最新中考全等三角形专题(8种辅助线的作法)

1、精品文档精品文档全等三角形问题中常见的辅助线的作法倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线加垂线，三线合一试试看。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中有中线，延长中线等中线。遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 三角形中两中点，连接则成中位线。1. 等腰三角形“三线合一”法：合一”的性质解题2. 倍长中线：3. 角平分线在三种添辅助线4. 垂直平分线联结线段两端5. 用“截长法”或“补短法” ： 遇到有二条线段长之

2、和等于第三条线段的长，6. 图形补全法： 有一个角为 60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形7. 角度数为 30、 60 度的作垂线法： 遇到三角形中的一个角为 30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8. 计算数值法： 遇到等腰直角三角形，正方形时，或 30-60-90 的特殊直角三角形，或40-60-80 的特殊直角三角形, 常计算边的长度与角的度数， 这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而

3、为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法 构造全等三角形2) 遇到三角形的中线， 倍长中线， 使延长线段与原中线长相等， 构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法 构造全等三角形3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法， ( 1 ) 可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.（2）可以在角平分线上的一点作

4、该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置4)上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。过图形上某一点作特定的平分线， 构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的 “平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.6)已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角

5、形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答.、倍长中线（线段）造全等例1、已知，如图 ABC中，AB=5, AC=3则中线 AD的取值范围是例2、如图， ABC中，E、F分别在 AB AC上，DEL DF,D是中点，试比较 BE+CF与EF的大小.例3、如图， ABC中，BD=DC=ACE是DC的中点，求证:AD平分/ BAE.DEC精品文档应用:1、以AABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt MBD和等腰Rt AACE ,/BAD =/CAE =901连接de, M、N分别是BC、DE的中点.探究：AM与DE的位置关系及数量关系.(1)如图

6、当以ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 , 线段AM与DE的数量关系是 ;(2)将图中的等腰RgABD绕点A沿逆时针方向旋转9 (0<0 <90)后，如图所示，(1)问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由.E精品文档二、截长补短1、如图,ABC 中，AB=2AC AD平分 / BAC ,且 AD=BD 求证：CD£ AC2、如图,AD/ BC, EA,EB分别平分/ DAB,/ CBA CD过点 E,求证；AB = AD+BC3、如图，已知在 |_ABC 内，/BAC=60°, /C=40°, P, Q 分别在BC, CA上，并且 AP,

7、 BQ分别是BAC, /ABC的角平分线。求证:BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形 ABCD, BO BA,AA C口 BD平分/ABC,求证：.AC =18005、如图在 ABC中，AB> AC, /1 = /2, P 为 AD上任意一点，求证；AB-AC>PB-PCBC EBC周长记为Pb .求证Pb > Pa .应用：m,在四边形AltCD中r .W "时，点E是AB上一个动点，若£ A h 日产,AB =附且 £0度7 =前:判断A/J+M坷4C的关系并证明你的结论一 解;、平移变换例1 AD为 ABC的角平分线，直线 MNL AD

8、于A.E为MNLh一点， ABC周长记为 PA ,例2如图，在 ABC的边上取两点 口 E,且BD=CE求证：AB+AC>AD+AE.AB DE C精品文档四、借助角平分线造全等1、如图，已知在 ABC中，/ B=60° , ABC的角平分线 AD,CE相交于点 O,求证：OE=OD精品文档BEC2、如图， ABC中，AD平分/ BAG DGL BC且平分 BC, DEI AB于 E, DF, AC于 F.（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a , AC=b ,求AE、BE的长.应用:1、如图，OP是/ MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三

9、角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1)(2)如图，在 ABC中，/ACB是直角，/B=60° , AD、CE分别是/ BAC、/ BCA 的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出 FE与FD之间的数量关系； 如图，在 ABC中，如果/ ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明;若不成立，请说明理由。五、旋转例1正方形ABCD43, E为BC上的一点，F为CD上的一点,BE+DF=EF 求/ EAF 的度数.精品文档例2 D为等腰(1)RtAABC 斜边 AB 的中点，DM/L DN,DM,DM别交 BC,CA

10、于点 E,F。 当/MDN绕点D转动时，求证DE=DF(2) 若AB=2求四边形DECF勺面积。例3如图，AABC是边长为3的等边三角形,ABDC是等腰三角形，且 /BDC=1200,以D为顶点做一个600角，使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN则AAMN的周长为精品文档应用：1、已知四边形 ABCD 中，AB.L AD, BC_LCD, AB = BC , /ABC =120，,Z MBN =60，, /MBN绕B点旋转，它的两边分别交 AD, DC (或它们的延长线)于 E, F 当/MBN绕B点旋转到AE=CF时(如图1),易证AE+CF = EF .当/MBN绕B点旋转到A

11、E#CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成 立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE, CF , EF又有怎样的数量关系？请写出 你的猜想，不需证明.2、已知:PA=夜,PB=4,以AB为一边作正方形 ABCD使P、D两点落在直线 AB的两侧. 如图，当/APB=45时，求AB及PD的长；(2)当/ APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应/ APB的大小.3、在等边4ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点 M、N, D为ABC外一点，且ZMDN =60：/BDC =120：BD=DC.探究：当 M、N分别在直线 AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系

12、及MMN的周长Q与等边AABC的周长L的关系.图1(I)如图1,当点M、图2N 边 AB、AC 上，且 DM=DN此时Q =；L图3时，BM、NC、MN之间的数量(II)如图2,点M、N边AB、AC上，且当DM #DN时，猜想(I)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；(111) 如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时, 若AN= X ,则Q= (用x、L表示).参考答案与提示、倍长中线（线段）造全等 例1、（“希望杯”试题）已知，如图 ABC中，AB=5 AC=3则中线AD的取值范围是 解：延长 AD至E使AE= 2AD,连BE,由三角形性质知例2、如图， ABC中，E、F分

13、别在 AR AC上，DEL DF, D是中点，试比较 BE+CF与EF的在 BEG中，由三角形性质知AB-BE <2AD<AB+BE 故 AD的取值范围是 1<AD<4EG<BG+BE故：EF<BE+FC例3、如图， ABC中，BD=DC=ACE是DC的中点，求证： AD平分/ BAE.解：延长 AE至G使AG= 2AE,连BQ DG,显然 DG= AG/ GDC= ACD由于 DC=AC 故 / ADC=Z DAC在人口8与4 ADG中,BD=AC=DG AD= AR/ ADB=Z ADC它 ACDh ADC吆 GDC= / ADG故 ADB ADG 故有

14、/ BAD至 DAG 即 AD平分 / BAE应用:1、（09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰AABC Rt AABD和等腰Rt AACE , /bad =2cae =901连接de, M、N分别是BC、DE的中点.探究：AM与DE的位置关系及数量关系.（1）如图 当以ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 线段AM与DE的数量关系是（2）将图中的等腰RtAABD绕点A沿逆时针方向旋转9（0<9 <90）后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由.解：（1） ED =2AM , AM _LED ;证明：延长 AM至ij G,使MG =AM，连

15、BG,则ABGC是平行四边形AC =BG , /ABG +NBAC =180。又. DAE . BAC =180. ABG = DAE再证：DAE = ABGDE =2AM , /BAG =/EDA延长MN交DE于 BAG = DAH二90ZHDA DAH二90AM _ED（2）结论仍然成立. 证明：如图，延长CA至F,使AC =FA , FA交DE于点P,并连接BFDA _LBA, EA_LAF，BAF =90DAF =EAD 在 AFAB 和 &EAD 中FA =AEBAF = EADBA = DA件AB 三生AD (SAS)BF =DE , /F =/AENZFPD +ZF =N

16、APE +NAEN =90 中 FB IDE又 CA=AF , CM =MB1 AM /FB ,且 AMFB2一 1 一 AM IDE , AM =DE2二、截长补短1、如图，4ABC 中，AB=2AC AD平分/BAC,且 AD=BD 求证：CD£ AC解：（截长法）在 AB上取中点F,连FD ADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知D。AB,故/ AFD- 90° AD阵 ADC （SAS/ ACD- / AFD- 90° 即：CD£ AC2、如图，AD/ BC, EA,EB分别平分/ DAB,/ CBA CD过点 E,求证；AB = AD+

17、BC解：（截长法）在 AB上取点F,使AF= AR连FE AD® AFE （SAS/ ADE= / AFE/ ADE+Z BCE= 180。ZAFE+Z BFE= 180。V故/ ECB= / EFB FBE CBE （AASH故有BF= BC°从而;AB = AD+BC03、如图，已知在 ABC内，/BAC=60 , /C=40°, P, Q分别在 BC, CA±,并且 AP,BQ分别是/BAC, /ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP解：（补短法，计算数值法）延长 AB至D,使BA BP,连DP 在等月BPD中，可得/ BDP= 40

18、76;从而/ BDP= 40° =/ ACP ADP ACP （ASA故 AD- AC又/ QBC= 40° =Z QCB 故 BQ= QCBA BP从而 BQ+AQ=AB+BP精品文档BC4、如图，在四边形 ABCD, BO BA,AA C口 BD平分/ABC,求证： A C =1800解：（补短法）延长 BA至F,使BF= BG连FD BD阵 BDC （SAS故/ DFB= / DCB , FD= DC又 AD= CD故在等腰 BFD中/ DFB= / DAF故有/ BAD吆 BCD= 180°AB-AC>PB-PC5、如图在 ABC中，AB> A

19、C, /1 = /2, P为AD上任意一点，求证解：（补短法）延长 AC至F,使AF= AB,连PD AB国 AFP （SAS故 BP= PF由三角形性质知PB- PC= PF- PC < CF = AF- AC= AB- AC应用:如图，在四边形.WCb中一扪"ua点E是他 匕一个动点.若£ H,仙=BC, n.£切品二2>判断AD +AI与RC的关系并征期你的结论. 解；分析：此题连接AC,把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等 边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。解：有 BC =AD +AEFA DB连接AC,过E作

20、EF BC并AC于F点则可证MEF为等边三角形即 AE =EF , ZAEF =NAFE =60立精品文档精品文档精品文档. CFE =120又 AD/BC, NB=60©. BAD =120又 , DEC =60. AED =/FEC在MDE与AFCE中/EAD=NCFE, AE=EF, NAED =/FECADE 三 FCEAD =FCBC = AD AE点评：此题的解法比较新颖， 把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角形的性质解决。、平移变换例1 AD为 ABC的角平分线，直线 MNL AD于A.E为MNLh一点， ABC周长记为 PA , EBC周长记为PB .

21、求证PB > PA .解：（镜面反射法）延长 BA至F,使AF= AC,连FE人口为 ABC的角平分线，MN XAD知 / FAE= / CAE故有 FAE CAE （SAS故 EF= CE在 BEF 中有：BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC从而 Pb=BE+CE+BC>BF+BC=BA+ACF+BC=例2如图，在 ABC的边上取两点 口 E,且BD=CE求证：AB+AC>AD+AE.证明：取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN.v BD=CE,DM=EM,.,.DMNAEMA(SAS),DN=AE,同理BN=CA.延长 ND 交 AB 于 P

22、,WJ BN+BP>PN,DP+PA>AD, 相力口得 BN+BP+DP+PA>PN+AD, 各减去 DP,得 BN+AB>DN+AD, . AB+AC>AD+AE 。四、借助角平分线造全等1、如图，已知在 ABC中，/ B=60° , ABC的角平分线 AD,CE相交于点 0,求证：OE=ODDC+AE =AC证明(角平分线在三种添辅助线，计算数值法)/B=60贝叱 BAC+Z BCA=120 度；AD,CE均为角平分线，WJ / OAC+/ OCA=60 S = Z AOE=ZCOD;/AOC=120 度.在AC上截取线段AF=AE,连接OF.又 A

23、O=AO; / OAE= / OAF.则，OAE0 AOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;/AOF=/AOE=60 度.则 / COF=/AOC-/AOF=60 度=/COD;又 CO=CO; /OCD= /OCF.故，OCD0 AOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如图， ABC中，AD平分/ BAG DGL BC且平分 BC, DEI AB于 E, DF71 AC于 F.(1)说明BE=CF的理由；(2)如果AB=a , AC=b ,求AE、BE的长.解：(垂直平分线联结线段两端)连接BD, DCDG直平分BC,故BD= DC由于AD

24、平分/ BAG DE± ABT E, DF± AC于F,故有ED= DF故 RTA DBE RTA DFC ( HL)故有BE= CF。AB+AC= 2AEAE= ( a+b) /2BE=(a-b)/2应用:1、如图，OP是/ MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1)如图，在 ABC 中，/ACB 是直角，/B=60° , AD、CE 分别是/ BAC、/ BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出 FE与FD之间的数量关系；(2)如图，在 ABC中，如果/ ACB不是直

25、角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。解：(1) FE与FD之间的数量关系为 FE=FD(2)答：(1)中的结论FE=FD仍然成立。证法一：如图1,在AC上截取AG=AE ,连结FG.一/1=N2, AF为公共边，AEF 三.AGFZAFE =/AFG , FE =FG.一/B=60s, AD、CE 分别是 /BAC、/BCA的平分线 Z23 =60. AFE =. CFD =. AFG =60ZCFG =60 /3 =24及FC为公共边. CFG 三 CFDFG =FDFE =FD证法二：如图2,过点F分别作FG _LAB于点G

26、, FH /B=604, AD、CE 分别是 NBAC、NBCA的平分线 可得N2+/3=60 口，F是 MBC的内心 /GEF =60 0+ /1 , FH =FG又 HDF /B 1ZGEF ZHDF图1_LBC于点H图2，可证.EGF三.DHF FE =FD五、旋转例1正方形ABCM, E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF求/ EAF的度数.证明：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABGWJ GE=GB+BE=DF+BE=EF又 AE=AE , AF=AG ,所以三角形AEF全等于AEG所以/ EAF= / GAE= / BAE+ / GAB= / BAE+

27、/ DAF又 / EAF+ / BAE+ / DAF=90所以/ EAF=45度例2 D为等腰 R3ABC斜边AB的中点，DML DN,DM,DM别交BC,CA于点E,F。(1)当NMDN绕点D转动时，求证 DE=DF(2)若AB=2,求四边形DECF勺面积。解：(计算数值法)(1)连接DGD为等腰RtMBC斜边AB的中点，故有 CDL AB, CD= DACD平分/BCA=90° , / ECD = /DCA = 45由于 DML DN 有 / EDN= 90°由于 CDAB,有/ CD=90° 从而/ CDE= / FDA =故有 CD国 ADF (ASA故有

28、DE=DF Sa abc=2, S 四 DEC= S AC=1例3如图， MBC是边长为3的等边三角形，ABDC是等腰三角形，且 /BDC=120°,以D为顶点做一个600角，使其两边分别交 AB于点M,交AC于点N,连接MN则以AMN的周长为箕F解：(图形补全法，“截长法”或“补短法”，计算数值法)AC的延长线与BD的延长线交 于点F,在线段 CF上取点E,使CE=BM.ABC为等边三角形， BCD为等腰三角形，且/ BDC=120 ,/ MBD= / MBC+ / DBC=60 +30° =90° ,ZDCE=18 0 -ZACD=18 0 -ZABD=90

29、,又 BM=CE , BD=CD ,CDEA BDM , ./ CDE= / BDM , DE=DM ,/ NDE= / NDC+ / CDE= / NDC+ / BDM= / BDC- / MDN=120 -60 =60° ,.在 DMN 和 DEN 中，DM=DE/ MDN= / EDN=60DN=DN/ . DMN DEN ,.MN=NE/ 在 DMA 和 DEF 中，DM=DE/ MDA=60 - / MDB=60 - / CDEW EDF(/ CDE= / BDM)/ DAM= / DFE=30 . DMN DEN (AAS),MA=FEAMN 的周长为 AN+MN+AM=

30、AN+NE+EF=AF=6应用：1、已知四边形 ABCD 中，AB-L AD, BC-LCD , AB = BC , /ABC =120，,Z MBN =60,，/MBN绕B点旋转，它的两边分别交 AD, DC （或它们的延长线）于 E, F .当/MBN绕B点旋转到 AE=CF时（如图1）,易证AE+CF = EF.当/MBN绕B点旋转到AE#CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成AE, CF , EF又有怎样的数量关系？请写出立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 你的猜想，不需证明.解：(1) AB_LAD, BC_LCD, AB = BC, AE = CFMBE 三ACBF

31、(SAS)；/ABE =/CBF , BE =BF/ABC =120 °, ZMBN =60° /ABE =/CBF =30 口，ABEF 为等边三角形1 BE =EF =BF , CF =AE =BE2AE CF =BE =EF(2)图2成立，图3不成立。证明图2,延长DC至点K,使CK =AE ,连接BK则 BAE 三.BCKBE =BK , /ABE=/KBC, ZFBE=60°, /ABC =120 口. FBC . ABE =60. FBC . KBC =60. KBF =. FBE =60 KBF 三 EBFKF =EFKC CF =EF即 AE CF

32、 =EF图3不成立，AE、CF、EF的关系是 AECF=EF2、(西城09年一模)已知:PA= 0,PB=4,以AB为一边作正方形 ABCD使P、D两点落在 直线AB的两侧.(1)如图，当/ APB=45时，求AB及PD的长；(2)当/ APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应/ APB的大小.分析：(1)作辅助线，过点A作AE_L PB于点 巳在R把PAE 中，已知/APE, AP的值，根据三角函数可将 AE, PE的值求 出，由PB的值，可求BE的值，在RtMBE中，根据勾股定理 可将AB的值求出；求PD的值有两种解法，解法一：可将牛AD绕点A顺时针旋转90o得到APAB,可得

33、APADAPAB,求PD长即为求PB的长，在RtMPP'中，可将PP'的值求出，在R必PPB中，根据勾股定理可将 PB的值求出；解法二: 过点P作AB的平行线，与 DA的延长线交于 F,交PB于G,在RtiAEG中，可求出 AG,EG的长，进而可知 PG的值，在R地PFG中，可求出PF,在RtiPDF中，根据勾股定理可 将PD的值求出；(2)将APAD绕点A顺时针旋转90°,得到AP'AB, PD的最大值即为PB的最大值,故当P'、P、B三点共线时，PB取得最大值，根据 PB =PP' + PB可求PB的最大值，此时 ZAPB =180

34、9; /APP=135%解：（1）如图，作AE_LPB于点ERtAPAE 中，ZAPB =45 % PA =2一22AE =PE = =12PB =4BE =PB - PE =3在 RtMBE 中，ZAEB =90°AB ="AE2 - BE2 =亚；10解法一：如图，因为四边形ABCD为正方形，可将将APAD绕点A顺时针旋转90»得到 ZiPAB,可得 APADZPAB, PD=PB, PA = PA ，/PAP'=90©, ZAPPr=45°, ZPPB=90°，PP'=2, PA =72PD =PB =4 PP

35、屯 +PB2 =&2 +42 =2V5 ；解法二：如图，过点 P作AB的平行线，与DA的延长线交于于G.C在 RtMEG 中，可得 AG =一AE一 =一AE一 = , EG =-, cosZEAG cos/ABE3310在 RtAPFG 中，可得 PF =PG cos/FPG =PG cos/ABE =,FG 5在RtAPDF中，可得PD= V；PF2 +（AD +AG +FG 2 =Jf01 |%；10 +10 十10 1 =2后 ,5 15 3(2)如图所示，将APAD绕点A顺时针旋转90)得到APAB, PD的最大值，即为PB的最大值.iPPB 中，PBYpp' + p

36、b, PP'=J2PA=2, PB = 4 且 P、D 两点落在直线 AB 的 两侧当P，、P、B三点共线时，PB取得最大值(如图)此时PB =PP，+ PB=6,即PB的最大值为 6此时,APB =180 式APP ： =135M、N, D为ABC外一点，且3、在等边 MBC的两边AB、AC所在直线上分别有两点AB、AC上移动时,/MDN =60：/BDC =120：BD=DC.探究：当 M、N 分别在直线BM、NC、MN之间的数量关系及 MMN的周长Q与等边AABC的周长L的关系.图1图2图3(I)如图1,当点M、N边AB、AC上，且DM=DN 时，BM、NC、MN之间的数量 关系

37、是;此时Q=；L(II)如图2,点M、N边AB、AC上，且当DM #DN时，猜想(I)问的两个结论还 成立吗？写出你的猜想并加以证明；(III) 如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN= x ,则Q= (用x、L表示).分析：（1 ）如果 DM =DN , /DMN =/DNM ,因为 BD = DC ,那么 /DBC =/DCB=30：也就有 /MBD =/NCD =60°+30'=90。直角三角形 MBD、NCD中，因为 BD=DC , DM =DN ,根据 HL定理，两三角形全等。那么 BM =NC ,NBMD =NDNC =60，三角形 NCD 中，NNDC=30工 DN=2NC,在三角形 DNM 中，DM =DN , /MDN =60中 ,因此三角形 DMN 是个等边三角形，因此MN =DN =2NC =NC 十BM ,三角形 AMN 的周长 Q =AM +AN +MN =AM +AN +MB+NC =AB+AC =2AB ,三角形 ABC 的周长 L=3AB,因此 Q:L=2:3.(2)如果DM #DN ,我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换。延长 AC至E, 使CE=BM，连接 DE. (1)中我们已经得出， /M