第1章§4 第3课时　不等式的证明——反证法、放缩法、几何法

1、.第3课时不等式的证明反证法、放缩法、几何法1理解放缩法、反证法、几何法的概念；理解用反证法、放缩法、几何法证明不等式的步骤重点2会用反证法、放缩法、几何法证明一些简单的不等式难点根底·初探教材整理1放缩法与几何法阅读教材P18P20，完成以下问题1放缩法证明命题时，有时可以通过缩小或放大分式的分母或分子，或通过放大或缩小被减式或减式来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法2几何法通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法判断正确的打“，错误的打“×1分式的放缩可以通过放大或缩小分子或分母来进展2整式的放缩可以通过加减项来进展3从<来看，这是

2、通过扩大分子到达了放大的目的【解析】根据放缩法的定义知12正确，而3中，因m的符号不定，所以不一定到达放大的目的，故错误【答案】123×教材整理2反证法阅读教材P20P21，完成以下问题通过证明命题结论的否认不能成立，来肯定命题结论一定成立的证明方法叫反证法其证明的步骤是：1作出否认结论的假设；2进展推理，导出矛盾；3否认假设，肯定结论判断正确的打“，错误的打“×1反证法与同一法本质上是一致的2证明“至少“至多“否认性命题时宜用反证法3证明结论“a，b，c至少一个为负数时，提出假设可以是“a，b，c至多有两个为负数【解析】1×从原理上分析，两种方法截然不同2反证法

3、合适于证明这种类型3×假设应为“a，b，c没有一个为负数【答案】1×23×质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型利用反证法证明否认性结论a，b，c0,1，求证：1ab，1bc，1ca不能同时大于. 【导学号：94910023】【精彩点拨】当直接证明命题较困难时，可根据“正难那么反，利用反证法加以证明凡涉及否认性、惟一性命题或含“至多“至少等语句的不等式时，常可考虑反证法【自主解答】假设三式同时大于，即bab>，cbc>，aac>，三式同向相乘，得1

4、aa1bb1cc>.0<a<1，1aa.同理1bb，1cc.又1aa，1bb，1cc均大于零，1aa1bb1cc，因此式与式矛盾故假设不成立，即原命题成立1反证法必须从否认结论进展推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进展推理，否那么，仅否认结论， 不从结论的反面推理，就不是反证法2利用反证法证题的关键是利用假设和条件通过正确推理推出与条件或定理事实相矛盾，或自相矛盾再练一题1假设0<a<2,0<b<2,0<c<2.求证：2ab，2bc，2ca不能同时大于1.【证明】假设那么>1.同理>1，>1.得3>3

5、，矛盾所以原命题得证.反证法证明“至少“至多 型命题fxx2pxq，求证：1f1f32f22；2|f1|，|f2|，|f3|中至少有一个不小于.【精彩点拨】1把f1，f2，f3代入函数fx求值推算可得结论2假设结论不成立，推出矛盾，得结论【自主解答】1f1f32f21pq93pq242pq2.2用反证法证明假设|f1|，|f2|，|f3|都小于，那么有|f1|2|f2|f3|<2.又|f1|2|f2|f3|f1f32f22，互相矛盾，假设不成立，|f1|，|f2|，|f3|中至少有一个不小于.1当证明的题目中含有“至多“至少“最多等字眼时，常使用反证法证明，在证明中出现自相矛盾，说明假设

6、不成立2在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否那么将无法推出矛盾再练一题2函数yfx在区间a，b上是增函数，求证：yfx在区间a，b上至多有一个零点【证明】假设函数yfx在区间a，b上至少有两个零点不妨设x1，x2x1x2为函数yfx在区间a，b上的两个零点，且x1<x2，那么fx1fx20.函数yfx在区间a，b上为增函数，x1，x2a，b且x1<x2，fx1<fx2，与fx1fx20矛盾，原假设不成立函数yfx在a，b上至多有一个零点探究共研型放缩法证明不等式探究1假设将放大或缩小，常用哪些方法

7、？【提示】将分子或分母放大缩小：<k>1，>，<k>1，>k>1等探究2在整式放缩中，常用到哪些性质？【提示】在整式的放缩中，常用到不等式的性质绝对值不等式、平均值不等式等如ab2a，b为正数，a2b22ab，|a|b|a±b|a|b|等an2n2，n为正整数，求证：对一切正整数n，有.【精彩点拨】针对不等式的特点，对其通项进展放缩、列项【自主解答】当n2时，an2n22nn1，·，111，即.放大或缩小时注意要适当，必须目的明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小，慎重地添或减是放缩法的根本策略.再练一题3求证：1<2

8、n2，n为正整数【证明】k2>kk1，<k为正整数，且n2，分别令k2,3，n得<1，<，<，因此1<1112，故不等式1<2n2，n为正整数成立构建·体系1实数a，b，c不全为0的等价条件为Aa，b，c均不为0Ba，b，c中至多有一个为0Ca，b，c中至少有一个为0Da，b，c中至少有一个不为0【解析】实数a，b，c不全为0的含义即是a，b，c中至少有一个不为0，其否认那么是a，b，c全为0，应选D.【答案】D2abc>0，abbcac>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的假设为Aa<0，b<0，c<0Ba0，b>0，c>0Ca，b，c不全是正数Dabc<0【答案】C3a，b，c，d都是正数，S，那么有AS<1BS>1CS>2D以上都不对【解析】S>abcd1.【答案】B4a为正数，那么，从大到小的顺序为_. 【导学号：94910024】【解析】>2，<2，2<<2，>>.【答案】>>5函数fx是，上的增函数，a，bR.1假设ab0，求证：fafbfafb；2判断1中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论【证明】1ab0，ab.由fx的单调