第三章离散傅里叶变换DFT（一）

1、Chapter 3 Discrete Fourier-Transform（Part ）l3.1连续时间信号的傅里叶变换连续时间信号的傅里叶变换l3.2离散时间序列的傅里叶变换离散时间序列的傅里叶变换（DTFT）l3.3连续时间信号的抽样连续时间信号的抽样l3.4离散时间周期序列的傅里叶级数离散时间周期序列的傅里叶级数（DFS）l周期连续信号周期连续信号TtjnndtetfTF0)(1周期信号周期信号f(t)=f(t+nT) ，满足狄氏条件（有限区间逐，满足狄氏条件（有限区间逐段光滑）时，可展成：段光滑）时，可展成：)2(TtjnnneFtf)(周期信号可分解为直流，基波和各次谐波周期信号可分解

2、为直流，基波和各次谐波（基波角频率的整数倍）的线性组合。（基波角频率的整数倍）的线性组合。 42coscos2sin1)(ttttftjjee2421tjnnneF2215. 0112. 1211jejF15. 0112. 1211jejF10F4221jeF 4221jeF（双边频谱）（双边频谱）tjej211 1tjej211 tjjee2421l非周期连续信号傅里叶变换非周期连续信号傅里叶变换dtetfjFtj)(dejFtftj21)( dttfT)1 ()(0ntjnneFtf)2()(1220TTtjnndtetfTFfnFTnF0010ndtetfTFtjTn)(单位频带上的频谱

3、值单位频带上的频谱值220)(TTtjnndtetfTF)( jF)2(0T周期信号周期信号 非周期信号非周期信号离散谱离散谱 连续谱，幅度无限小连续谱，幅度无限小dejFtj)(21dT20T0ntjnnneTTFtf01)(200tjnnneTFTtjnnneTFtf2)(00)( jFTFnT2E SaEj 0,tUet12 tsgn2j1j tU t 1)(tEGl离散序列的傅里叶变换（离散序列的傅里叶变换（DTFT）因此，因此，DTFT也可看作是周期信号也可看作是周期信号X(.)在频域内展成傅里在频域内展成傅里叶级数，其傅里叶系数是时域信号叶级数，其傅里叶系数是时域信号x(n)。对照

4、以下两组变换式：对照以下两组变换式：TtjnndtetfTF0)(1tjnnneFtf)(l例：求以下序列的傅里叶变换例：求以下序列的傅里叶变换解解12(1)( )(3)11(2)( )(1)( )(1)22x nnxnnnn3122(1)()(3)11(2)()( )1221cosjjnjnjjnjjnXeneeXexn eee 解解301(3)()( )1jnj nnj njnnXea u n ea eae343(4)() (3)(4)jj nj nnnXeu nu nee33330101jnjnjnjnnnnneeee431111jjjjjeeeee4334731111111jjjjjj

5、jjjjeeeeeeeeee777422231112227sin()1()211sin()()2jjjjjjjjjeeeeeeeee34(3)( )( ),01(4)( )(3)(4)nx na u nax nu nu nlDTFT基本性质基本性质序列序列傅里叶变换傅里叶变换x(n)y(n)ax(n)+by(n) a、b为常数 线性线性x(n-n0 ) 时移时移 x(n) 频移频移x*(n)x(-n)x(n)* y(n) 时域卷积定理时域卷积定理0jne0()jnjeXe0()()jnXe()jXe()jY e()()jjaXebY e()jXe()jXe()()jjXeY elDTFT对称性

6、对称性lDTFT对称性对称性lDTFT对称性对称性lDTFT对称性对称性l实序列实序列DTFT奇、偶、虚、实对称性质奇、偶、虚、实对称性质l抽样原理（抽样原理（采样、采样、sample）周期周期序列序列l需要解决的问题需要解决的问题)()()(tstftfs)(*)(21)(jSjFjFs1()*2sF jF jS j 1 ()snSF jnT ()()ssS jn ( )()f tF j( )( )( )() ()ssTssf tf ttf nTtnTf(t)：有限带宽信号有限带宽信号s( )( )()Tss tttnT1) 当当s 2m时，时，Fs(j )是是F(j )在不在不同同s倍数上

7、的重复与再现，幅值为原值倍数上的重复与再现，幅值为原值的的1/Ts 。2) 当当s2m时，时，Fs(j )中出现中出现F(j ) 的的叠加与混合（混迭现象）叠加与混合（混迭现象） 。2ssT1)2sm 2)2sm 3)2sm 即：从即：从 fs(t)中恢复中恢复f(t)实现：低通滤波器实现：低通滤波器要求低通滤波器要求低通滤波器：()scH jT mcsm 0()t 理想冲激抽样时理想冲激抽样时结论：结论： 一个周期为N的周期序列，即 其中，k为任意整数，N为周期； 周期序列不能进行Z变换，因为其在 n=-到+都周而复始永不衰减，即z平面上没有收敛域。但是，正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达

8、，周期序列也可用离散的傅氏级数来表示，也即用周期为N的正弦序列来表示。 )()(kNnxnx00( )()(1)jktkx tX ke02002200()( )()()()()sssssjknTjknTTst nTkkjknTjnkNTNkkx nTx tX keX keX keX ke)2(0T()sTNT0022()( )ssNX kNTTNX k 是周期的，周期为点的周期序列，取一个周期，并简记作2. 时域频域各取一个周期,得到DFT22()210210222111000,()( )()( )( )( )(2)( )( )jnkjn k lNNNNjnkNsksNjnkNkNNNjlnjnkjlnNNNnnkeelx nTX k eNx nTx nx nX k ex n eX k ee 又因为：为任意整数所以前面的求和可以写成：上式只能计算出 个独立的值，也就是的一个周期，记作则：求反变换作如下运算：211()0021()0210210( )0,2,0( )( )1( )( )(3)NNjk l nNknNjk l nNnNjlnNnNjnkNnX keNklNNex n eNX lX kx n eN 由于其它习惯上将以上的式（习惯上将以上的式（2），（），（3）中