投资的收益和风险76969

1、投资的收益和风险的优化模型摘要对市场上的多种风险资产和一种无风险资产（存银行）进行组合投资策略的设计需要考虑两个目标：总体收益尽可能大和总体风险尽可能小，而这两个目标在一定意义上是对立的。本文我们建立了投资收益与风险的双目标优化模型目标函数：约束条件：通过“最大化策略”，即控制风险使收益最大，将原模型简化为单目标的线性规划模型一；在保证一定收益水平下，以风险最小为目标，将原模型简化为了极小极大规划模型二；以及引入风险偏好系数，将两目标加权，化原模型为单目标非线性模型模型三目标函数：约束条件：然后分别使用Matlab对不同的风险水平，收益水平，以及偏好系数求解三个模型。针对模型一，我们通过曲线拟

2、合的方法得出风险水平和收益之间的函数关系：，并通过讨论函数导数和曲率求出一个对于风险中性偏好者的最优投资组合。对风险中性偏好者，模型一、二、三的求解结果完全一致。对问题一，结果为：风险水平收益0.0060.201900.240.40.10910.2212对问题二，结果为：风险水平收益0.07580.320.12630.00450.11140.22680.14220.18940.1647而对于其他类别的风险偏好者，模型三对问题一的求解结果详见表3。我们使用计算机随机模拟的方法进行检验，利用随机投点法描出有效投资组合前沿，前沿由直线段组成，通过分析所有取值点的实际经济意义，得出了与我们建立模型求出

3、的解相近的结果。关键词：组合投资，多目标优化模型，风险偏好系数，曲线拟合，随机模拟检验投资的收益和风险的优化模型一、问题重述投资，是现代人从事最多的经济活动。一般的投资项目较之银行的储蓄有较高的汇报率，但是相应也有风险。理性的投资者在追求高利润的同时，往往充分考虑投资的风险。组合投资，即“不把鸡蛋放在一个篮子里”的投资策略，可以有效规避风险。在进行多种资产投资时，人们常常想知道一笔资金该向哪一种资产投资，投资比例是多少，才能使我们的收益达到最大，并且不用承担太大的风险。为了能够做到这一点，我们在投资之前必须对各种资产进行分析、估价，并且始终坚持多样化的原则以减小风限。公司财务人员经过对资产评估

4、后，得到了一些基本的数据。即，在这一时期内购买的平均收益率为，购买的风险损失率为，以及购买要付的交易费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是, 且既无交易费又无风险。（）本题需要我们设计一种投资组合方案，使收益尽可能大，而风险尽可能小。并给出对应的盈亏数据，以及一般情况的讨论。二、问题分析这是一个优化问题，要决策的是向每种资产的投资额，即所谓投资组合，要达到的目标有二，净收益最大和整体风险最小。一般来说这两个目标是矛盾的，收益大，风险必然也大；反之亦然所以不可能给出这两个目标同时达到最优的所谓的完美决策，我们追求的只能是满足投资者本

5、身要求的投资组合，即在一定风险下收益最大的决策，或在一定收益下风险最小的决策，或收益和风险按一定比例组合最优的决策。冒险型投资者会从中选择高风险下收益最大的决策，保守型投资者则可从低风险下的决策中选取。建立优化问题的模型最主要的是用数学符号和式子表述决策变量、构造目标函数和确定约束条件。对于本题决策变量是明确的，即对()的投资份额（表示存入银行），目标函数之一是总收益最大，目标函数之二是总风险最小。而总风险用投资资产中的最大的一个风险衡量。约束条件应为总资金的限制。三、基本假设1、投资越分散，总的风险越小；2、总体风险用投资项目中最大的一个风险来度量；3、种资产之间是相互独立的；4、在投资这一

6、个时期内，为定值，不受意外因素影响；5、净收益和总体风险只受，影响，不受其他因素干扰。四、符号说明：第 种资产投资资金； ：的平均收益率； ：的风险损失率； ：的交易费率； ：的交易定额； ：同期银行利率；：投资的资金占全部资金的比重即；五、模型建立(1)总体风险用所投资的中的最大一个风险来衡量，即风险损失率是在一定时间内一定数目的危险单位中可能受到损失的程度。 一般情况下，我们认为组合投资可以降低风险损失。因为多项投资都发生风险的概率比较小，我们可以认为风险损失率即为实际损失额与发生事故件数的比值。可以证明，两种不同的组合投资和，若满足组合中单项投资的最大风险大于组合中单项投资的最大风险，则

7、的总体风险大于的总体风险，即我们可以用组合投资的中单项投资最大风险来衡量。(2)购买所付交易费是一个分段函数，即此变量出现在目标函数中，使目标函数成为非线性函数，给求解带来不便，因此根据题意进行简化。我们假设，求出满足此假设的最小投资总额，此时恒成立，故有。以第一问为例，求得为393元，与相当大的比较很小， 更小，可以忽略不计。也就是，一旦投资到资产，投资额都超过。这样购买的净收益为。3、双目标优化模型要使净收益尽可能大，总体风险尽可能小，这是一个两目标规划模型，可表为目标函数：约束条件：具体计算时设，这时将看作投资第的比例。通常把它化为单目标规划模型求解。4、单目标优化模型在实际投资中，投资

8、者承受风险的程度不同，若给定一个界限，使最大的一个风险，可找到相应的投资方案。这样把两目标规划变成单目标线形规划。模型1：固定风险水平，优化收益目标函数：约束条件：若投资者希望总盈利至少达到水平以上，在风险最小的情况下寻找相应的投资组合。模型2：固定盈利水平，极小化风险目标函数：约束条件：投资者在权衡资产风险和预期收益两方面时，希望选择一个令自己满意的投资组合，因此对风险收益赋予权重，称为风险偏好系数。模型3：引进权重目标函数：约束条件：六、模型求解与结果分析利用Matlab软件，编程求解三个模型，程序见附录A。(1) 模型1的结果分析对于模型1，风险水平取，结果如表1所示，风险和收益的关系见

9、图1.从表1看出，对低风险水平，除了存入银行外，投资首选风险率最低的资产，然后是和，总收益当然较低。对高风险水平，总收益自然也高，应首选净收益率（）最大的和。这些与人们的经验是一致的。我们定义为组合投资获得的收益。表1模型1的计算结果风险水平最大收益00.05100000.0010.07550.83160.040.06670.01820.03850.0020.10110.66330.080.13330.03640.07690.0030.12660.49490.120.20.05450.11540.0040.15210.32660.160.26670.07270.15380.0050.17760

10、.15820.20.33330.09090.19230.0060.201900.240.40.10910.22120.0070.206600.280.46670.12730.10160.0080.211200.320.53330.127100.0090.215500.360.60.023300.010.21900.40.5843000.0110.222300.440.5447000.0120.225600.480.5051000.0130.228800.520.4655000.0140.232100.560.4259000.0150.235400.60.3863000.0160.238700.

11、640.3467000.0170.241900.680.3071000.0180.245200.720.2675000.0190.248500.760.2278000.020.251800.80.1882000.0210.25500.840.1486000.0220.258300.880.109000.0230.261600.920.0694000.0240.264900.960.0298000.0250.267300.9901000图1模型1中风险与收益的关系从表中数据可以看出，越大，越大，即风险越大，收益也越大，这是合乎常理的。另外我们还可以看出，当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与

12、题意也是一致的，冒险型的投资者会出现集中投资的情况，而保守型的投资者则尽量分散投资。我们对一系列的坐标点进行多项式拟合，多次拟合后得到两者的函数关系式为：记此函数为，由图和函数表达式我们可以看出，尽管当增大时也随之增大，但是其增长势头也即在一定区域内内迅速减少。我们认为在发生相对剧烈变化的区间进行投资是合理的。因为在现实生活中，正常人不会冒相对较大的风险去求取相对很少的收益，即不愿意在的投资区域进行投资，相反，也不会因为多冒相对较小的风险，而放弃相对增加很多的收益，这也就是指的投资区域。在这里，可以理解为每一个单位风险所能获得的收益，可以看出，经过急剧减小后，的将会保持相对稳定，也趋向水平，也

13、即每增加一个单位的风险获得的收益很小。作为一个理性投资者，我们确定以区间上曲率最大的点作为最优解点。（也即函数曲线上最弯曲的点作为所对应的投资方案作为最佳的投资方案。）即对于曲率公式要求函数取最大值时所对应的点，也就是最佳方案所对应的点。从拟合曲线可估算出区间为,通过软件计算可得，然而我们通过连接折线注意到拟合曲线在折线斜率急剧变化的区间拟合的不好，因而在这段区间上我们通过增加坐标点进行小区间拟合，再次计算得到时，其曲率最大，所以我们选择作为最优解，近似为，相应的投资组合见表1的黑体所示。用此方法对于问题2的情形进行求解，结果如图2所示，该图表明风险越高，收益也越高，曲率最大的点大约为（0.0

14、7，0.3124）。此时的投资方案如下：风险度收益S3S4S7S8S9S10S130.070.31240.11670.07910.10290.20960.13130.1750.1522图2一般情形下，模型1中风险与收益的关系(2) 模型2的结果分析对于模型2，收益水平取，结果如表2所示，风险和收益的关系见图3.从表2看出，对低收益水平，除了存入银行外，投资首选风险率最低的资产，然后是和，总收益当然较低。对高收益水平，总风险自然也高，应首选净收益率（）最大的和。这些与人们的经验是一致的。表2模型2的计算结果风险水平最大收益0.0020.10.67020.07830.13060.03560.075

15、30.00240.110.60430.0940.15670.04270.09040.00270.120.53830.10970.18280.04990.10550.00310.130.47240.12540.20890.0570.12050.00350.140.40640.1410.2350.06410.13560.00390.150.34050.15670.26120.07120.15070.00430.160.27450.17240.28730.07830.16570.00470.170.20860.1880.31340.08550.18080.00510.180.14260.20370.

16、33950.09260.19590.00550.190.07670.21940.36560.09970.21090.00590.20.01070.2350.39170.10680.2260.00780.2100.31140.5190.05690.09080.01030.2200.4120.5725000.01340.2300.53410.4515000.01640.2400.65630.3305000.01950.2500.77840.209600图3模型2中风险与收益的关系结合图3，对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择图中曲线的拐点(0.0059，0.2)，这时对的投资比例见表2

17、的黑体所示。对于一般情形的求解结果，如图4所示，该图表明风险越高，收益也越高，拐点大约为(0.007，0.32)。此时的投资方案如下，可以发现其结果与模型1的求解结果类似。风险度收益S3S4S7S8S9S10S130.007580.320.12630.00450.11140.22680.14220.18940.1647图4一般情形下，模型2中风险与收益的关系(3) 模型3的结果分析表3 模型3的计算结果权重s风险(%)收益r(%)0.762.475326.732700.99010000.770.922521.648200.37270.6273000.810.992521.648200.3727

18、0.6273000.820.784921.059900.31710.53380.149100.830.594020.162400.24000.40390.11290.24320.960.594020.162400.24000.40390.11290.24320.9705.00001.00000000从图5可以看出，模型3的风险与收益关系与模型1和模型2的结果几乎完全一致。 图5模型3中风险与收益的关系 图6模型3中风险与偏好系数的关系图7模型3中收益与偏好系数的关系七、 模型的检验和讨论(1) 计算结果的检验我们使用随机模拟仿真的方法进行检验，利用随机投点法描出有效投资组合前沿，前沿由直线段组

19、成，通过分析所有取值点的实际经济意义，希望得出与我们建立模型求出的解相近的结果。首先考虑对于四项风险资产的组合投资问题，在计算中我们利用计算机模拟的方法对可能的投资组合进行随机模拟，绘制出图8。其中横轴表示总体风险率，纵轴表示总体收益率。图8 随机模拟风险-收益数据图对每一个随机产生的资产组合，我们把该组合的总体风险和收益用风险-收益图中的点来表示，图中黑色部分近似地表示了4项构成的各种资产组合的集合。投资者的任何一种投资组合对应图中一个点，我们观察到在这个区域的边缘存在折线ABC。在折线内部，对于投资者的任何一种投资选择，我们都能找到一种组合比其具有更高的收益和更低的风险，即找到一个点在其左

20、上方。因此投资者将只在折线ABC上选择投资组合，我们称ABC即为此投资组合问题的效率前沿。图中AB段斜率最大，故在此段上增加单位风险收益增量最大。B的坐标可以通过局部细化模拟得出近似值为，与我们求出的结果非常相近。（2）稳定性分析为了考察模型的稳定性和适用性，我们对银行利率进行改动，分别选择0.05，0.1，0.15三个数据进行考察。表4 稳定性分析数据表s=0.1时s=0.5时s=1时 0.050.267 00.267 00.05 10.100.267 00.267 00.10 10.150.267 00.267 00.15 1表4的数据是通过模型3计算得出的，可以看出在合理的情况下银行利率

21、的小幅上涨并不影响投资者的投资方向，因而模型通过了稳定性考察。(4) 灵敏度分析在我们所建立的线性规划模型中，假定参数、都是常数，但是实际上这些系数往往是估计值和预测值，市场和人为因素对这类参数的确定有一定的影响，当、有微小变化时，目标函数的变化是否会很大？因此需要进行灵敏度分析。不妨在时，使、有小的增长，利用模型1求出函数的变化幅度。结果见下表。表5 灵敏度分析数据表增长幅度增长幅度值变化幅度1%01.1%2%02.2%5%05.5%10%011%00-0.7%02%-1.4%05%-3.4%010%6.5%10%10%3.4%5%10%1.5%对表中数据分析可知，、微小的增长对目标函数的影

22、响不大，表明模型通过了灵敏度检验。(5) 模型评价本文我们建立了投资收益与风险的双目标优化模型，通过控制风险使收益最大，保证收益使风险最小，以及引入收益风险偏好系数，将两目标模型化为了单目标模型，并使用Matlab求解，所得结果具有一定的指导意义。但是，本文没有讨论收益和风险的评估方法，在实际应用中还存在资产相关的情形，此时，用最大风险代表组合投资的风险未必合理，因此，对不同风险度量下的最优投资组合进行比较研究是进一步的改进方向。八、 参考文献1赫孝良，戴永红.数学建模竞赛：赛题简析与论文点评.西安：西安交通大学出版社，2002.6.2萧树铁.面向21世纪课程教材：大学数学数学实验.北京：高等

23、教育出版社，1999.7.3陈叔平，谭永基.一类投资组合问题的建模与分析.数学的实践与认识， 7：45-49，1999.九、附录AMatlab程序(1) 模型一求解Matlab程序function result=lp1(k)f=-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185;A=0 0 0 0 0 0 0.025 0 0 0 0 0 0.015 0 0 0 0 0 0.055 0 0 0 0 0 0.026; b=k;k;k;k;k; Aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065; beq=1; vlb=zeros(5,1); vub=; x,fval=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) k end(2) 模型二求解Matlab程序function result=lp2(d)b1=-d; b2=zeros(5,1); f=0 0 0 0 0 1; A=0 0 0 0 0 -1 0 0.025 0 0 0 -1 0 0 0.015 0 0 -1 0 0 0 0.055 0 -1 0 0 0 0 0.026 -1 -0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185 0; b=b2;b1; Aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.