高中数学：函数解析式的十一种方法

1、六、特殊值法八、累加法九、归纳法十、递推法十一、微积分法高中数学：函数解析式的十一种方法一、定义法二、待定系数法三、换元（或代换）法四、配凑法五、函数方程组法七、利用给定的特性求解析式一、定义法:【例11设f (x 1) x2 3x 2,求 f (x).-2f (x 1) x2-=(x 1)5(x 1) 6一 一2 一3x 2 (x 1) 13(x 1) 1 2-，、2_f (x) x 5x 6x 1【例2】设ff (x)，求f(x).x 2【解析】设f f (x)x 1 x 11x 2 x 1 1 1 ±1 x1f(x) 11T，求 f g(x). xf (x) x2 2, 、3

2、一g(x) x 3x【例 3】设 f(x 1) x2 ，g(x ) x3 x xx1211、2-【解析】f(x 1)x2T(x 1)22x x x1311 31又 g(x -) x -3 (x -)3(x -)x x xx故 fg(x) (x3 3x)2 2 x6 6x4 9x2 2【例 4】设 f(cosx) cos17x,求 f(sinx).【解析】f (sin x)fcos( x) cos17( x)22cos(8 17x) cos( 17x) sin17x.22二、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。【例1】 设f(x)是一次函数，且ff(x) 4x 3,求f(x)【

3、解析】设f(x) ax b (a 0),则ff(x) af(x)2b a(ax b) b a xab ba 4a 2 或 a 2ab b 3b 1b 3f (x) 2x 1 或 f(x) 2x 32【例2】已知f (x 2) 2x 9x 13,求f (x).【解析】显然，f (x)是一个一元二次函数。设则 f(x 2) a(x 2)2 b(x 2) c又 f(x 2) 2x2 9x 13a 2比较系数得：b 4a 9解得:4a 2b c 132f (x) ax bx c (a 0)ax2 (b 4a)x (4a 2b c)a 2- 2一b 1 f(x) 2x x 3c 3三、换元(或代换)法：

4、已知复合函数fg(x)的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化【例1】已知f(Vx 1) x 2jx，求f (x 1)【解析】令t 衣1,则t 1, x (t 1)2Q f(、x 1) x 2 x-2_2f (t) (t 1)2(t 1) t 1,2.f (x) x1 (x 1)f (x 1) (x 1)2 1x2 2x (x 0)【例2】1 x已知f() xx 11 -,求 f(x).x x1 x1【解析】设 t,则x 则f(t)xt 1(六)2(t 1)2(t 1) t2 t 1f (x) x2 x 1例3设f (cos x-21) cos x

5、 ,求 f(x).解：令 t cosx 1,cosx t 1又 1cosx 1,2 cosx-2f(t) (t 1),2 t 0)即 f (x)(x1)* 2,2,0【例4】若f (x)f (x1) 1 xx(1)在(1)式中以x 1x 1代替x得f ()f(- ' x 11-)x 1即f ()又以f()x 12x 1(2)【例一代替(1)式中的1x 得：f(土)f(x)(3)(3) (2)得：2f(x) 12x 132x x 1x(x 1)f(x)32x x 12x(x 1)5】设f (x)满足af (x)1 bf(-)xcx(其中a,b, c均不为0,1【斛析】af (x) bf

6、( ) cxx(1)1 -用一来代替x, xbf (x)(2)由 a (1) b(a2b2)f(x)acx2 bc a【例6】已知f(ax1)2,求 f (x).f(x)acx2 bc(a2b2)x【解析】设t1 log at 即 x logat代入已知等式中，得:2logax 3四、配凑法已知复合函数fg(x)的表达式，要求f(x)的解析式时,若f g(x)表达式右边易配成g(x)的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化【例1】已知f(6 1) x 24,求f(x)的解析式。【解析】Qx 2、.x可配凑成可用配凑法由 f (% x 1) x 2x ( x )2 1则 f(t

7、) t f (x) x 1 即 f(x) x2 1(x 1)当然，上例也可直接使用换元法令 t JX 1 贝 U t Jx 12得 X22 即 f(x) x2 1(x 1)f (t) (t 1)2 2(t 1) t2 1由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。【例2】已知f(x 1) x2 4,求f(x). x x【解析】此题直接用换元法比较繁锁，而且不易求出来，但用配凑法比较方便。由 f(x 1) x2 口 (x 1)2 2x x x人12一令 t x x tx 1 0 x由 0即t2 4 0得t Rf(t) t2 2即：f (x) x2 2(x R)实质

8、上，配凑法也细含换元的思想，只是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成用此复合 函数的内函数来表示出来，在通过整体换元。和换元法一样，最后结果要注明定义域。五、函数方程组法函数方程组法适用的范围是：题高条件中，有若干复合函数与原函数f( x)混合运算，则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。1【例1】设f(x)酒足f (x) 2 f () x,求f(x)的解析式。f(x)与f (1)的等式,xx1【解析】要求f(x)可消去f(),为此，可根据题中的条件再找一个关于 x通过解方程组达到消元的目的。1_Q f(x) 2f (-) xx1显然，x 0,将x换成1得x,1,f (-) 2f(

9、x)x1x3x1f(x) 2f(一) x 1.f(-) 2f(x) x覆 w2消去f (1),x1，,一 一.一小结：函数方程组法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如 f(x)、 f(-)；互为相反数，如f(x)、f(-x),通 x过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。【例2】已知f(ax1) x 21f (x) x x (x N ) 2【例2】 已知：f(0) 1,对于任意实数x、y,等式f(x y) f (x) y(2x y 1)恒成立，求f(x)【解析】对于任意实数x、y,等式f(x y) f (x) y(2x y 1)恒成立，不妨令 x 0,则有 f ( y) f

10、(0) y( y 1) 1 y(y 1) y2 y 1 2,求f(x). x 1【解析】设t a 0,则x 1 loga t即x logat 1代入已知等式中，得：f (t) (log a t 1)2 2 logat 2logat 3f (x) log a x 2log a x 31一例3 设f (x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f(x) g(x) ,试求f (x)和g(x)的解析式x 1【解析】f (x)为偶函数，g(x)为奇函数，f ( x) f (x), g( x) g(x)1又 f (x) g(x) 一-， x 11用 x替换x得：f( x) g( x) x 1 rr -1即 f (

11、x) g(x) x 1解联立的方程组，得一、 1,、1f(x) 一，g(x)-x 1x x六、特殊值法：(赋值类求抽象函数)【例1】设f(x)是定义在N上的函数，满足f (1) 1 ,对于任意正整数x, y,均有f(x) f ( y) f (x y) xy , 求 f(x).解：由 f(1) 1, f (x) f (y) f (x y) xy设 y 1 得：f(x) 1 f(x 1) x即：f (x 1) f(x) x 1在上式中，x分别用1,2,3, ,t 1代替，然后各式相加1 1 21可得：f(t)1(t2)(t 1) 11t2(t2 22再令 y x得函数解析式为：f(x) x2 x

12、1七.利用给定的特性求解析式.【例1】设f(x)是偶函数，当x>0时，f(x) ex 1(2 1a) 4 20 2 a2221112(3 a) 4 2 二 a2423 ex,求当x<0时，f(x)的表达式.【解析】对 xCR,f(x)满足 f(x) f (x 1),且当 xC 1, 0时，f (x) x2 2x 求当 xC9, 10时f (x)的表达式.七.利用给定的特性求解析式.八、累加法：(核心思想与求数列的通项公式相似)1x 1_【例 1】若 f(1) lg,且当 x 2 时，满足 f(x 1) f (x) lga , (a 0,x N),求f(x). a【解析】f(x) f

13、 (x 1) lgax1 (a 0, x N )递推得：f (x 1) f (x 2) lg ax 2x 3f (x 2) f(x 3) lga2f(3)f(2) lgaf(2)f(1) lga以上(x 1)个等式两边分别相加,得:f(x)-2f (1) lg a lg aI x 2lgax 1lga-1 2f (1) lg a(x 2) (x 1)lg1 ax(x 1)lg a 2x(x 1) 1x(x1)-1lgalg a【例U已知f (x 1)【解析】 f (1) a,.1 .f(3) 2f(2)2.1 .f(4) 2f(3)2九、归纳法:1 、2 - f (x), (x N )且 f

14、(1) a ,求 f (x). 2,1,11f (2)2-f (1)2-a4 2-a222111191f(5) 2f(4) 2(3 a) 4 2 24a2 2 2 82,依此类推，得3 x 1f(x) 4 22rya再用数学归纳法证明之。十、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系, 代等运算求得函数解析式。则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭设f (x)是定义在N 上的函数，满足f(1) 1 ,对任意的自然数a,b 都有f(a) f(b) f(a b) ab,求 f(x)【解析】f(a) f (b) f(a b) ab, a, b N ,不妨令 a x,b 1,得：f (x) f (1) f(x 1) x,又 f 1,故 f(x 1) f (x) x 1 分别令式中的x 1,2L n 1 得：f(2) f(1) 2, f(3) f(2) 3,L Lf (n) f(n 1) n,将上述各式相加得：f (n) f (1) 2 3 n,f(n) 1 2 3n(n 1)n 2f(x) 1x2 1x,x 221一、微积分法：(当你学了导数和微积分之后.就会用到，不过平时的考题还是比较少出现的，多见识下各种题型对你有帮助的。)【例 1】设 f(sin