小学奥数-几何五大模型(相似模型)

1、任意四边形、梯形与相似模型29 / 18模型四相似三角形模型（一）金字塔模型丁 AD AE DE AF一 一 一 一AB AC BC AGD S*A ADE ： SA ABCAF2: AG2。所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互

2、转化的工具。在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。【例1】 如图，已知在平行四边形 ABCD中，AB 16, AD 10, BE 4,那么FC的长 度是多少？【解析】图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB平行于CD,8.所以 BF:FC BE:CD 4:16 1:4,所以 FC 10【例2】如图，测量小玻璃管口径的量具 ABC, AB的长为15厘米，AC被分为60等份。 如果小玻璃管口 DE正好对着量具上20等份处（DE平行AB ）,那么小玻璃管口径 DE是多大？【解析】有一个金字塔模型，所以DE:AB DC: AC , DE:15 40:60

3、 ,所以DE 10厘米。【例3】如图，DE平行BC,若AD:DB 2:3，那么SxADE : SA ECB 根据金字塔2_2Sa ade : Sa abc2 : 5设SAADE4份模型 AD : AB 4:25,则 SA abc 25 份AE : AC DE : BC 2: (2 3) 2:5Sa bec25 5 3 15 份，所S ADE : SAECB【例4】如图， 4ABC中，DE, FG , BC互相平行，AD DF FB , 则 SAADE : S3边形 DEGF : S3边形 FGCB o【解析】设$4 ADE 1份，根据面积比等于相似比的平方，所以 Saade:Sa afg AD

4、:AF2 1:4, SA ade : Sa ABC AD2: AB2 1:9,因此SA AFG 4 份，SA ABC9 份，进而有Sg边形 DEGF3份，S四边形 FGCB5份，所以SaADE : S四边形 DEGF : S四边形 FGCB1:3:5【巩固】如图， DE平行BC,且AD 2, AB 5, AE 4 ,求AC的长。【解析】 由金字塔*II型得 AD: AB AE:AC DE: BC 2:5 ,所以AC 4 2 5 10如图，ABC中，DE , FG , MN , PQ , BC互相平行,AD DFFM MP PB ,贝U SAADE ： S3边形 DEGF ： S3边形 FGNM

5、 ： S3边形 MNQP ： S3边形 PQCB【解析】设Sade1份，Saade：SaafgAD2：AF21:4,因此Safg4份，进而有S四边形DEGF3份,同理有S四边形FGNM5份,&边形 MNQP 7份,Sa边形 PQCB 9 份.所以有Sa ADE : Sa边形 DEGF : S边形 FGNM:S3边形 MNQP : S3边形 PQCB1:3: 5:7:9【总结】 数列。继续拓展，我们得到一个规律： 平行线等分线段后,所分出来的图形的面积成等差【例5】 已知 ABC中,DE平行BC ,若AD : DB 2:3 ,且S弟形dbce比S.de大8.5 cm2 , 求 SA AB

6、C 0【解析】根 据 金字塔模型 AD : AB DE : BC 2: (2 3) 2:5,2_2Sa ade : Sa abc2 :54:25 ,设SaADE 4份，则SaABC 25份， 2 SW形 DBCE25 4 21份，S弟形dbce比SAade大17份，恰好是8.5 cm ,所以SA ABC一 _212.5 cm例6如图：MN 平彳B BC ,SA MPN : SA BCP4:9 , AM 4 cm ,求BM的长度【解析】BM 6【例7】例8在沙漏模型中，因为AM : AB4 2 cmMN : BCSAMPN : S BCP2:3 ,因为BC, BO:EO如图，已知DE平行由沙漏模

7、型得BO:EOAD: AB DE: BC 2:3如图， ABC中，AE4:9AM，所以MN : BC 2:3 ,在金字塔模型中有：4 cm , AB 4 2 3 6 cm，所以3: 2 ,那么 AD: ABBC:DE 3:2 ,再由金字塔模型得【解析】ED与BC平行,4根据相似模型可知平方厘米。那么 AED的面积是1AD -AC , ED与BC平行， EOD的面积是 1 4平方厘米。4ED: BC 1:4, EO:OC 1:4则S CDE 4 1 5平方厘米,又因为 S AED : S CDE AD : DC1:3 ,所以 S AEDS COD 4S EOD 4平方厘米,15.、3 9平万厘米

8、）.在图中的正方形中, 积的几倍？A, B,C分别是所在边的中点，VCDO的面积是VABO面【解析】 连接BC ,易知OA / EF ,根据相似三角形性质，可知 OB:OD AE: AD ,且OA:BE DA:DE 1:2 , 所以 VCDO 的面积等于 VCBO的面积；由 11OA -BE AC 可得 CO 3OA,所以 Svcdo Svcbo 3Svabo ,即 VCDO 的面积是 24VABO面积的3倍。【例9】 如图，线段 AB与BC垂直，已知AD EC 4, BD BE 6,那么图中阴影部分 面积是多少？不妨连接这个图形的对称轴【解析】 解法一：这个图是个对称图形， 且各边长度已经给

9、出， 看看.SVCEO ,SVDBOSVEBO , 且作辅助线BO ,则图形关于BO对称，有SvadoSVADO : SVDBO4:6 2:3 ,设VADO的面积为2份，则VDBO的面积为3份，直角三角形 ABE的面积为8份. 因为Svabe 6 10 2 30 ,而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为30 8 4 15.解法二：连接 DE、AC ,由于 AD EC 4, BD BE 6,所以DE / AC ,根 据相似三角形性质，可知DE: AC BD:BA 6:10 3:5,根据梯形蝴蝶定理，SvDOE : SvDOA : S/COE : ScOA 32 : 3 5 : 3 5 :5

10、2 9:15:15:25,所以S阴影: S弟形ADEC1 -又S梯形ADEC102. 一 .一 .一 rr1515 15:9 15 15 2515: 32 ,即 随影S弟形 ADEC ；32一 115一10 - 6 6=32 ,所以 S阴影 一S梯形adec 15 .232【例10】（2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛）如图，四边形ABCD和EFGH都是平行四边形，四边形 ABCD的面积是16, BG: GC 3:1,则 四边形EFGH的面积 【解析】因为FGHE为平行四边形，所以 EC/AG ,所以AGCE为平行四边形.1-1BG: GC 3:1 ,那 A GC: BC

11、 1:4,所以 Syagce Syabcd 16 4 .44又AE GC,所以AE:BG GC : BG 1:3 ,根据沙漏模型，3 -3FG : AF BG: AE 3:1 ,所以 Syfghe Syagce 4 3 .4 42:1,E是BD的中点，且EF/BC,【例11】 已知三角形 ABC的面积为a, AF : FC 交CD于G ,求阴影部分的面积.【解析】已知AF: FC 2:1 ,且EFBC ,利用相似三角形性质可知2EF :BC AF : AC 2:3 ,所以 EF BC ,且 Svaef : Svabc 4:9.31 又因为E是BD的中点，所以 EG是三角形 DBC的中位线，那么

12、EG - BC ,21 2 一一，r -EG:EF -:- 3:4,所以 GF:EF 1:4,可得 Scfg : Svafe 1:8 ,所以2 3aSVCFG : SVABC 1:18，那么 SvCFG .18【例12】已知正方形 ABCD ,过C的直线分别交 AB、AD的延长线于点 E、F,且AE 10cm, AF 15 cm,求正方形 ABCD的边长.【解析】方法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有BC: AF CE: EF ,BC DC CE CFDC: AE CF :EF ,设正方形的边长为 x cm,所以有 1,AF AE EF EF即_x _x 1 ,解得x 6 ,所以正方形

13、的边长为 6 cm .15 10方法二：或根据一个金字塔列方程即A 竺，解得x 6101580毫AB、【例13 如图，三角形 ABC是一块锐角三角形余料，边BC 120毫米，高AD米，要把它加工成正方形零件， 使正方形的一边在 BC上，其余两个顶点分别在 AC上，这个正方形零件的边长是多少？【巩固】【解析】用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有PNBCx120AP AB x 80PH BP,设正方形的边长为 x毫米，PNAD ABBC1 ,解得x 48,即正方形的边长为 48毫米.如图,在 ABC中，有长方形 DEFG , G、F在BC上,PHADAP BPAB ABE分别在AB、AC上，A

14、H是4ABC 边BC的高，交DE于M , AH 8厘米，求长方形的长和宽.DG: DE 1:2, BC 12 厘米,观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有DE ADBC AB2x所以有91224,24厘米.7DG BDDE,所以有AHx8ABBC24 ,2xDGAH487ADAB关系的两个金字塔模型，所以BD .一1 ,设 DG x ,贝U DE 2x , AB 48 一，因此长方形的长和宽分别是半 厘米,【例14】图中ABCD是边长为12cm的正方形，从G到正方形顶点C、D连成一个三角形，已知这个三角形在 AB上截得的EF长度为4cm,那么三角形GDC的面积是多 少？GG【解析】根据题中条件

15、，可以直接判断出EF与DC平行，从而三角形GEF与三角形GDC相 似，这样，就可以采用相似三角形性质来解决问题.做GM垂直DC于M ,交AB于N .因为EF / DC ,所以三角形GEF与三角形GDC相似，且相似比为EF:DC 4:12 1:3,所以 GN: GM 1:3 ,又因为 MN GM GN 12,所以 GM 18 cm ,所以三角形GDC的面积为 12 18 108 cm30 2【例15 如图，将一个边长为2的正方形两边长分别延长 1和3,割出图中的阴影部分, 求阴影部分的面积是多少？【解析】根据相似三角形的对应边成比例有:NF 3 EM 1；Sb1 2 2 32 3 1 2【例16

16、】(2008 年 101中学考题）图中的大小正方形的边长均为整数（厘米），它们的面积之和等于52平方厘米，则阴影部分的面积是【解析】设大、小正方形的边长分别为22m 8.右 m 5,则 m nm厘米、n厘米（m n ）,则m2 n2 52 ,所以 52 2 50 52 ,不合题意，所以m只能为6或7.检验可知只有m 6、n 4满足题意，所以大、小正方形的边长分别为6厘米和4厘米.根据相似三角形性质，BG:GF AB:FE 6:4 3: 2 ,而BG GF 6,得一 , ,1一、一，BG 3.6（厘米），所以阴影部分的面积为：-6 3.6 10.8（平方厘米）.2【例17如图，O是矩形一条对角线

17、的中点，图中已经标出两个三角形的面积为 3和4,那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？【解析】连接OB ,面积为4的三角形占了矩形面积的，所以Soeb 4 3 1，所以 4OE：EA 1:3所以CE:CA 5:8 ,由三角形相似可得阴影部分面积为8 （-）2 ”.88【例18】已知长方形 ABCD的面积为70厘米，E是AD的中点，F、G是BC边上的三等分点，求阴影 EHO的面积是多少厘米？【解析】因为E是AD的中点，F、G是BC边上的三等分点，由此可以说明如果把长方形 的长分成6份的话，那么ED AD 3份、BF FG GC 2份，大家能在图形中找到沙漏 AEOD和ABOG ：有ED： B

18、G = 3 ：4,所以OD ： BO 3： 4 ,相当于把BD分成（3 4）7份，同理也可以在图中在次找到沙漏： 4EHD和4BHF也是沙漏， ED： BF 3 ：2,由此可以推出： HD ： BH 3： 2,相当于把 BD分成（3 2）5份，那么我们就可以把 BD分成35份（5和7的最小公倍数）其中OD占15份，BH占1435份，HO占6份，连接EB则可知 ABED的面积为70 4 35 ,在BD为底的二角形中HO占6份，则面积为：35 3（平方厘米）.235【例19】ABCD是平行四边形，面积为 72平方厘米，E、F分别为AB、BC的中点，则图中阴影部分的面积为 平方厘米.【解析】方法一：

19、注意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质. 设G、H分别为AD、DC的中点，连接 GH、EF、BD .1 cGH平均分成四段，又OM / EF ,所以OE :ED ED OD :ED 3 2 :3 1:3,1 1-72 6 （平万厘米） , SVADO 2 SVAEO 12 （平3 4SVCDM 12平方厘米.AEDD平行四边形ABCD，4对角线DO : ED所以SvBD 被 EF 、BD: BD41AEO 3方厘米）.同理可得SVCFMAC、41s-S平行四边形ABCD46平方厘米所以 Svabc SVAEO SVCFM 36 6 6 24 （平方厘米）， 于是，阴影部分的面积

20、为 24 12 12 48（平方厘米）.方法二：寻找图中的沙漏，AE:CD AO:OC 1:2, FC : AD CM : AM 1:2,1 -1因此O,M为AC的二等分点，SAodm S平行四边形abcd 72 12 （平万厘米），66一 1 一 1SA AEOSAOCD -12 2 6 （平方厘米），同理& fmc 6（平方厘米），所以44随影72 12 6 6 48（平方厘米）.【例20如图，三角形PDM的面积是8平方厘米，长方形 ABCD的长是6厘米，宽是4厘米，M是BC的中点，则三角形 APD的面积是平方厘米.【解析】 本题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩形某

21、一条边的中点，一般需要通过这一点做垂线.B AD的中点N ,连接MN ,设MN交PD于K .则三角形PDM被分成两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边MK ,可知三1 8. 一角形PDM的面积等于 -MK BC 8（平万厘米）,所以MK=-（厘米），那么2 38 4 -NK 4 - -（厘米）.3 3因为NK是三角形APD的中位线，所以AP 2 NK ，（厘米），所以三角形APD的1 8面积为 一 一 6 8（平万厘米）. 2 3【例21 如图，长方形 ABCD中，E为AD的中点，AF与BE、BD分别交于G、H , OE 垂直 AD 于 E ,交 AF 于 O ,已知 AH 5 cm, HF

22、 3 cm ,求 AG .【解析】由于AB / DF ,利用相似三角形性质可以得到AB: DF AH : HF又因为E为AD中点，那么有 OE:FD 1:2,3所以 AB:OE 5: - 10:3, 利用相似二角形性质2AG:GO AB:OE 10:3, 一一11一1040而 AO AF5 34 cm ,所以AG4cm .2213135:3 ,可以得到【例22】右图中正方形的面积为1, E、F分别为AB、BD的中点,阴影部分的面积.题中条件给出的都是比例关系,由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求解，而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质.阴影部分为三角形，已知

23、底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积.可以作FH垂直BC于H , GI垂直BC于I .根据相似三角形性质，CI【例23】CI :CB 1:6,即 BI : BC6 1 :6 5: 6 ,所以 Svbge12, AB 2CD , E 为 AC 的中点,梯形ABCD的面积为于F ,四边形CDFE的面积是【解析】由于E为AC的中点，根据相似三角形性质,再根据相似J 52 6 24BE的延长线与AD交1CG AB 2CD , GD - GC 2角形性质，AF :FDAB: DG 2:1 , GF :GB 1:3 ,而:CH CG:CF 1:3 ,又因为 CH HB ,所以Sabd：Sbcd

24、 AB ：CD 2:1,所以S bcd一 Sabcd31一 1234 , S GBC 2S BCD 8 .S GDFS GBC1，S EBC6S GBC ,所以 SDDFE1-22118-S GBC S GBC633【例24如图,三角形ABC的面积为60平方厘米,E、F分别为各边的中点,那么阴影部分的面积是平方厘米.【解析】阴影部分是一个不规则的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形的面积之差.而从图中来看，既可以转化为BEF与EMN的面积之差，又可以转化为BCM与CFN的面积之差.（法1）如图,连接DE .由于D、E、F分别为各边的中点，那么BDEF为平行四边形，且面积为三角形A

25、BC面积的一半，即30平方厘米；那么 BEF的面积为平行四边形 BDEF面积的 一半，为15平方厘米.根据几何五大模型中的相似模型，由于DE为三角形ABC的中位线，长度为BC的1一半，则 EM:BM DE : BC 1:2,所以 EM EB ;31 EN :FN DE :FC 1:1,所以 EN EF .2_ ,111那么 EMN的面积占 BEF面积的-，所以阴影部分面积为2 3 6， 1一 一一，15 1 - 12.5 （平万厘米）.（法2）如图，连接AM .根据燕尾定理，S ABM :S bcm AE:EC 1:1, Sacm：Sbcm AD : DB 1:1,1 1所以S BCO - S

26、 ABC -60 20平方厘米， 33一一1 一11一而S BDC- S ABC-6030平方厘米，所以 S FCN-S BDC7.5平方厘米，2 24那么阴影部分面积为 20 7.5 12.5（平方厘米）.【总结】求三角形的面积，一般有三种方法:利用面积公式：底 高2;利用整体减去部分；利用比例和模型.【例25】如图，ABCD是直角梯形，AB4,AD 5,DE 3,那么梯形 ABCD的面积是多【解析】 延长EO交AB于F点，分别计算 AOD,AOBADOCQBOC的面积，再求和.DE：BF DO ：OB 3：1 SA AOD ' SA AOB 3 . 1 ； SA DOC SA BO

27、C 3 , 1 Sa AOD SA BOC1 一一又 SA abd4 5 102 SA AOD3SSAABD47.5 , SAAOB2.5, SABOC7.5,SAdoc3SABOC 3 7.5 22.5S 梯形 abcd 7.5 2.5 7.5 22.5 40那么图中阴影三角形的面积【例26】边长为8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起,是多少平方厘米？大正方形为 ABCD ,小正方形为 MNDE , EBAH：BC AO：OC 3 ：5给图形标注字母，按顺时针方向标注, 分别交AC, AD于O,H两点， AO：OC AB： EC 12 ： 20 3 ：5 ,【例2例 .AO： AC 3 ：

28、8,AH：AD 3 ：5,SAAHO , SA ADC9 , 40, SA ADCSA AHO1 1222aSSA ADC407272 16.240如右图，长方形ABCD 中，EF 16, FG 9,求 AG 的长.DABE ,根据相似三角形性质知【解析】因为DA /DGGBAGGE【例28】又因为DFAG 所以AGGEGA，即DG GBAG2FGGAGE FG 252225 15 ,所以 AG 15.（第21届迎春杯试题）如图，已知正方形E是DC边上的点，且DE:EC1:3 , AFABCD的边长为4, F是BC边的中点, 与BE相交于点G ,求 SAABG【解析】方法一：连接 AE ,延长

29、AF ,AB:CM BF : FC 1:1 ,因此DC两条线交于点 M根据题意有,构造出两个沙漏，所以有CE 3 ,再根据另一个沙漏【例29】有 GB:GE AB:EM4:7 ,所以 Saabg方法Sa AEF接 AE,EF3 2 2 4S»A ABE411求据(4 42)SA ABF : S AEFBG :GE4:7,所以Sa ABGSa ABE4 7Sa ABF蝴-(4 114 2)32.112 4定丝11F是AB、AD的中点,如图所示,BF交EC于M ,求 BMG的面积.已知平行四边形 ABCD的面积是1 , E、CAD的中点，得EF / /BD ,而FD:BC FH : HC

30、 1:2,EB:CD BG:GD 1:2 所以 CH:CF GH : EF 2:3, 并得G、H是BD的三等分点，所以 BG GH ,所以BG:EF BM:MF 2:3,2所以BM BF ,S BFD5一一. 1,又因为BG -BD ,所以3-SABDBMG-Sy ABCDBFD130BM :MFBM 2BF 5可得S bmg【例30】（清华附中入学试题）正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是平方厘米.【解析】欲求四边形BGHF的面积须求出EBG和CHF的面积.解法二:延长CE交DA于I ,如右图，可得，AI : BC AE:EB 1:1,

31、从而可以确定 M的点的位置，BC: IF 2:3,1 ，、一,BG 、BD （鸟头定理），2 1c2 11c 1S BDFSyabcd5 35 3 4301由题息可信到： EG : GC EB : CD 1:2,所以可信：S ebg Sbce3将AB、DF延长交于M点，可得：BM : DC MF : FD BF : FC 1:1 ,一1一 2而 EH:HC EM :CD (AB AB) :CD 3: 2 ,得 CH -CE ,25121S BCE S BCE255一 1而 CF BC ,所以 S chf2一 1 1-1SbceAB BC 120 302 24【例31】【解析】11SI边形 BGHFS EBC S EBC S EBC35本题也可以用蝴蝶定理来做，连接 能解出.已知 SA ABC 14AD 2,BDIs15EF ,，点5,AF FC , Sg边形DBEF ABC的面积已知，若知道 ABE的面积.连接CD .EBC 30 14 .15确定H的位置（也就是FH : HD ）,同样也D,E,F 分别在 AB, BC,CA上,且SAABE 则SA ABE 是多少？ ABE的面积占 ABC的几分之几就可以计算出S四边形 DBEFSA ABE, SA DEF SA ADE. AC与DE平行, SA ADE SA CDE SA ABESACDB【例32】AD 2,