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1、习题课定积分及其相关问题 第五五章 一、定积分问题举例一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线)0)()(xfxfy，轴及x以及两直线bxax,所围成 , 求其面积 A .?A)(xfy 矩形面积ahhaahb梯形面积)(2bahyOxab1xix1ixxabyO解决步骤解决步骤 :1) 大化小大化小.在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点bxxxxxann1210,1iiixx用直线ixx 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 常代变常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取作以,1iixx为底 ,)(if为高的小矩形, 并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边

2、梯形面积,iA得)()(1iiiiiixxxxfA),2, 1,nii3) 近似和近似和.niiAA1niiixf1)(4) 取极限取极限. 令, max1inix则曲边梯形面积niiAA10limniiixf10)(lim1xix1ixxabyOi定积分的性质定积分的性质(设所列定积分都存在)abbaxxfxxfd)(d)(. 10d)(aaxxfbaxd. 2xxfkxxfkbabad)(d)(. 3( k 为常数)bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(. 4abbccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(. 5编辑ppt6. 若在 a , b 上则.0d)(xxfb

3、a,0)(xfa 0 ; (2) 在(a, b) 内存在点 , 使 )(2d)(22fxxfabba(3) 在(a, b) 内存在与 相异的点 , 使 baxxfaabfd)(2)(22(2003 考研) 证证: (1) ,)2(lim存在axaxfax,0)2(limaxfax由 f (x)在a, b上连续, 知 f (a) = 0. ，又0)( xf所以f (x) 在(a, b)内单调增, 因此 ),(, 0)()(baxafxf(2) 设2( ),( )( )d()xaF xxg xf ttaxb, 0)()(xfxg则)(),(xgxF故满足柯西中值定理条件, 于是存在 使),(baaabattfttfabagbgaFbFd)(d)()()()()(22xxattfxd)()(2即 )(2d)(22fttfabba(3) 因 0)()(ff)()(aff在a, 上用拉格朗日中值定理),(),(

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