二次函数与平行四边形综合

1、第十八讲二次函数与平行四边形综合、教学内容1. 二次函数的表示，二次函数图像与性质；2. 平行四边形的性质和判定；3. 函数图像与平行四边形的综合应用，典型应用、图像题；二、例题细看【例1】：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y - x 6与x轴、y轴的交点分 别为A B，4将 OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C.1直接写出点C的坐标，并求过 A、B C三点的抛物线的解析式；2 假设抛物线的顶点为 D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形 ODAP为平行四边形？假设 存在，求出点P的坐标；假设不存在，说明理由；3设抛物线的对称轴与直线 BC的交点为T ,Q为线段BT

2、上一点，直接写出 QA QO的取值 范围考点分析二次函数综合题xPEC分析1点A的坐标是纵坐标为 0，得横坐标为8,所以点A的坐标为8，0；点B的坐标是横坐标为 0，解得纵坐标为6，所以点B的坐标为0，6；由题意得：BC是/ ABO的角平分线，所以 OC=CH BH=OB=6AB=10, AH=4 设 OC=x 贝U AC=8-x 由勾股定理得：x=3点C的坐标为3，0将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；2 求得直线 BC的解析式，根据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三函 数即可求得；(3)如图，由对称性可知 QO=QH |QA-QO|=|QA-QH| .当点Q与

3、点B重合时，Q H A三点共线，|QA-QO|取得最大值4 (即为AH的长)；设线段 OA的垂直平分线与直线 BC的交点为K当点Q与 点K重合时，|QA-QO|取得最小值0.跟踪练习例1.(浙江义乌市)如图，抛物线y x2 2x 3与x轴交A B两点(A点在B点左侧)，直 线丨与抛物线交于 A、C两点，其中C点的横坐标为2.(1) 求A B两点的坐标与直线 AC的函数表达式；(2) P是线段AC上的一个动点，过 P点作y轴的平行线交抛物线于 E点，求线段PE长度的最大值；(3) 点G是抛物线上的动点，在 x轴上是否存在点 F,使A C F、G这样的四个点为顶点的四边形 是平行四边形？如果存在，

4、求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由.【例2】 如图，点O是坐标原点，点 A(n , 0)是x轴上一动点(n 0).以AO为一边作矩形 AOBC，点C在 第二象限，且 OB 2OA .矩形AOBC绕点A逆时针旋转 90得矩形AGDE .过点 A的直线 y kx m (k 0)交y轴于点F , FB FA .抛物线y ax2 bx c过点E、F、G且和直线 AF 交于点H，过点H作HM x轴，垂足为点M .求k的值；点A位置改变时，AMH的面积和矩形 AOBC的面积的比值是否改变？说明你的理由.PEC分析(1)由题意知 OB=2OA=2n在直角三角形 AEO中, OF=OB-BF=

5、-2n-AF,因此可用勾股定理求出AF的表达式，也就求出了 FB的长，由于F的坐标为(0, nr)据此可求出 m n的关系式，可用n替换掉一 次函数中m的值，然后将 A点的坐标代入即可求出 k的值.(2) 思路同(1) 一样，先用n表示出E、F、G的坐标，然后代入抛物线的解析式中，得出 a, b, c与n 的函数关系式，然后用 n表示出二次函数的解析式，进而可用 n表示出H点的坐标，然后求出 AMH的面 积和矩形AOBC勺面积进行比拟即可.跟踪练习(1)在图1, 2, 3中，给出平行四边形 ABCD的顶点A, B, D的坐标 2, 3中的顶点C的坐标，yF图)，写出图1 ,CD(4,0)图1(

6、2)在图4中，给出平行四边形B(1,2)ABCD的顶点A B,B(c, d)A(a, b) D(e, b)> XD的坐标(如下列图)，求出顶点坐标用含a , b, c, d , e, f的代数式表示)；归纳与发现(3) 通过对图1, 2 , 3 , 4的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形 ABCD处于直角 坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为 A(a , b) , B(c, d) , C(m , n) , D(e, f)(如图4)时，那么四个顶 点的横坐标a , c, m , e之间的等量关系为；纵坐标 b , d , n , f之间的等量关系为运用与推广21519(4) 在

7、同一直角坐标系中有抛物线y x (5c 3)xc和三个点G c, c, S c, c,2 22 2H (2c , 0)(其中c 0) 问当c为何值时，该抛物线上存在点P,使得以G , S, H , P为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P点坐标.【例3】 如图1, Rt ABC中， A 90 , tanB 3，点P在线段AB上运动，点Q、R分别在线段BC、4AC上，且使得四边形 APQR是矩形设AP的长为x ,矩形APQR的面积为y，y是x的函 数，其图象是过点 12,36的抛物线的一局部(如图 2所示).(1 )求AB的长；(2) 当AP为何值时，矩形 APQR的面积最大，并求出

8、最大值为了解决这个问题，孔明和研究 性学习小组的同学作了如下讨论：张明：图2中的抛物线过点 12,36在图1中表示什么呢？李明：因为抛物线上的点(x,y)是表示图1中AP的长与矩形APQR面积的对应关系，那么12,36表示当AP 12时，AP的长与矩形APQR面积的对应关系赵明：对，我知道纵坐标 36是什么意思了！B孔明：哦，这样就可以算出 AB，这个问题就可以解决了 请根据上述对话，帮他们解答这个问题考点点评此题结合三角形、矩形的相关 知识考查了二次函数的应用，用数形结 合的思路求得相应的函数关系式是解 题的关键PEC分析(1)由于y是x的函数且过(12, 36)点，即AP=12时，矩形的面

9、积为 36，可求出PQ的长, 进而在直角三角形 BPQ中得出BP的值，根据 AB=AP+B唧可求出AB的长.(2)与(1)类似，可先用 AP表示出BP的长，然后在直角三角形 BPQ中，表示出PQ的长；根据矩形的 面积计算方法即可得出关于 y , x的函数关系式然后可根据得出的函数的性质求出矩形的最大面积以与 此时对应的x的值.跟踪练习如图，与X轴交于点A(1,0)和B(5,0)的抛物线h的顶点为C(3,4)，抛物线12与li关 于x轴对称，顶点为C .(1) 求抛物线12的函数关系式；(2) 原点O，定点D(0,4) , 12上的点P与li 上的点P始终关于x轴对称，那么当点P运动 到何处时，

10、以点D, O, P, P为顶点的四边形是平行四边形？(3) 在12上是否存在点M，使 ABM是以AB为斜边且一个角为30的直角三角形？假设存， 求出点M的坐标；假设不存在，说明理由.【例4】 如图，在矩形OABC中，A、C两点的坐标分别为 A(4,0) C(0,) , D为OA的中点.设点P 是 AOC平分线上的一个动点(不与点 O重合).(1) 试证明：无论点 P运动到何处，PC总与PD相等；(2) 当点P运动到与点B的距离最小时，试确 定过O、P、D三点的抛物线的解析式；(3) 设点E是(2)中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和 PDE的周长；(

11、4) 设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点 P，使 CPN 90° ?假设存在，请直接写出 点P的坐标.PEC分析此题综合考查了三角形全等、一次函数、二次函数，与线段最短和探索性的问题.(1) 通过 P03 POD而证得 PC=PD.(2) 首先要确定P点的位置，再求出P、F两点坐标，利用待定系数法求的抛物线解析式；(3) 此问首先利用对称性确定出P点位置是EC与/ AOC的平分线的交点，再利用抛物线与 直线CE的解析式求出交点P的坐标.进而求的 PED的周长；(4) 要使/ CPN=90 °，贝U P点是以CN的中点为圆心以CN为直径的圆与角平分线的交点，由 此就易

12、于写出P点的坐标.【例5】 如图，抛物线h : y x2 4的图象与x轴相交于A、C两点，B是抛物线h上的动点(B不与 A、C重合)，抛物线12与li关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形 ABCD的第四个顶点为 D .(1 )求12的解析式；(2) 求证：点D 一定在12 上;(3) 平行四边形 ABCD能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共局部的面积(假设只有一个 矩形符合条件，那么求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由.(注：计算结果不取 近似值.)2y=x2-4PEC分析(1)根据11的解析式可求11与x轴的交点为A (-2 , 0), C( 2, 0)，顶点坐标是(0, -

13、4 ), 12与l1关于x轴对称，实际上是l2与l1的顶点关于x轴对称，即l2的顶点为(0, 4),设顶点式，可 求抛物线12的解析式；(2) 平行四边形是中心对称图形， A、C关于原点对称，那么 B、D也关于原点对称，设点 B(m, n),那么点 D (-m, -n )，由于 B (m, n)点是 y=x2-4 上任意一点，那么 n=m2-4,. -n=- (m2-4) =-m2+4=- (-m) 2+4, 可知点D (-m, -n)在l2y=-x2+4 的图象上；(3) 构造/ ABC=90是关键，连接 OB只要证明 OB=OC即可，为求 OB长，过点B作BHL x轴于H,用B 的坐标为(

14、x0, x02-4 )，可求 OB用OB=O(求x0,再计算面积.跟踪练习如图，抛物线 G与坐标轴的交点依次是 A 4 , 0 , B 2 , 0 , E 0 ,8 .(1 )求抛物线G关于原点对称的抛物线 C2的解析式；(2)设抛物线G的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C , D两点(点C在点D的左侧)，顶点为N，四边形MDNA的面积为S .假设点A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止.求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式, 并写出自变量t的取值范围；(3)

15、 当t为何值时，四边形 MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值;t的值；假设不能，说明理由.(4) 在运动过程中，四边形 MDNA能否形成矩形？假设能，求出此时三、课堂一试1. 如图，在直角坐标系xOy中，点P为函数y -x2在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为0, 1 ,4直线I过B 0 , 1且与x轴平行，过P作y轴的平行线分别交 x轴、直线I于C、Q ,连结AQ交x轴于H , 直线PH交y轴于R .求证：H点为线段AQ的中点； 求证：四边形 APQR为菱形；1 除P点外，直线PH与抛物线yx2有无其它公共点？假设有，求出其它公共点的坐标；假设没4有，请说明理由.2.如图，在平面直

16、角坐标系内，以y轴为对称轴的抛物线经过直线2与y轴的交点A和点(1 )求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；(2 )将(1)中所求抛物线沿x轴平移. 在题目所给的图中画出沿 x轴平移后经过原点的抛物线大致图象； 设沿x轴平移后经过原点的抛物线对称轴与直线AB相交于C点判断以O为圆心，OC为半径的圆与直线 AB的位置关系，并说明理由；求P点的坐标，使得以O、A C、P(3) P点是沿x轴平移后经过原点的抛物线对称轴上的点。四点为顶点的四边形是平行四边形.y3.如下列图，在平面直角坐标系中，矩形 ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边 0C在y轴的正半轴上，且 AB 1，0B 3，矩形ABOC绕点0

17、按顺时针方向旋转 60后得到矩形EFOD 点A的对应点为点 E , 点B的对应点为点 F，点C的对应点为点 D，抛物线y ax2 bx c过点A , E , D .(1) 判断点E是否在y轴上，并说明理由；(2) 求抛物线的函数表达式；(3) 在x轴的上方是否存在点 P，点Q，使以点0 , B , P , Q为顶点的平行四边形的面积是矩 形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，假设存在，请求出点P，点Q的坐标；假设不存在， 请说明理由. 2 4.如图10,抛物线P: y=ax +bx+c(a工0)与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上), 与y轴交于点C,矩形DEFG勺一条边DE在线段AB

18、上，顶点F、G分别在线段BC AC上，抛物线P上局部点的横坐标对应的纵坐标如下:x-3-212y52-4520(1)求A B、C三点的坐标;-EDAOr 11图10(2) 假设点D的坐标为(m, 0)，矩形DEFG勺面积为S,求S与m的函数关系，并指出m的 取值范围；(3) 当矩形DEFG勺面积S取最大值时，连接DF并延长至点M使FM=kDF,假设点M不 在抛物线P上，求k的取值范围.5. 如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH点H的坐标为(一8，0)，点N的坐标为(一6， 4).(1) 画出直角梯形 OMN绕点O旋转180°的图形OABC并写出顶点 A，B, C的坐标(点M的对

19、应点 为A 点N的对应点为B,点H的对应点为C);(2) 求出过A，B, C三点的抛物线的表达式；(3) 截取CE=OF=AG=m且E, F, G分别在线段 CQ OA AB上，求四边形 BEFG勺面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积 S是否存在最小值？假设存在，请求出这个最小值；假设不存在，请说明理由;(4) 在(3)的情况下，四边形 BEFG是否存在邻边相等的情况，假设存在，请直接写出此时m的值,并指出相等的邻边；假设不存在，说明理由.6. 如图1,在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片QABC Q0, 0) , A(4 , 0), C(0 , 3)，点P是QA边上的动点

20、(与点Q A不重合)现将 PAB沿PB翻折，得到 PDB再在QC边上选取适当的点 E, 将厶PO曰沿PE翻折，得到 PFE并使直线 PD PF重合.(1) 设F(x, 0) , E(0 , y)，求y关于x的函数关系式，并求 y的最大值； 如图2,假设翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；(3) 在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q使厶PEC是以PE为直角边的直角三角形？假设不存在，说明理由；假设存在，求出点 Q的坐标.四、课后有练1.如图，矩形 ABCDh AB= 3，BC= 4，将矩形ABC沿对角线A平移，平移后的矩形为 EFGH A、E、C G 始终在同一条直线上)，当点E与C重时停止移动.平移中EF与BC交于点N GHW BC的延长线交于点 M EH与DC交于点P, FG与 DC的延长线交于点 Q设S表示矩形PCM的面积，S表示矩形NFQC勺面积.(1) S与S相等吗？请说明理由.(2) 设AE= x,写出S和x之间的函数关系式，并求出 x取何