新北师大版中考数学动点(教师版)

1、学习必备欢迎下载动点问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点 ，它们在线段、射线或弧线上运 动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题.关键：动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想 数形结合思想转化思想中考数学（动点问题）考试分析200920102011动点个数两个一个两个问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边 上移动抛物线中特殊直角梯形底边 上移动考查难点探究相似三角形探究三角形面积函 数关系式探究等腰二角形考占八、菱形性质特殊角三角函数求直线、抛物线解析式相似三角形不等式求直线解析式四边形面积的表 示动三角形面积函 数矩形性质求抛

2、物线顶点坐标探究平行四边形探究动三角形面积是定值探究等腰二角形存在性特占八、菱形是含60°的特殊菱形； AO%底角为30°的等腰三角 形。一个动点速度是参数字母。探究相似三角形时，按对应角/、同分类讨论；先画图，再探究。通过相似三角形过度，转化相 似比得出方程。利用a、t范围，运用不等式求 出a、t的值。观察图形构造特 征适当割补表示面 积动点接到拐点时 间分段分类画出矩形必备条 件的图形探究具存 在性直角梯形是特殊的（一底 角是45° ）点动带动线动线动中的特殊性（两个交点D E是定点；动线段PF 长度是定值，PF=OA通过相似三角形过度，转 化相似比得出方程。

3、探究等腰三角形时，先画 图，再探究（按边相等分类 讨论）共同占八、特殊四边形为背景；点动带线动得出动三角形；探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；求直线、抛物线解析式；探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。典型例题(历年真题)一、三角形边上动点1、如图，在 ABC中，AB=AC BC=acm / B=30° .动点P以1cm/s的速度从点B出发， 沿折线B-A- C运动到点C时停止运动.设点P出发x s时，PBC勺面积为y cm2.已知y 与x的函数图象如图所示.请根据图中信息，解答下列问题：(1)试判断 DOE勺形状，并说明理由；(2)当a为何值时，

4、 DOEt ABC相似？考点：相似三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形。分析：(1)首先作DF，OE于F,由AB=AC点PP以1cm/s的速度运动，可得点P在边AB和AC上的运动时间相同，即可得点 F是OE的中点，即可证得DF是OE的垂直平分线，可得 DOE1等腰三角形；(2)设口( a, a2),由 DO=D EAB=AC 可得当且仅当 / DOE=ABC寸，ADOE AABC312然后由三角函数的性质，即可求得当 a=4g时，4DO团AABC解答：解：(1) DOE1等腰三角形.作 DF, OE于 F,. AB=AC点PP以1cm/s的速度运动，点P在边AB和AC上的运动时间

5、相同, 点F是OE的中点，DF是OE的垂直平分线，.DO=D E .DOE1等腰三角形.(2)由题意得：D (a, -a2)312v DO=DE AB=AC 当且仅当/ DOE=ABCM, ADOEAABC在 RtADOF, tan / DOF叁=3a ,Xd 4由 1a=tan30。="，得 a = *3,433.当 2=竽时，DO团AABC点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及线段垂直平分线 的性质等知识.此题综合性较强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用.2、(2011?郴州)如图，RtAABO, / A=30° , BC=10cm点

6、Q在线段BC上从B向C运动, 点P在线段BA上从B向A运动.Q P两点同时出发，运动的速度相同，当点 Q到达点C时, 两点都停止运动.作PML PQ交CA于点M过点P分别作BG CA的垂线，垂足分别为E、F.(1)求证： PQ9PMF(2)当点P、Q运动时，请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系？并证明你的猜想；(3)设BP=k PEM勺面积为y,求y关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最大值, 并将这个值求出来.,BPM等边三角形，可推出PEE, PF,列出函数式，利用函数的性质求解.解答：证明：(1) ; PE! BC, PF±AG/C=90° , 丁 / PEQW

7、PFM=90 , / EPF=90 ,即 / EPQ+ /QPF=90 ,又. / FPM+QPFN QPM=90 , ./EPQWFPM .PQE APMF(2)相等.v PB=BQ / B=60° , .BPQ为等边三角形，丁. / BQP=60 ,.PQE APMF ./PMFW BQP=60 , 又/ A+/ APM= PMF ./APM=A=30° ,PM=M ABC io(3) AB益丽.i =20, BP=x,贝U AP=20- x,PE=xcos30°再1学，PF= (20-x)?,SaPEh=' PEX PF,X_a.,卢20 -xF=4

8、 (20x- x2) o(x 10) 2+ (0<x<10).，当x=10时,函数的最大值为孥.考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；等边三角形的判定与性质；含 30度角的 直角三角形；解直角三角形。分析：(1)由/EPF4 QPM=90,利用互余关系证明 PQ9 APMF(2)相等.运动速度相等，时间相同，则 BP=BQ /B=60° /MPA=A=30° ,等角对等边；1(3)由面积公式得 SpeM=PEX PF,解直角二角形分别表小点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，二 次函数的性质.关键是根据题意判断相似

9、三角形，利用相似比及解直角三角形得出等量关系3、(2011 成都,20 动点.10分)如图，已知线段AB/ CQAD与BC相交于点K, E是线段AD上5(1)若 BK= 5 KC, 2求器的代(2)连接BE,若BE平分/ABC则当AE= 1AD时,2猜想线段AB. BC. CD三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明.再探究：当A- AD (n>2),而其余条件不变 n时，线段AB, BQ CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明.考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质。专题：计算题；几何动点问题。分析：（1）由已知得CK=2,由CD/ AB可证zKB

10、A禾J用CD=CK求值； BK 5AB BK21AB,利用EF= EJ GW线段AB. BC. CD三者之间的数量关系；2当 AE= 1AD (n>2)时，EG= BG= 1 BQ（2） A五BG CD.作zABD的中位线，由中位线定理得 EF/ AB/ CD可知G为BC的中点，由平行线及角平分线性质，得/ GE昆/EB阵/GBE则EG= B五1BQ而G三1CD EF=而 G三 二 CD EF= n1 AB, EF= EG GF可得 BJnC5(n-1) AB.5 CK解答：解：(1) v BQ -KC, a CKBKEG= B氏 1BG 而 GF=CR EF= - AB,又. CD/

11、AB,. EF= ES GR AB= BC+ CD.KCS AKBACD CKAB BK1 一.(2)当 BE平分/ABC A已 1AD时，AB= 2BG CD.证明：取BD的中点为F,连接EF交BC与G百 八'、5由中位线定理，得EF/ AB/ CD，.G为BC的中点，/ GEa ZEBA又/EBA= /GBE/GE氏 /GBE当 AE= -1AD (n>2)时，BG C* (n-1) nAB二、特殊四边形边上动点1、（2011?株洲，23,）如图，矩形 ABCDK 点P是线段AD上一动点，。为BD的中点，PO 的延长线交BC于Q（1）求证：OP=OQ（2）若AD=8厘米,AB

12、=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD1菱形.考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；矩形的性质。专题：证明题；动点型。分析：（1）本题需先根据四边形 ABCD矩形，得出AD/ BG /PDO=QBQ再1g据。为BD的中点得出 PO'ZXQOB即可证出OP=OQ (2)本题需先根据已知条件得出/ A的度数, 的长，再根据四边形 PBQ支菱形时，证出 PBQ电菱形.解答：(1)证明：二四边形ABC此矩形， .AD/ BC丁. / PDO= QBO 又 O

13、B=OD / POD= QOB .POD2 AQOB .OP=OQ(2) PD=8- t四边形ABCD1矩形， ./A=90° ,. AD=8cm AB=6cm再根据 AD=8厘米，AB=6厘米，得出BD和ODODDAADEB即可求出t的值，判断出四边形 . OD=5cm当四边形PBQD1菱形时，PQL BR丁. / POD= A,又 / ODP= ADB，AODP AADB,OD AD 58.=) 即 =)PD BD 8 -t 10解彳# t=7,即运动时间为秒时，四边形44PBQD1菱形.BD=10cm点评：本题主要考查了矩形的性质，在解题时要注意与全等三角形、矩形的知识点结合起

14、来 是解本题的关键.2、(2011 天水，26)在梯形 OABC中，CB/ OA, / AOC=60° , Z OAB=90° , 8=2, BC=4,以点。为原点，OA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，另有一边长为 2的等边DEF, DE在x轴上(如图(1),如果让ADEF以每秒1个单位的速度向左作匀速直线运动，开始时 点D与点A重合，当点D到达坐标原点时运动停止.(1)设DEF运动时间为t, 4DEF与梯形OABC重叠部分白面积为S,求S关于t的函数关 系式.(2)探究：在ADEF运动过程中，如果射线DF交经过Q C B三点的抛物线于点G,是否存 在这样的时刻t,使

15、得OAG的面积与梯形OABC的面积相等？若存在，求出t的值；若不存 在，请说明理由.考点：二次函数综合题。分析：(1)根据F与B重合前后及E与A重合前后，分三种情况求S关于t的函数关系式； (2)依题意得D (4-t, 0),求出直线OC解析式，根据CF/OC确定直线DF解析式，再由 OAG的面积与梯形OABC的面积相等，求出G点纵坐标，根据G点在抛物线上求G点横坐标, 代入直线DF解析式求t ,判断是否符号t的取值范围即可.解答：解：(1)依题意得OA=5,当 00t <1 时，s=-3t2,当 1 & t < 2 时，s= V3 (2 t ) 2=12+23 t -百,

16、2当 20t05 时，s=T3 ；(2)不存在.依题意，得C (1, 73), b(5, V3),抛物线对称轴为x=3,抛物线与x轴两交点坐标为O (0, 0), (6, 0),设抛物线解析式为y=ax (x-6),将C点坐标代入，得2=今. y=-3x(x 6) =- 3x2+63x, 55由C点坐标可知，直线OC解析式为y=V3x,. DF/ OC,设直线DF解析式为y=s/3x+k,将 D (4-t , 0)代入得 k=73 (t -4),. .直线 DF： y=4x+73 (t -4),设AOAG的OA边上高为h,由Sa.S梯形CABC,覆行1 X5Xh=1 X (4+5) X 庄,解

17、彳3h=9 ,将 y=93 代入 y= 3x(x-6)中，得 x=3+ 3.2, .F (3-372 ,孽)或(3+3”，誓)，分别代入直线DF: y=T3x+T3 (t-4)中，得 t=14+3V2或14 -372 ,但 00 t<5,.不存在.三、直线上动点1、 （20XX年山东省东营市，24, 12分）如图所示，四边形CABO矩形，点A、C的坐标分 别为（-3,0）, （0, 1）,点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直 1线y = x +b父折线CABT点E. 2（1）记ODE勺面积为S,求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段0A上时，且tan/DEC.若矩形

18、CAB供于直线DE的对称图形为四边2形CA1B1C1,试探究四边形CABC与矩形CABC勺重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求 出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.O x考点：一次函数综合题.专题：综合题.分析：（1）要表示出 CDE勺面积，要分两种情况讨论，如果点 E在CA边上，只需求出 这个三角形的底边CEK （E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可； 如果点E在AB边上，这时 CDE勺面积可用长方形 CABC勺面积减去 CCD ACAE BDE勺面积；(2)重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部 分面积是否变化的因素就是看这个平

19、行四边形落在 OA边上的线段长度是否变化.四ffi(2)解答：解：(1)二.四边形OABO矩形，点A C的 坐标分别为(-3,0), (0, 1),B (-3,1),若直线经过点A (-3, 0)时，则b=-, 2若直线经过点B (-3,1)时，则b=勺，2若直线经过点C (0, 1)时，则b=1, 若直线与折线OAB勺交点在OA上时，即1<b< 3,如图 1, 2止匕时E (2b, 0), .S= 1OE? CO= - X2bX 1=b；22若直线与折线OAB勺交点在BA上时，即32由题意知，DM/ NE, DN/ ME四边形DNEMfe平行四边形， 根据轴对称知，/ MED =

20、 NEDtBO)又/ MDE = NED./ MED = MDEMD=M E平行四边形DNEMfc菱形.过点D作DHL OA垂足为H,<b< 5,如图22S = S矩-(SzOc+SOA+ S DB=3- 1 (2b-2) X 1+ 1 X (5-2b)?( 2-b)+ / X3 (b- 3)2=5b-b2,2由题易知，也=1 , DH=1, HE 2 .HE=2设菱形DNEMJ边长为a,则在RtADHNfr,由勾股定理知：a2= (2-a) 2+12, a= 5， 4 . S 四边形 dne=NE? dh=.4矩形OABC与矩形OABC勺重叠部分的面积b1Vb2S=不发生变化，面

21、积始终为点评：本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是 看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的 思维能力，但难度较大，具有明显的区分度.2、(2011江苏镇江常州，27, 9分)在平面直角坐标系 XOY, 一次函数y=gx + 3的图象4是直线li, 11与乂轴.y轴分别相交于A. B两点.直线12过点C (a, 0)且与直线li垂直， 其中a>0.点P. Q同时从A点出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q 沿射线AO1动，速度为每秒5个单位.(1)写出A点的坐标和AB的长；(2)当点P. Q运动

22、了多少秒时，以点 Q为圆心，PQ为半径的。Q与直线12. y轴者防目切， 求此时a的值.考点次函数综合题；切线的性质；相似三角形的判定与性质.几何动点问题；分类讨论.分析：(1)根据一次函数图象与坐标轴的交点求法，分别求出坐标即可;(2)根据相似三角形的判定得出 AP3AAOB以及当。Q在y轴右侧与y轴相切时，当。Q在y轴的左侧与y轴相切时，分别分析得出答案.3 一一解答：解：(1) ;一次函数y=±x + 3的图4象是直线1 1, 1 1与x轴.y轴分别相交于A. B 两点， y=0时，x=-4, A (-4, 0), AO=4, .图象与y轴交点坐标为：(0, 3), BO=3,

23、.AB=5;(2)由题意得：AP=4t , AQ=5t ,空=£Q=t, AO BO又/PAR/OAB .APQ AAOB.-.ZAP(=ZAOB：90o ,丁点P在1 1上, OQ在运动过程中保持与11相切，当。Q在y轴右侧与y轴相切时，设12与OQ相切于F,由AAP®AAOB得：PQ 4 PQ . =35 .PG6;连接 Q 则 QF=PQ 由4(56AAPCQAAOBQF QC，AO AB.PQ QC .=AO AB.6 QC .一=4512.QC12 , 5-27.a=O(+QC27 ,2当。Q在y轴的左侧与y轴相切时，设12与。Q相切于 E,由 APM AOB得：

24、PQ 4-PQ一:,35.PQ=3 , 2连接 QE 则 QE=PQ 由QECoAPQoAAOB 得：QE=QC?OA AB 3. QF _ QC 2 _ QCAO AB ' 45 '15 3. .QC , a=QC- OR工88.a的值为27和3 , 28点评：此题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质，利用数形结合进行分析注 意分类讨论才能得出正确答案四、抛物线上动点21、(2011?范W)如图，抛物线 y=：x2+bx-2与x轴父于A, B两点，与y轴父于C点，且A (-1, 0).(1)求抛物线的解析式及顶点 D的坐标；(2)判断 ABC的形状，证明你的结论；(

25、3)点M (mi 0)是x轴上的一个动点，当 MC+MD值最小时，求 m的值.考点：二次函数综合题。分析：(1)把A点的坐标代入抛物线解析式，求 b得值，即可的出抛物线的解析式，根据顶 点坐标公式，即可求出顶点坐标；(2)根据直角三角形的性质，推出 aC=OA+OC=5, bC=OC+OB=20,即aC+bC=25=aB,即可 确 ABC是直角三角形；(3)作出点C关于x轴的对称点C',则C' (0, 2), OC'=2.连接C'D交x轴于点M,根 据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD勺值最小.首先确定最小值，然后根据三角形相似的有关性质定理，求 m的值

26、11解答：解：(1) 丁点 A(1, 0)在抛物线 yqx2+bx2 上，jX (1 ) 2+bX (- 1)-32=0,解得 b=-2抛物线的解析式为y=:x2 -x- 2.y= :x2 jx2 =；(x 2 - 3x - 4 ) = (x-)顶点D的坐标为325年 一铲(2)当 x=0 时 y=-2, - C (0, -2),OC=2当y=0时,2X1-一彳 x 2=0, Xi= 1, X2=4, B (4, 0) .OA=1 OB=4 AB=5. AE2=25, aC=OA+OC=5, bC=OC+OEB=20,.AC+bC=aB. .ABCg直角三角形.MC+MDKS最小.(3)作出点

27、C关于x轴的对称点C',则C' (0, 2), OC =2, 连接C' D交x轴于点M根据轴对称性及两点之间线段最短可知，解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点?1= 2款+ 71 =411225T. ED/ y 轴，/OC M=Z EDM / C OM= DEM.C' OWADEIM.当41X 12y=0 时+ 2.41#+2=01224OM _ OC. EM ED2441解法二：设直线C' D的解析式为y=kx+n,点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性 质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，做好辅助点

28、，找对相似三角形.2、 (2011?林t州)如图，在平面直角坐标系中, A B两点的坐标分别是(0, 1)和(1, 0), P是线段AB上的一动点(不与A、B重合),坐标为(m, 1 - nj) (m为常数).(1)求经过O P、B三点的抛物线的解析式；(2)当P点在线段AB上移动时，过。P、B三点的抛物线的对称轴是否会随着 P的移动而 改变；(3)当P移动到点(/ j)时，请你在过O P、B三点的抛物线上至少找出两点，使每个点都能与P、B两点构成等腰三角形，并求出这两点的坐标.考点：二次函数综合题。分析：(1)设出抛物线的解析式，根据抛物线经过原点，B点，P点可列出方程求出a, b的值确定解

29、析式；(2)求出抛物线的对称轴，可知是个定值，故不变；(3)可作出对称轴与x轴的交点为K,过K点作PB的垂直平分线，交抛物线于两点，这两点就符合要求.解答：解：(1 )设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,1所以QQ的解析式是：y=x -i抛物线的解析式为：y= - 2x2+2x.所以直线和抛物线的交点 Q, Q2两点的坐标早君+1西工J -近一币( T：- ，1 ) ， ( a ，I ) y学习必备 欢迎下载因为抛物线过原点O (0, 0).所以c=0.QX1 +6X1=0 axm2 + bxm = l -m 工 m所以 y=- -x +-x； m m(2)由(1)可知抛物线的对称轴是 x

30、=-=L=!2X而)所以它不会随P的移动而改变； (3)点。(0, 0)可满足.设抛物线的对称轴与x轴交于K,过K作PB 的垂直平分线交抛物线于 Q, Q2两点，则4 QPB, 4QPB是等腰三角形.因为P点的坐标是(.；)£i £i点评：本题考查二次函数的综合运用，其中考查了通过坐标来确定二次函数式，求抛物线的对称轴，以及根据等腰三角形的性质求出坐标.3. (2011四川广安，30, 12分)如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABC0直角梯形， BC/ AD, /BA比90° , BC与y轴相交于点M且M是BC的中点，A B D三点的坐标 分别是A(1, 0),蜕一1, 2), D 3, 0),连接DM并把线段DMft DA方向平移到ON 若抛物线y = ax2+ bx + c经过点D、M N.(1)求抛物线的解析式.(2)抛物线上是否存在点P,使得PA= PC若存在，求出点P的坐标；若不存在.请说 明理由.(3)设抛物线与x轴的另一个交点为E.点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点 Q分析：(1)由题意可知点M的坐标为(0, 2),根据平移可知线段DM是向左平移3个单 位得到线段NOB,由此可知N (-3, 2),把D