数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章-精选文档

1、第六章 微分中值定理及其应用一、填空题1.若a >0,b >0均为常数，则Hm -x ix )a +b2,2.若limx.01 acosx bsin x3.曲线y = ex在x = 0点处的曲率半径 R =4.4x 4,，、出设y =-2 ,则曲线在拐点处的切线方程为 x5.1.(1 x)x - elim x0x6.设 f (x) =x(x2 -1)(x -4),则 f '(x) =0 有区间；个根，它们分别位于7.函数f(x)=xlnx在1,2】上满足拉格朗日定理条件的:=8.函数f(x) = x3与g(x)=1+x2在区间0,2】上满足柯西定理条件的 1 =9.函数y

2、= sin x在0,2】上满足拉格朗日中值定理条件的巴=x. e 10 .函数f (x) =-2的单调减区间是 ；x一 .311 .函数y =x -3x的极大值点是 ,极大值是 。12 .设f(x)=xex,则函数f(n)(x)在x=处取得极小值 。13 .已知 f (x) =x3+ax2+bx ,在 x =1 处取得极小值 -2,则2 =, b=。14 .曲线y=k(x23)2在拐点处的法线通过原点，则 k=。15 .设f (x) = n*(1 x)n(n = 1,2)，M n是f (x)在。1】上的最大值，则lim M n =。n二16 .设f (x)在x0可导，则f (x0) =0是f(

3、x)在点x0处取得极值的 条件；217 .函数 f(x)=alnx+bx +x在*=1及* = 2取得极值，则 a =,b =；18.函数f(x)=x -X3的极小值是2一 .In x 19.函数f (x)的单调增区间为x20.函数 f(x)=x+2cosx在0，： I上的最大值为13. f (x) =x3+2x+q的O点的个数为()21 .设点(1,2)是曲线y = (x -a)3 +b的拐点，则a =, b =一一 又一 一、， 22 .曲线y=e"的下凹区间为 ，曲线的拐点为 23 .曲线y=3x2 x3的上凹区间为 ；24 .曲线y = ln(1+x2)的拐点为 ；25 .曲

4、线y =ln x在点 处曲率半径最小。一，1、，“八，26 .曲线y =x ln(e+)的渐近线为 。x二.选择填空51 .曲线y =(x5)3十2的特点是()。A.有极值点x = 5 ,但无拐点B.有拐点(5,2)，但无极值点C. x = 5是极值点，(5,2)是拐点D.既无极值点，又无拐点2 .奇函数f(x)在闭区间一1,1上可导，且f'(x) WM ,则()。A. f(x)| 之 M B. f(x) > M C. f (x)| < M D. f (x) < M2 23 .已知万程x y +y =1(y a0)确定y为x的函数，则()。a. y(x)有极小值，但无

5、极大值 b. y(x)有极大值，但无极小值C. y(x)即有极大值又有极小值D.无极值4 .若 f(x)在区间a,+8)上二阶可导，且 f(x) = A>0, f'(a)<0, f 7x)<0 (x>a),则方程f (x) =0在(a,+s )内()A.没有实根B.有两个实根C.有无穷多个实根D.有且仅有一个实根)。5 .已知f (x)在x = 0处某邻域内连续,lim -“凶一=2 ,则在 x = 0 处 f (x)( x 1 -cosxA.不可导 B.可导且f'(0)=2C.取得极大值D.取得极小值6 .设函数f(x)在区间1,y)内二阶可导，且满足

6、条件f(1) = f'(1)=0 , X>1时 f "(x) <0 ,则 g(x)=上凶在 1,+ co )内()xA .必存在一点S ,使f (名)=0B .必存在一点£ ,使f '(8) = 0C.单调减少 D.单调增加f (x)7 .设f(x)有二阶连续导数，且f'(0)=0, 殁)=1，则()A. f(0)是f(x)的极大值B. f (0)是f(x)的极小值C. (0, f (0)诞曲线y = f (x)的拐点d. f (0)不是f(x)的极值，(0, f (0)也不是曲线y= f(x)的拐点8 .若f(x)和g(x)在x = x

7、0处都取得极小值，则函数 F(x) = f(x) + g(x)在x= x0处 ()A.必取得极小值B.必取得极大值C.不可能取得极值D.是否取得极值不确定9 .设 y = y(x)由方程 x3 -ax2y2 +by3 =0确定，且 y(1) =1, x = 1 是驻点，则(),C3,53,1A. a=b=3 B. a=,b= C. a= ,b= D. a-2,b-3 222210 .曲线y =(x1)2(x3)2的拐点的个数为()A.0B.1C.2D.311 . f(x),g(x)是大于 0 的可导函数，且 f'(x)g(x) f (x)g'(x) <0,则当 a <

8、; x< b 时 有()A. f(x)g(b) > f (b)g(x)B. f (x)g(a) > f(a)g(x)C. f(x)g(x) f (b)g(b)D. f (x)g(x) f (a)g(a)1 2x2 x 1 ,12.曲线 y =ex arctan-的渐近线有()x-1 x 2A. 1条 B.2条 C.3条 D.4条A. 1B.2C.3d.个数与q有关1x 二一14.曲线t则曲线（）b =-t 1A.只有垂直渐近线B.只有水平渐近线C.无渐近线D.有一条水平渐近线和一条垂直渐近线sinx15 .设 y = f （x）为 y +y e =0的解，且 f （沏）=0,

9、则 f （x）有（）A. Xo的某个邻域内单调增加B. X0的某个邻域内单调减少C. x0处取得极小值D. X0处取得极大值16 .罗尔定理中的三个条件；f （x）在a,b上连续，在（a, b）内可导，且f （a） = f （b）是f（x）在（a,b）内至少存在一点 之使得f'）= 0成立的（）.（A）必要条件（B）充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要17 .下列函数在1,e上满足拉格朗日中彳1定理条件的是().,八 1(A) ln(ln x);(B) ln x ;(C);(D) ln2-x);ln x18 .若f (x)在开区间(a,b)内可导，且Xi,X2是(a,b)内任意

10、两点，则至少存在一点 上使得下 式成立().(A) f(x2) -f(x1)=便 Ff ( )(a,b);(B) f(x1)一 f(X2)=(Xi -X2)f()Xi：二：二X2(C) f(X1) - f (X2)= (X2 - Xi) f()XiX2(D) f(X2) - f (Xi)= (X2 ")f()Xi二，：X219 .设y = f （x）是（a,b）内的可导函数，x,x+Ax是（a,b）内的任意两点，则（）.(A) y = f (x) x(B)在x,x+Ax之间恰有一个 之使得Ay =K)Ax(C)在x,x +Ax之间至少存在一点 J使得Ay = f t)Ax(D)对于x

11、与x + Ax之间的任一点，均有y=f«)Ax20 .若f(x)在开区间(a,b)内可导，且对(a,b)内任意两点不？2恒有 f(x2) -f(xi) W(x2 xi)2,则必有().(A) f(x)=0(B) f(x)=x(C) f(x)=x(D) f(x)=c (常数)21 .已知函数 f (x) =(x 1)(x 2)(x 3)(x4)，则方程屋)=0有().(A)分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4)内的三个根； (B)四个根，它们分别为xi =1,x2 =243 =3x4 = 4;(C)四个根，分别位于(0,1), (1,2),(2,3),(3,4);(D)分别位于

12、区间(1,2),(1,3), (1,4)内的三个根；22 .若f(x)为可导函数 J为开区间(a,b)内一定点，而且有f(U) >0,(x )f'(x)至0,则 在闭区间a,b上必总有().(A) f (x) < 0(B) f (x) < 0(C) f (x) - 0(D) f (x) 0232._23 .若 a -3b <0,则万程 f(x) = x +ax +bx + c=0().(A)无实根 (B)有唯一实根 (C)有三个实根 (D)有重实根24 .若 f(x)在区间a,收上二次可微，且 f(a) = A>0, f'(a) <0, f“

13、(a)E0 (xa),则 方程 f (x) =0在a,+-c±().(A)没有实根 (B)有重实根(C)有无穷多实根(D)有且仅有一个实根25 .设lim 3 为未定型，则1而 *1存在是1而上区 也存在的().x 吸 g(x)x >x° g (x)x >x° g(x)(A)必要条件 (B)充分条件 (C)充要条件(D)既非充分也非必要条件26.指出曲线3 -x2的渐近线().(A)没有水平渐近线，也没有斜渐近线(B) x = J3为垂直渐近线，无水平渐近线 (C)既有垂直渐近线，又有水平渐近线27曲线y = e：1x2(D)只有水平渐近线x2，x T

14、 .，一 .arctan的渐近线有().(x-1)(x 2)(A) 1 条；(B) 2 条；(C) 3 条；(D) 4 条1二28.函数 f(x) = acosx cos2x在 x= 取得极值，贝U a =( 231(A) 0 ；(B)2 ；(C) 1 ;(D) 2 。29.下列曲线集邮水平渐近线，又有垂直渐近线的是()。(A)si r2xf (x);x x(B)f(x)x -1e2(C) f (x) =l r3-) ;(D) f(x)=xej。x30. lim x1。=()。x 1(A) 1 ;(B) e,；(C) e ；(D)二三、计算题1.试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点士使得f&

15、#39; (E )=0：1 c，、 xsir 一 ,0 :(1) f(x)= x x0, x = 0;(2) f(x)=|x|,-|<x<|.2.求下列不定式极根：ex -1网sirx1-2sinx(2) lim；x >x cosx61r(1 x) -x(3) lim Lx 0 cosx -1tgx - x(4) ximd3.(5)(9)limx)2tgx-6Jsecx 5lim (tgx) sinx; x”12工lim (1 x )x ；x,11 、(6)呼丁一);1(8) lim x1-x；x ：1(10)lim sin xln x ；x_0 -1) xime一系);(1

16、2)则(号产求下列不定式极限：.lncos(x -1)(1) lim；x 1x1 sin2(2) im ( 冗-2arctgx)ln x ；(4)sin xlim xx 0 -limx(tgx产xx ,4ln(1x)(1 x) 1(6)、. ， ，1、粤(Ctgx -x31(1 x)x -e lim x 0 x(8)JIlim (- -arctgx)1lnx4 .求下列函数在提定点处带拉格朗日型余项的泰勒公式(1) f(x)=x 3+4x2+5,在 x=1 处；1 »(2) f(x)=,在 x=0 处；1 x(3) f(x)=cosx的马克林公式.5 .求下列函数带皮亚诺型余项的马克

17、劳林公式：(1) f(x)=arctgx 到含 x5 的项;(2) f(x)=tgx 到含 x5 的项.6 .求下列极限：exsinx - x(1 x) 呵h一;21021n(1?;1,1,、(3)ximo x (x -ctgx).7 .估计下列近似公式的绝对误差x3、“1(1) sin x 忠 x ，当 | x|E一；622 x x(2)小 +x 之 1 + ,当 xC 0,1.288 .计算：数e准确到10-9;(2)lg11 准确到 10-5.1 .确定下列函数的单调区间(1) f(x)=3x-x 3;(2) f(x)=2x 2-lnx; f(x)= 2x - x2x2 -1(4) f(

18、x)=x9.求下列函数的极值.(1) f(x)=2x 3-x4;2x(2) f(x)=V;(3)f(x)=3-;x(4) f(x)=arctgx - ln(1+x2).210 .求下列函数在给定区间上的最大值与最小值(1) y=x5-5x4+5x3+1,-1,2;(2) y=2tgx-tg 2x, 0,;2 y= Vx lnx, (0,+ 川.11 .把长为1的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积为最大？12 . 一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为 V时，要使容器的表面积为最小，问底的半径与 容器的高的比例应该怎样 ？13 .设用某仪器进行测量时，读得n次实验数据为a1

19、,a2,，an.问以怎样的数值x表达所要测量 的真值，才能使它与这 n个数之差的平方和为最小？14 .求下列函数的极值：2(1) f(x)=|x(x 2-1)|;x(x 1)23(2) f(x)=-2； (3) f(x)=(x-1) (x+1).x -x 115 .设f(x)=alnx+bx 2+x在x1=1,x2=2处都取得极值；试定出a与b的值;并问这时f在x1与x2 是取得极大值还是极小值 ？16 .求正数a,使它与其倒数之和为最小.17 .要把货物从运河边上 A城运往与运河相距为 BC=a千米的B城(见图7-1).轮船运费的单 价是a元/千米.火车运费的单价是 3元/千米(3 >

20、 a ),试求运河边上的一点 M,修建铁路 MB, 使总运费最省.18 .确定下列函数的凸性区间与拐点 y=2x 3-3x2-36x+25;(2) y=x+ -; x y=x 2+ 1; x(4) y=ln(x 2+1);19.问a和b为何值时，点(1,3)为曲线y=ax3+bx3的拐点？四、证明题1.证明：(1)方程(2)方程x33x+c=0 (这里C为常数)在区间0, 1内不可能有两个不同的实根； xn+px+q=0(n为自然数，p, q为实数)当n为偶数时至多有两个实根；当 n为奇数时至多有三个实根。2.3.证明：(1)若函数 f 在a, b上可导，且 f'(x)>m,则

21、f(b) >f(a)+m(b-a); (2)若函数 f 在a,b上可导，且 |f'(x)|WM,则 |f(b)-f(a)| w M(b-a)； (3)对任意实数 x1,x2，都有 |sinx-sinx2|w |x1-x2|.应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：(1)(2)b - abh1 h2(b b -a<1n <,其中 0<a<b;a a<arctgh<h ,其中 h>0.4.f在a,b上可导。证明：存在 W C (a,b),使得 2E f(b)-f(a)=(b 2-a2)f % ).5.设函数在点a具有连续的二阶导数。证明:lhmo

22、f (a h) f(a -h) -2f (a)h2f''(a).6.试讨论函数f(x)=x 2,g(x)=x 3在闭区间-1 , 1上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什么?7.设 0< a <3<：,试证明存在0 C (a,b),使得sin a -sin : xcosP-cosa=Ctge.8 .设h>0,函数f在a-h,a+h上可导。证明：(1) f(a 4h) 7a h) =f'(a+8h)_f (a -8h) ， 9C (0, 1)；h(2) f(a+h)-f(a)+f(a -h) =f-(a+0h)-f'(aflh), 3(

23、0 h9 .以S(x)记由(a,f(a) ,(b,f(b),(x,f(x)三点组成的三角形面积，试对证明拉格朗日中值定理。10 .若函数f, g和h在a,b上连续，在(a,b)内可导，证明存在实数1).S(x)应用罗尔中值定理士£ (a,b),使得f(a) f(b) f()g(a) g(b) g'G)h(a)h(b) =0.h'(9再从这个结果导出拉格朗日中值定理和柯西中值定理。11 .设f为a,b上二阶可导函数，且 f(a)=f(b)=0,并存在一点cC ( a,b)使得f(c)>0.证明至少 存在一点 七C (a,b),使得f飞七)<0.12 .证明达

24、布定理：若f在a,b上可导，且f'(a)w f'(b),k为介于f'与f'(b)之间的任一实 数，则至少存在一点七C (a,b),使得f'(E )=k.13 .设函数f在(a,b)内可导，且 V单调。证明在(a,b)内连续。14 .证明：设f为n阶可导函数，若方程 f (x) =0有n+1个相异实根，则方程f(x)=0至少 有一个实根。15 .设p(x)为多项式，a为p(x)=0的r重实根。证明 ：a必定是p/ (x)=0的r-1重实根。16 .证明：(1)设 f 在(a,+8)上可导，若 lim f(x)和 lim f (x)都存在，则 lim f (

25、x) =0； x j 二x j ;x_.k(2)设f在(a,+8)上n阶可导.若Jimf；x)和J (x)者B存在，则k ,、lim f (x) =0,(k=1,2,，n)。x_)二f(a h) f(a -h)-2f(a)=f'(a)17 .设函数f在点a的某个邻域内具有连续的二阶导数，试应用罗比塔法则证明h218.对函数f在区间f(x)-f(0)=f0,x上应用拉格朗日中值定理有试证对下列函数都有limx 019.20.(1) f(x)=ln(1+x);(9 x)x, 9 e (0,1).1;2(2) f(x)=e x.设f(0)=0,f /在原点的某邻域内连续，且V (0)=0.证

26、明:lim xf(x) = 1.x 0 -证明定理6.5中x取的=0-场g(x)=°情形时的罗比塔法则若(i)lim 仅=0, lim (x) = 0x )二二x 二二(ii)存在Mo>0,使得f与g在(M0,+ 0°)内可导，且g/ (x) w 0;(iii)lim f (x) = lim f (x) =A (A为实数 也可为±8或oo，则 二二g'(x)-二g'(x)lim 叱=lim -XT , g(x)x-1 '(f(x)g'(x)21 .证明:f(x) =x3e为有界函数.22 .应用函数的单调性证明下列不等式3“、

27、x -小冗、(1) tgx>x- -,x (0,-);33_ 2x_ 冗、(2) :二 sinx :二 x,x (0 )；冗222x -(3) x -：；| n(1 x) ： x - ,x . 022(1 x)23.设x4sin2 , x = 0, f(x) = x.0,x u0(1)证明:x=0是函数f的极小值点；(2)说明在f的极小值点x=0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件24 .证明：设 f(x)在(a,b)内可导,f(x)在 x=b 连续，则当 f 1r(x) R0(a<x<b)时，对一切 xC (a,b)有 f(x) <f(b),当 f '(

28、x) w 0(a<x<b)时对一切 xC (a,b)有 f(x) >f(b).25 .证明:若函数f在点x°处有f,+(x0)<0(>0),f (x0)>0(<0),则x0为f的极大(小)值点.26 .证明：若函数f,g在区间a,b上可导，且f'(x)> g'(x), f(a)=g(a),则在(a,b】内有f(x)>g(x).27 .证明：tgx A x , xef0,；x sinx2 J28 .证明：(1)若f为凸函数，入为非负实数，则入f为凸函数；(2)若f、g均为凸函数，则f+g为凸函数；(3)若f为区间I上

29、凸函数,g为Jn f(I)上凸的递增函数，则gof为I上凸函数.29 .设f为区间I上严格凸函数 证明:若XoC I为f的极小值点，同x0为f在I上唯一的极小值 与 八、.30 .应用凸函数概念证明如下不等式：a b/一11a b(1)对任意实数a,b,有e2 <-(e+e);2(2)对任何非负实数a,b,有c , Q + b+上2arctg ? arctga+arctgb.31 .证明:若f.g均为区间I上凸函数，则F(x)=maxf(x),g(x)也是I上凸函数.32 .证明:(1)f为区间I上凸函数的充要条件是对I上任意三点x1<x2<x3,恒有1x1f(x1) =1x

30、2f(x 2)>0.1x3f(x 3)(2)f为严格凸函数的充要条件是对任意x1<x2<x3,A >0.33.应用詹禁不等式证明：a1a2 -an(1)设 a>0(i=1,2,n),有1芦1三n 艇an三12na a a(2)设 ai,bi>0(I=1,2,n),有P 1 J q 1a )一(二.bi )-P P i4811其中 P>0,q>0,=1.五、考研复习题1.证明：若f(x)在有限开区间(a,b)内可导，且lim f(x)= 项f(x)，则至少存在一点E ex_a _x_b _a,2.b),使 f'(E )=0.证明：若x>

31、;0,则.1.12 Kx Xx)淇中一HXx) ;421.1叫Mx)=4,!im(x)=2.3.设函数f在a,b上连续设(a,b)内可导，且ab>0证明存在 工£ (a,b),使得a -b f(a) f(b)=f( ) - f ().4.设f在a,b上三阶可导，证明存在 七C(a,b),使得f(b) = f(a) 1(b -a)f (a) f (b) -1(b- a)3f ().2125.对f(x)=ln(1+x)应用拉格朗日中值定理，证明对x>0有6.0 :二 1ln(1 x) x1 :： 1 .证明：若函数f在区间a,b上恒有f "(x)>0,则对(a,b)内任意两点xi,x2，都有f(x1) f(x 2) fI2Xi x22其中等号仅在Xi=X2时才成立.7.证明：第6题中对(a,b)内任意n个点X1,X2，Xn也成立1 /f(x k) -f n 7f 1乙Xkn其中等号也仅在 X1=X2=Xn时才成立。8.应用第7题的结果证明：对任意 n个正数X1,X2，,Xn恒成立x1 x2，xn > QXiX2，,. Xn ,即算术平均值不小于几何平均值。9.设a1,a2,，an为n个正实