基础拓扑学讲义1.1的习题答案

1、习题记S是全体无理数的集合，在实数集R上规定子集族 U AU是E1的开集,A S（1）验证是R上的拓扑；（2）验证R,满足T2公理，但不满足T3公理；（3）验证R, 是满足C1公理的可分空间；（4）证明在S上诱导的子空间拓扑S是离散拓扑，从而S, S是不可分的;（5）说明R,不满足C2公理。6 AUR证明:（1）RU，A所以R和都含在中UU AUUIAXUUA0,使X U O A0XU 0,X AoXUU ,X I AXUU I AQUU IA中任意多个成员的并集仍在中U1A I U? A U1 IU2A1UA2QX U1 A1 I U 2 A2XU1 A1,X UI 2A2XU1,X A1,

2、XU 2, XA2XU1 I U2,XA1 U A2XU1 I U2AUAQU1 I U2A UA2中两个成员的交集仍在中综上所:述:是R上的拓扑（2）任取一个有理数a ,则a在R）中存在一个开邻域 Ui Al这样我们就可以在 E1中找到一个与U1不相交的开集U2 ,令有理数b U2则U2 A为b的一个开邻域且 Ui A I U2 A2R,满足T2公理由题意可知S是闭集，有理数a S如果W是S的任意一个开邻域T3公理I Q因为S为全集，所以S的开邻域 W总会与a的开邻域相交 因此在 R,中，S与a不存在不想交的开邻域，故不满足11(3) X R ,做X的一组可数邻域Un XU x -,x -n

3、n则Un是X的一个可数邻域对X的任一开邻域U，U为R中开集Q X a,b SUS当n充分大，Un a,b S US所以Un是X的一个可数邻域基说明R,满足Cl公理显然Q RX R，X的任一开邻域U SUSIQX QR Q所以Q R所以Q是R,的可数稠密子集，所以R,是可分的(4)设 A SQ R S A是R,的开集有 R SAISA是S, S的开集S的每个子集都是 S, S的开集S, S是离散拓扑空间，S不可数从而S, S是不可分的(5)假如R,满足C2公理Q C2公理具有遗传性则S, S也要满足C2公理Q C2空间是可分空间则S, S是可分的与 S, S不可分矛盾了R, 不满足C2公理设A和

4、B都是拓扑空间 X的子集，并且 A是开集证明AI B AI B.证明：对 XAI B ,即 XA且XB令U是X的任一开邻域则U IA也是X的开邻域因为XB所以UIAIB即U IAI B所以XAI B ,所以AI BAI Bn设A1,A2,L ,An都是X的闭集，并且 X UA证明B X是X的闭集 BlA是i 1A i 1,2, L ,n 的闭集.证明:i 1,2,L ,n有 Ai B I AiBC I AiQ x Ai BI Aix Ai ,x BI AixBx BC x BC I Ai又Q B是X的闭集BC 是 X 的开集从而 BI Ai 是 Ai 的开集BI Ai 是 Ai 的闭集因为 B

5、I Ai 是 Ai 1,2,L ,n 的闭集故i 1,2,L , n ,存在X的闭集Bi ,使BlA BilA ,而nUBii1nnnnnBUBlAiUBi lAiUBilUAiUBil Xi 1i 1i 1i 1i 1所以 B 是 X 的闭集（有限多个闭集的并还是闭集）， xnx.设 xn 是 R, c 中的一个序列 .证明： xn x 存在正整数 N ，使得当 n N 证明： 显然的假设当 n N 时， xn x 不成立那么可找到 xn 的无穷子序列 xnk ， xnk x k 1,2,L R xnk 为 x 的一个开邻域k因为 lim xn x对 x 的开邻域 R xnk会 K,n K,

6、xn R xnk与XnkRXnk矛盾所以存在正整数 N ,使得当n N , XnX证明：A是拓扑空间X的稠密子集X的每个非空开集与 A相交非空.证明：因为A是X的稠密子集所以A X故对X A， X的每个开邻域与A都有交点从而X的每个非空开集与 A相交非空因为X的每个非空开集与 A相交非空故对X X， X的每个开邻域与A都有交点所以X A ,即X A又因为A X ,所以A X 所以A是X的稠密子集若A是X的稠密子集，B是A的稠密子集，则 B也是X的稠密子集. 证明：令U是X的任一非空开集因为A是X的稠密子集所以U I A从而U I A是A的非空开集又因为B是A的稠密子集，则U I B UIAIB所以B也是X的稠密子集(1) f是连续映射;(2) 对X的任何子集A , f A f A ;(3) 对Y的任何子集B , f 1 B f 1 B .证明：12欲证f A f A即y f A ,要有y f A设V为y的任一开邻域因为f是连续映射所以f 1 V为X开集1 1 1f y A， f y f V1又因为f VlA所以f f 1 V I A即 ff1VIA f f 1 V IfA VIfA y TTA 所以f A f A1 1 2 3