高等数学试题库

1、高等数学试题库一、 填空题1 函数的定义域为_。x|x2 y=ln(x+1)的定义域为_。 (x>-1)3 y=的定义域为_。（x|x3或x1）4 设f(x)=，则f(f(x)=_。()5 设，则f(1.5)=_.( 3)6 ，则f(f(1/2)=_。（5/2）7 =_.（3/5）8 =_。（1/2）9 y=的反函数为_。（y=x3-1）10 已知f(x)的定义域为D=0,1，则f(x2)的定义域为_。（-1,1）11 =_。（2 ）12 =_。（-1/2）13 =_。( 0 )14 =_。（ 0 ）15 =_。（e2）16 =_。（2）17 设连续，则a=_。( 1 )18=_。（1/

2、2）19.=_。（ 1 ）20. =_。 （1/4）21. =_。 （ 0 ）22. =_。 （ 0 ）23.=_。24. =_。25.若，则k=_。26. =_。27. =_。28.设函数，则a=_。1. 设，则_。2. 设f(x)=x(x+1)(x+2).(x+100)，则f(0)=_.。3. 设y=y(x)由方程确定，则y(0)=_。4. 设，则=_。18 设y=x2lnx，则dy=_。 （(2xlnx+x）dx）19 设y=(1+x)10(2x+1)5，则y(15)=_。（ 25.15！）20 曲线x2+2y2=1经过点（）的切线方程为_。（y=）21 函数x 上点（，）处的切线方程是

3、_。（ y=2x+1 ）22 设f(0)=1，则=_。 （ 3 ）23 =_。( )24 设y=xex，则y=_。（2+x）ex）25 设y=xlnx，则y=_。（2xlnxlnx/x）26 设在x=1处连续且可导，则a=_，b=_。（2，-1）27 求隐函数xey+yex=1的导数y=_。（）28 曲线上对应处的切线斜率为_。（-1）29 函数y=x3的拐点为_。 （0,0）30 曲线y=在（1,）处的曲率为_。（ ）31 半径为3的圆上任一点的曲率为_。（1/3）32 设某产品生产x单位的总成本为C(x)=1100+x2/1200，则生产900个单位时的边际成本为_。（1.5）33 使得拉

4、格朗日定理对函数y=lnx在区间1,e上成立的=_。（e-1）34 使得拉格朗日定理对函数y=x2在区间1,2上成立的=_。（3/2）35 函数y=4x-x3的凹区间为_。（）36 y=sinx的n阶马克劳林公式为_。（）37 =_。（+C）38 =_。（+C）39 =_。(+C)40 =_。（+C）41 =_。（+C）42 =_。（+C）43 =_。（sinx-sin3x/3+C）44 =_。（+C）45 =_。（+C）46 =_。（+C）=_。47 =_。（24）48 =_。（22/3）49 =_。（2）50 设，则f(x)=_。51 =_.52已知是的一个原函数，则=_。二、 选择题1.

5、下列函数中f(x)与g(x)相同的是 ( ) DA.f(x)=|x|/x，g(x)=sgn(x) B. f(x)=x/x，g(x)=1C.f(x)=ln(x2-4)，g(x)=ln(x-2)+ln(x+2) D. f(x)=x，g(x)=()32.时，与x等价的无穷小量是 ( ) CA. sin2x B. tan2x C. arctanx D. ln(1+x2)3. 设f(x)=ex-1，则当时，有 （ ）AA. f(x)与x是等价无穷小 B. f(x)与x同阶但非等价无穷小C. f(x)是比x高阶的无穷小 D.f(x)是比x低阶的无穷小4.设f(x)在x0可导且导数为f(x0)，那么= (

6、) BA. f(x0) B. 2 f(x0) C. -f(x0) D. -2 f(x0)5.= ( ) DA. 0 B. C. 2 D. -6. 设函数f(x)=x3-3x2+x-1，则函数f(x)的拐点为 ( ) B A. (0,-1) B. (1,-2) C. (-1,-6) D. 不存在7. 设f(x)=，g(x)=1-x，则f(g(x)= ( ) CA. 1- B. 1+ C. D. x8. 设（X）在 XXo 的左右导数存在且相等是（X）在 XXo 可导的 （ ）AA. 充分必要的条件 B. 必要非充分的条件 C. 必要且充分的条件 D.既非必要又非充分的条件9下列说法正确的是 （

7、）D A. 若(X)在XXo连续，则(X )在XXo可导 B. 若(X)在 XXo不可导，则(X)在XXo不连续 C. 若(X)在 XXo不可微，则(X)在XXo极限不存在 D. 若(X )在XXo不连续，则(X)在XXo不可导10.xsinxdx= ( ) CA. xcosxsinxc B. xcosxsinxcC. xcosxsinxc D. xcosxsinxc11.若，则= （ ）DA. B. C. D. 12. 设，则= （ ）CA. B. lnx+C C. D. lnx+C13. = ( )A. B C. D. 14. 设函数，则x=1是 （ ）A. 跳跃间断点 B.可去间断点 C

8、.无穷间断点 D 连续点。15. 设函数，则f(x)有 （ ）A 一个可去间断点，一个跳跃间断点 B 一个可去间断点，一个无穷间断点C 2个可去间断点 D 2个无穷间断点16.设 ，则x=0是 （ ）A 可去间断点 B 跳跃间断点 C 第二类间断点 D 连续点17. 设函数g(x)可微，则g(1)= ( )A ln3-1 B ln3-1 C ln2-1 D ln2-118. 在区间-1,1上满足罗尔定理条件的有 （ ）A B C D 19. 函数的导数的零点个数为 （ ）A 0 B 1 C 2 D 320. 设在0，1上，则下列大小关系正确的为 （ ）A B C D 21 下列函数中不为sin

9、xcosx的原函数的是 （ ）A B C D 22 设f(x)为可导函数，则 （ ）A B C D 23.由y=x2，x=1，y=0所围图形绕x轴旋转的旋转体体积为 （ ） A /2 B /3 C /4 D /524由y=x，x=1，y=0所围图形绕x轴旋转的旋转体体积为 （ ） A /3 B 2/3 C 4/3 D 8/325设非齐次线性微分方程y+p(x)y=q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C为任意常数，则该方程的通解为 （ ）A Cy1(x)-y2(x) B y1(x)+Cy1(x)-y2(x)C Cy1(x)+y2(x) D y1(x)+Cy1(x)+y2(x)三、 计算

10、题1. 设f(x)=x2lnx，求 解：f(x)=2xlnx+x f(x)=2lnx+2+1=2lnx+32. 求 ()解：当x0时，sin(xn)xn,sinxx 故原式= =3. 求解：原式= =4.求函数f(x)=x3-6x2+9x-5的极值解：f(x)=3(x-1)(x-3)驻点为x1=1，x2=3当x<1时，f(x)>0当1<x<3时，f(x)<0当x>3时，f(x)>0故f(1)=-1为极大值，f(3)=-5为极小值5.求曲线y=3x4-4x3+1的拐点及凹凸区间解：y=36x2-24x=36x(x-2/3) 由y=0得x1=0,x2=2/

11、3当x<0时，y>0,为凹的当0<x<2/3时，y<0，为凸的当x>2/3时，y>0，为凹的故拐点为（0，1）及（2/3,11/27）5 求曲线的拐点及凹凸区间。6. 求解：原式=x+2/3x3/2+3/2cos2x+C7. 求解：原式= =8. 求解：令，则x=t2，dx=2tdt，故原式=2=2et(t-1)+C =9. 求解：原式= =e-=110.求由两条抛物线y2=x和y=x2所围成的图形面积。解：两条抛物线交点为（0，0）及（1，1），围成区域的x的变化区间为0,1,s=11.求抛物线y2=2x与直线x-y=4所围成的图形面积。解：两曲线交

12、点为（2，-2），（8，4），取y为积分变量，则 S=1812. 求解：= = = =13.设函数在x=1处连续且可导，求a,b的值。解：f(x)在x=1连续，故a+b=1又而f(x)在x=1处可导，故f(1-)=f(1+)，即2=a故得：a=2,b=-114.某农场要用长20m的铁丝靠一面墙围一个长方形养鸡场，问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大。解：设长为x,则宽为(20-x)/2 (0<x<20)故长方形面积为:S(x)=x(20-x)/2S(x)=10-x令S(x)=0，得唯一的驻点x=10由问题的实际意义知，此驻点为最大值点，即当长为10，宽为5时，面积最大。15

13、.已知，求常数c的值。解：因为=所以由=4解得c=ln216.求微分方程的通解。解：变量分离得：两端积分得：ln|y|=x2+C即：y=Cex216 求微分方程的通解16“ 求微分方程的通解17. 已知，求a,b的值18. 设函数可导，求 a，b的值。19若(1, 3)为曲线的拐点，求a，b的值。20 设 ，求21 求不定积分22 已知，求23.求极限四、 证明题1.求证方程xsinx1=0在区间 0,2内有唯一零点。证：设f(x)=xsinx1，显然f(x)在0x2上连续，f(0)=1<0，f(2)=1sin2>0，f(x)在0,2内有零点。又f(x)=1cosx>0(&l

14、t;x<2)f(x)严格单调上升，f(x)只有唯一的零点。 2. 证明方程x=asinx+b(a>0,b>0)至少有一个不超过a+b的根。证明：设f(x)=x-(asinx+b) 显然f(x)在0,a+b上为连续函数 又f(0)=-b<0 f(a+b)=a+b-(asin(a+b)+b) =a(1-sin(a+b) 当sin(a+b)=1时，f(a+b)=0,此时x0=a+b为原方程的根 当sin(a+b)1时，f(a+b)>0 由零点定理，至少存在一个根x0(0,a+b)综上，原方程至少存在一个不超过a+b的根3. 证明不等式（其中）证明：设f(x)=lnx，显然f(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导且f(x)= 由Lagrang中值定理，存在（a,b），使得： f()=又 <f()=<代人上式即得证。4. 证明当x>0时，证明：设f(t)=ln(1+t)，显然f(t)在0,x上