。练习四1，五一小学举行小学生田径运动会，其中24 名运动员不是六年级的， 28 名运动员不是五年级的，已知五、六年级运动员共有 32 名，求五、六年级和中低年级运动员各有多少名？ 答案 解：依题意：五年级运动员 +六年级运动员 =32五年级运动员+中低年级运动员=24六年级运动员+中低年级运动员=28将+得五年级运

19、动员 +中低年级运动员 +六年级运动员 +中低年级运动员 =24+28五年级运动员 +六年级运动员 +2 中低年级运动员 =5232+2 中低年级运动员 =52则中低年级运动员 =10（名）将中低年级运动员 =10 代入得五年级运动员 +10=24则五年级运动员 =14（ 名）将中低年级运动员 =10 代入得六年级运动员 +10=28则六年级运动员 =18（ 名）答：五年级运动员有 14 名，六年级运动员有 18名，中低年级运动员有 10 名.故答案为：五年级运动员有 14名，六年级运动员有 18名，中低年级运动员有 10名.解决问题策略 -等量替换是小学数学常考知识点；本题某小学举行田径运动

20、会，其中 24 名运动员不是六年级的， 28 名运动员不是五年级的，五年级运动员 +六年级运动员 =32，则有五年级运动员 +中低年级运动员 =24，六年级运动员 +中低年级运动员 =28，通过这些等量关系本题很容易解答 .解析解答本题就要熟悉解决问题策略-等量替换；本题某小学举行田径运动会，其中24名运动员不是六年级的，28名运动员不是五年级的，五年级运动员+六年级运动员=32,则有五年级运动员+中低年级运动员=24，六年级运动员+中低年级运 动员=28,通过这些等量关系本题很容易解答.2 ,少年乐团学生中有 170人不是五年级的，有 135人不是六年级的，已知五、六年级的共有 205 人，

21、求少年乐团中五、六年级以外的学生共有多少人？答案解：根据题干分析：(135+170-205)÷，=100+2，=50 (人)，答：少年乐团中五、六年级以外的学生共有50人.解析提示1 :根据题干分析可得，170人是一至四年级和六年级的人数之和；135人是一至四年级和五年级的人数之和；由此可以画出下图进行分析：两个集合加起来的数量是：135+170=305 ,根据图中可以看出 C部分加了 2次，即：A+2C+B=305 ,而已知 A+B=205 ,所以 2C=305-205=100 ,故 C=50 .提示2:此题考查了利用容斥原理解决问题的方法，此题关键是抓住题干得出一然后找出相容至四

22、年级和六年级的人数之和与一至四年级和五年级的人数之和,的部分解：根据题干分析：(135+170-205 ) ÷ ,=100÷2,=50(人)， 答：少年乐团中五、六年级以外的学生共有 50 人3,六一儿童狼子野心同学们做小花,有 24 朵不是红色的,有 20 朵不是黄色的,已知红花和黄花 一共有 18 朵,其他颜色的花一共做了多少朵？ 答案解：(24 + 20 18) ÷ = 13(朵).答：其它颜色的花一共有 13 朵.故答案为：13朵解析根据题意, 24 朵不是红花,则黄花和其它颜色的花共有 24 朵, 20 朵不是黄花, 则红花和其它颜色的花共有 20朵，其它颜色的花有：(24 + 20 18) ÷ = 13(朵). 此题属于逻辑推理题,解答此题的关键是通过题意,找出突破口,进行推理,如本题 24 朵不是红花,则黄花和其它颜色的花共有24 朵, 20 朵不是黄花,则红花和其它颜色的花共有 20朵，其它颜色的花有：(24 + 20 18) ÷ = 13(朵)，进而 很容易得出所有答案 .例 5 在 100 个外语教师中，懂英语的有 75 人，懂日语的有 45 人，其中必然有既懂英语又懂日语 的老师。问：只懂英语的老师有多少人？分析 显然，两种语言都懂的人在懂英语的 75 人中统计过一次， 在懂日语的